浙江省宁波市海曙区2023-2024学年第二学期八年级下册数学四校月考联考试卷

这是一份浙江省宁波市海曙区2023-2024学年第二学期八年级下册数学四校月考联考试卷，共13页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（每小题3分，共30分）
1．函数y=x−1中自变量x的取值范围是（ ）
A．x>1B．x≥1C．x≤1D．x≠1
2．下列计算正确的是( )
A．2+3=5B．(−2)2=−2C．8=42D．3×12=6
3．用配方法解方程x2+2x−1=0时，配方结果正确的是( )
A．(x+1)2=2B．(x−1)2=2C．(x+2)2=3D．(x+1)2=3
4．甲、乙、丙、丁四位选手各10次射击成绩的平均数和方差如表所示：
则这四人中成绩好且发挥最稳定的是（ ）
A．甲B．乙C．丙D．丁
5．若9−n是整数，则满足条件的自然数n共有( )个．
A．2B．3C．4D．5
6．将a−1a根号外的因式移到根号内，得( )
A．−aB．−−aC．−aD．a
7．若关于x的一元二次方程2x2+4x+m-1=0有实数根，则实数m的取值范围是（ ）
A．m<3B．m≤3C．m>3D．m≥3
8．已知数据x1，x2，…，xn的方差是4，则一组新数据2x1+1，2x2+1，…，2xn+1的方差是()
A．4B．5C．9D．16
9．电影《流浪地球2》于2023年1月22日在中国上映，第一天票房约4亿，以后每天票房按相同的增长率增长，第三天票房约6亿，若把增长率记作x，则方程可以列为（ ）
A．4（1+x）＝6B．4（1+x）2＝6
C．4+4（1+x）＝6D．4+4（1+x）+4（1+x）2＝6
10．方程P:ax2+bx+c=0；Q:cx2−bx+a=0，其中ac≠0，则以下四个结论：
①若ac<0，则方程P有两个不相等的实数根；②若方程P有两个不相等的实数根，则方程Q必定也有两个不相等的实数根；③若5是方程P的一个根，则−15是方程Q的一个根；④若方程P和方程Q有相同的根，则a+c=0.
正确的个数是( )
A．1B．2C．3D．4
二、填空题（每小题3分，共24分）
11．计算： 4 ＝
12．数据1、3、3、5、5、5、7的众数为 ．
13．若一个直角三角形两条直角边的长分别是一元二次方程x2−7x+12=0的两个实数根，则这个直角三角形斜边的长是 ．
14．已知一组数据的方差计算公式为s2=1n[(0−x)2+(3−x)2+(2−x)2+(8−x)2]，则这组数据的中位数是 ．
15．若3x+1与3x−1互为倒数，则3x= ．
16．(2+3)2023(2−3)2024= ．
17．三角形的三边长分别为a、b、c，求其面积的问题，中外数学家曾进行过深入研究，古希腊的数学家海伦给出的海伦公式S=p(p−a)(p−b)(p−c)，其中p=a+b+c2；我国古代数学家秦九韶提出的秦九韶公式S=14[a2b2−(a2+b2−c22)2].现已知△ABC三边长为1，5，3．则△ABC的面积为 ．
18．方程2x2+x+3+x2+x+1=5x2+3x+7的解为 ．
三、解答题（第19，20题每题6分，第21，22，23题每题8分，第24题10分，共46分）
19．计算：
（1）(−6)2−25+(−3)2；
（2）45−13×(12−15) ．
20．解方程：
（1）x2−4x+3=0
（2）2x2+4x−3=0
21．小明在本学期的数学成绩如下表所示（成绩均取整数）:
（1）计算小明本学期的平时平均成绩；
（2）如果学期的总评成绩是根据图所示的权重计算，那么本学期小明的期末考试成绩x至少为多少分才能保证达到总评成绩90分的最低目标？
22．阅读下列解题过程：
15+4=1×(5−4)(5+4)(5−4)=5−4(5)2−(4)2=5−4，
16+5=1×(6−5)(6+5)(6−5)=6−5(6)2−(5)2=6−5.
