湖南省衡阳市衡阳县第四中学2024-2025学年高三上学期10月月考数学试题
展开这是一份湖南省衡阳市衡阳县第四中学2024-2025学年高三上学期10月月考数学试题,共6页。试卷主要包含了选择题的作答,非选择题的作答,已知直线l等内容,欢迎下载使用。
注意事项:
1.答题前,先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上,并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2.选择题的作答:每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3.非选择题的作答:用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4.考试结束后,请将本试题卷和答题卡一并上交。
第Ⅰ卷(选择题)
一、单选题(本题共8小题,每小题5分,共40分)
1.已知全集U=R,集合A=x∣x2-2x>8,B=x13x<3,则图中阴影部分表示的集合为( )
A.{x∣-1
A.-4B.-1C.1D.4
3.已知△ABC是边长为4的等边三角形,P为平面ABC内一点,则PA⋅PB+PC的最小值是( )
A.-2B.-8C.-3D.-6
4.三个数a=2lnee2,b=ln2,c=ln33的大小顺序为( )
A.b
A.-∞,-1B.1,+∞C.-∞,0D.0,+∞
6.设曲线y=e2ax在点0,1处的切线与直线x+2y-2=0垂直,则a的值为( )
A.1B.-1C.14D.-14
7.已知直线l:y=3x+2m与双曲线C:x2m-y2m+2=1(m>0)的一条渐近线平行,则C的右焦点到直线l的距离为( )
A.2B.3C.3+1D.4
8.已知在8个电子元件中,有2个次品,6个合格品,每次任取一个测试,测试完后不再放回,直到2个次品都找到为止,则经过3次测试恰好将2个次品全部找出的概率为( )
A.128B.114C.17D.156
二、多选题(本题共3小题,每小题6分,共18分)
9.已知函数fx=Asinωx+φ A>0,ω>0,φ<π2部分图象如图所示,下列说法正确的是( )
A.fx的图象关于点5π6,0对称
B.fx的图象关于直线x=π