请回答下列问题：
（1）观察上面的解答过程，请写出12+3=；
（2）请你用含n（n为正整数）的关系式表示上述各式子的变形规律：；
（3）利用上面的解法，请化简：11+2+12+3+⋅⋅⋅+12023+2024+12024+2025．
23．某商店从工厂购进A、B两款玩具，进货价和销售价如表：
（1）该商店用1720元从工厂进货A、B两款玩具共60件，求两款玩具分别购进个数；
（2）商店销售第一天，B款玩具便已售完，A款玩具只售出4件，因此商家决定对A款玩具降价销售，经调查发现，A款玩具每下降1元，平均每天可多销售2件，要想第二天A款玩具的利润为66元，则商家需降价多少元？
24．对于关于x的代数式ax2+bx+c，若存在实数m，使得当x=m时，代数式的值也等于m，则称m为这个代数式的“不动值”．例如：对于关于x的代数式x2，当x=0时，代数式等于0；当x=1时，代数式等于1，我们就称0和1都是这个代数式的“不动值”．
（1）关于x的代数式x2−12的不动值是 ．
（2）证明：关于x的代数式3x2−x+1没有不动值；
（3）已知关于x的代数式a2x2−(3a2−8a−1)x+2a2−13a+15（a≠0）.
①若此代数式仅有一个不动值，求a的值；
②若此代数式的不动值至少有一个是整数，直接写出正整数a的值．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】函数自变量的取值范围
【解析】【解答】解：由题意得，x-1≥0，
解得：x≥1．
故答案为：C．
【分析】本题考查二次根式有意义的条件.根据函数表达式是二次根式时，被开方数非负，即被开方数大于等于0，据此可列出不等式，解不等式可求出答案．
2．【答案】D
【知识点】二次根式的性质与化简；二次根式的乘除法；二次根式的加减法
【解析】【解答】解：A、2与3不是同类二次根式，不能直接相加，故选项A错误；
B、(−2)2=−2=2 ，故选项B错误；
C、8=4×2=22 ，故选项C错误；
D、3×12=36=6 ，故选项D正确.
故答案为：D．
【分析】本题考查二次根式的加法、二次根式的性质、二次根式的运算法则、二次根式的乘法．二次根式的加减法，就是将各个二次根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式，所谓同类二次根式，就是被开方数完全相同的最简二次根式，合并的时候，只需要将系数相加减，根号部分不变，不是同类二次根式的一定不能合并，据此可判断A选项；根据二次根式的性质a2=a可以判断B选项；根据二次根式的运算法则ab=a×b，据此可判断C选项；根据二次根式的乘法法则可判断D选项．
3．【答案】A
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：x2+2x=1，
x2+2x+1=2，
（x+1）2=2．
故答案为：A．
【分析】本题考查解一元二次方程-配方法．先把常数项移到方程右侧，再进行配方：等式两边同时加上一次项系数一半的平方，即把方程两边加上1，然后把方程左边利用完全平方公式分解因式，后边合并同类项可得答案．
4．【答案】C
【知识点】分析数据的波动程度；分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）
【解析】【解答】∵乙的平均数=丙的平均数=8＞甲的平均数=丁的平均数=7，
∴乙、丙成绩比甲、丁成绩好，
∵丙的方差=0.9，乙的方差=1.1，丙的方差＜乙的方差，
∴丙的成绩好且发挥最稳定.
故答案为：C.
【分析】根据平均数大的可知乙、丙成绩比甲、丁成绩好，再由丙的方差比乙的方差小，可知丙的成绩好且发挥最稳定.
5．【答案】C
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：∵9−n≥0
∴n≤9
又∵9−n是整数，n为自然数
∴9−n为完全平方数且 9−n的最大值为9
∴9−n=0或1或4或9
∴n=9或8或5或0．
∴满足条件的自然数共4个
故答案为：C．
【分析】本题考查二次根式的化简．先根据二次根式有意义的条件求出n的取值范围：n≤9，根据9−n是整数，可得9−n=0或1或4或9，解方程可求出n的值，进而求出答案.
6．【答案】B
【知识点】二次根式有意义的条件；二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：∵−1a≥0，
∴a＜0，
∴a−1a=−(−a)−1a=−(−a)2×(−1a)=−−a
故答案为：C.
【分析】本题考查二次根式有意义的条件，二次根式的性质，二次根式的乘法法则.根据二次根式有意义的条件易得a＜0，再根据二次根式的性质可得a−1a=−(−a)2×(−1a)，最后根据二次根式的乘法法则进行计算可求出答案．
7．【答案】B
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵关于x的一元二次方程2x2+4x+m−1=0有实数根，
∴Δ=42−4×2×(m−1)≥0，
∴m≤3．
故答案为：B．
【分析】本题考查根的判别式.根据“当Δ≥0时，一元二次方程有实数根”，据此可列出关于m的一元一次不等式，解不等式可求出实数m的取值范围．
8．【答案】D
【知识点】方差
【解析】【解答】解：设这组数据x1，x2，x3，…xn的平均数为x，则另一组新数据2x1＋1，2x2＋1，2x3＋1，…2xn＋1的平均数为2x+1，
∵S2=1n[(x1−x)2+(x2−x)2+(x3−x)2+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+(xn−x)2]=4，
∴S'2=1n[(2x1+1−2x−1)2+(2x2+1−2x−1)2+(2x3+1−2x−1)2+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+(2xn+1−2x−1)2]
=1n[(2x1−2x)2+(2x2−2x)2+(2x3−2x)2+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+(2xn−2x)2]
=1n[4(x1−x)2+4(x2−x)2+4(x3−x)2+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+4(xn−x)2]
=4n[(x1−x)2+(x2−x)2+(x3−x)2+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+(xn−x)2]
=4S2
=4×4
=16
故答案为：D．
【分析】本题考查方差的性质．先设这组数据x1，x2，x3，……，xn的平均数为x，方差S2＝4，则另一组新数据2x1＋1，2x2＋1，2x3＋1，…2xn＋1的平均数为2x+1，方差为S'2，代入公式S2=1n[(x1−x)2+(x2−x)2+(x3−x)2+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+(xn−x)2]进行推导可求出答案．
9．【答案】B
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题
【解析】【解答】解：∵某地第一天票房约4亿元，且以后每天票房的增长为x，
∴第二天票房约为4（1+x）亿元，第三天票房约41+x2亿元.
故答案为：B.
【分析】根据题意得到第二天的增长率为（1+x），第三天增长率为1+x2，列出等式即可.
10．【答案】D
【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：①若ac＜0，那么方程p中△=b2-4ac＞0，则方程P有两个不相等的实数根，故①正确；
②由①如果方程P有两个不相等的实数根，则ac<0，则方程Q的根的判断式△=(-b)2-4ca=b2-4ac＞0，所以方程Q必定也有两个不相等的实数根，故②正确；
③如果5是方程P的一个根，那么25a+5b+c=0，
方程两边同时除以25，得a+15b+125c=0 ，即125c−(−15b)+a=0
所以−15是方程Q的一个根，故③正确；
④如果方程P和方程Q有一个相同的根，那么ax2+bx+c=cx2−bx+a ，
解得：x=1，b=0，所以a+c=0，故④正确，
综上，正确的有①②③④，共4个.
故答案为：D．
【分析】一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2-4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根，据此可判断①和②；③如果5是方程P的一个根，反代回方程，通过变形得125c−(−15b)+a=0，据此可判断③；解方程ax2+bx+c=cx2−bx+a ，解方程可判断④．
11．【答案】2
【知识点】算术平方根
【解析】【解答】解： 4=2 ；
故答案为：2.
【分析】如果一个正数x的平方等于a，那么x是a的算术平方根，由此即可求解.
12．【答案】5
【知识点】众数
【解析】【解答】解：5的次数出现3次，次数最多，据此可判断众数为5.
故答案为：5.
【分析】在一组数据中，出现次数最多的数据叫做众数，(众数可能有多个)，据此可得答案.
13．【答案】5
【知识点】因式分解法解一元二次方程；勾股定理
【解析】【解答】解：x2−7x+12=0
则(x−3)(x−4)=0，
解得x1=3,x2=4，
∴直角三角形两条直角边的长分别是3和4，
则这个直角三角形斜边的长是32+42=5，
故答案为：5.
【分析】本题考查解一元二次方程，勾股定理．先解一元二次方程得到两条直角边的长，再利用勾股定理可求出斜边．
14．【答案】2.5
【知识点】中位数；方差
【解析】【解答】解：由方差的计算公式知，这组数据为0，3，2，8，排序可得：0，2，3，8
所以这组数据的样本容量为4，中位数为2+32=2.5．
故答案为：2.5．
【分析】本题考查方差，中位数的定义．由方差的计算公式得出这组数据为0，3，2，8，中位数：将一组数据按从小到大（或者从大到小）的顺序排列后，如果数据的个数是奇数个时，则处在最中间的那个数据叫做这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数个时，则处在最中间的两个数据的平均数叫做这组数据的中位数，据此可得答案.
15．【答案】±2
【知识点】有理数的倒数；平方差公式及应用；直接开平方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：因为3x+1与3x−1互为倒数
所以(3x+1)(3x−1)=1
即(3x)2−1=1
解得：3x=±2
故答案为：±2．
【分析】本题考查解一元二次方程的解，平方差公式，倒数的意义.两个数互为倒数，则两个数相乘等于1，据此可列出方程(3x+1)(3x−1)=1，利用平方差公式化简后，利用直接开平方法解一元二次方程可求出答案.
16．【答案】2−3
【知识点】同底数幂的乘法；二次根式的混合运算；积的乘方运算
【解析】【解答】解：原式=(2−3)×[(2−3)(2+3)]2023
=(2−3)×12023
=2−3
故答案为：2−3．
【分析】本题考查二次根式和乘方的运算法则，平方差公式．先把原式化成(2−3)×[(2−3)(2+3)]2023，再利用平方差公式进行化简，再进行运算可求出答案．
17．【答案】114
【知识点】二次根式的化简求值
【解析】【解答】解：将1，5，3，代入公式得出：
S=14[12×(5)2−(12+(5)2−322)2]=14[1×5−(1+5−322)2]=1116=114
故答案为：114．
【分析】直接将三角形三边代入秦九韶公式，再进行化简可求出答案.
18．【答案】x1=−1，x2=−12
【知识点】无理方程
【解析】【解答】解：设a=2x2+x+3,b=x2+x+1,c=5x2+3x+7
则a+b=c
观察可得：2a2+b2=c2=(a+b)2
化简可得：a2=2ab(a>0)
所以a=2b
即2x2+x+3=2x2+x+1
两边同时平方可得：2x2+3x+1=0
解方程可得：x1=−1，x2=−12
【分析】本题根式方程的解.先采用换元法令a=2x2+x+3,b=x2+x+1,c=5x2+3x+7，则a+b=c，观察可得：2a2+b2=c2=(a+b)2，再进行化简可得：a=2b，再平方可得方程2x2+3x+1=0，解方程可求出方程的解.
19．【答案】（1）解：原式=6-5+3
=1+3
=4.
（2）解：原式=35−33×23−15
=35−33×23+33×15
=35−2+5
=45−2 .
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【分析】(1)先将二次根式化简，然后进行有理数的加减混合运算，即可得出结果；
(2)先进行二次根式的化简，再去括号，进行二次根式的乘法运算，最后合并同类二次根式，即可得出结果。
20．【答案】（1）解：∵x2−4x+3=0，
∴(x−1)(x−3)=0，
则x−1=0或x−3=0，
解得x1=1，x2=3；
（2）解：∵a=2，b=4，c=−3，
∴△=42−4×2×(−3)=40>0，
则x=−b± b2−4ac2a=−4±2104=−2±102，
即x1=−2+102，x2=−2−102.
【知识点】公式法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）对原方程进行因式分解可得(x-1)(x-3)=0，据此求解；
（2）首先求出判别式的值，然后借助求根公式进行计算.
21．【答案】（1）解：小明该学期的平时平均成绩为：(88+70+96+86)÷4=85；
（2）解：按照如图所示的权重，小明该学期的总评成绩为：85×10%+85×30%+60%x，
依题意得：85×10%+85×30%+60%x=90
解得：x=93.33．
答：小明期末考试成绩至少需要94分．
【知识点】加权平均数及其计算
【解析】【分析】本题考查加权平均数的应用．
（1）先求出平时成绩的总和，再除以次数4，可求出平时平均成绩；
（2）根据扇形统计图所表示的占比，再利用加权平均数公式列出等式85×10%+85×30%+60%x=90，解方程可求出答案．
22．【答案】（1）解：12 +3=1×(2−3)(2+3)(2−3)=2−3
（2）解：1n+1+n=1×(n+1−n)(n+1+n)×(n+1−n)=n+1−n(n+1)2−(n)2=n+1−n
（3）解：反复运用1n+1+n=n+1−n得
11+2+12+3+13+4++12023+2024+12024+2025
=2−1+3−2+4−3++2025−2024=−1+2025=44
【知识点】分母有理化；二次根式的混合运算
【解析】【分析】本题考查分母有理化.
（1）根据题意，将分子和分母同时乘以2−3，进行分母有理化，再进行化简可求出答案；
（2）根据题意，将分子和分母同时乘以n+1−n，进行分母有理化，然后合并化简即可得到答案；
（3）根据1n+1+n=n+1−n，把所求式子的每一项进行化简，然后再相加可求出答案.
23．【答案】（1）解：设购进A款玩具x件，B款玩具y件，
依题意得：x+y=6030x+25y=1720，
解得：x=44y=16
答：购进A款玩具44件，B款玩具16件.
（2）解：设商家需降价y元，
依题意得：（4+2y）×（42-30）＝66．
解得y＝0.75．
答：商家需降价0.75元．
【知识点】一元一次方程的实际应用-销售问题；二元一次方程组的应用-和差倍分问题
【解析】【分析】（1）设购进A款玩具x件，B款玩具y件，根据总费用为1720元可得30x+25y=1720；根据共60件玩具可得x+y=60，联立求解即可；
（2）设商家需降价y元，则每天的销售量为(4+2y)，根据(售价-进价)×销售量=利润可得关于y的方程，求解即可.
24．【答案】（1）4，－3.
（2）证明：令3x2−x+1=x，则有3x2−2x+1=0，
其判别式Δ=(−2)2−4×3×1<0，
∴此方程无解，
∴ 关于x的代数式3x2−x+1没有不动值；
（3）解：①令a2x2−(3a2−8a−1)x+2a2−13a+15=x，
则有a2x2−(3a2−8a)x+2a2−13a+15=0，
∵此方程只有一个实数根，
∴则Δ=a4+4a3+4a2=a2(a+2)2=0，
解得a=−2.
②a=1，3，5.
【知识点】因式分解法解一元二次方程；一元二次方程根的判别式及应用；定义新运算
【解析】【解答】解：（1）解：依题意，得：x2−12=x，即x2−x−12=0
解得：x1=−3，x2=4，
故答案为：−3和4；
（3）②令a2x2−(3a2−8a−1)x+2a2−13a+15=x，
则有a2x2−(3a2−8a)x+2a2−13a+15=0，
因式分解可得：[ax−(2a−3)][ax−(a−5)]=0
解得：x1=2−3a,x2=1−5a
∵此方程至少有一个是整数 ，
∴只要a是3或5的约数即可，即a=1,3,5.
所以a=1，3，5.
【分析】本题考查一元二次方程的应用以及根的判别式．
（1）根据不变值的定义可得出关于x的一元二次方程x2−12=x，解方程可求出x的值，据此可求出答案；
（2）根据不变值的定义可得出关于x的一元二次方程3x2−x+1=x，再利用根的判别式判断该方程没有实数根，据此可证明代数式3x2−x+1没有不变值；
（3） ① 先令a2x2−(3a2−8a−1)x+2a2−13a+15=x，化简后再根据Δ=0，可求出实数a的值；
②先令a2x2−(3a2−8a−1)x+2a2−13a+15=x，化简后可求出方程的根为：x1=2−3a,x2=1−5a，再根据此方程至少有一个是整数，可得a是3或5的约数，进而可求出a的值. 选手
甲
乙
丙
丁
平均数（环）
7
8
8
7
方差（环2）
0.9
1.1
0.9
1
测验
类别
平时
期中
考试
期末
考试
测验1
测验2
测验3
课题练习
成绩
88
70
96
86
85
x
类别
价格
A款玩具
B款玩具
进货价（元/件）
30
25
销售价（元/件）
42
35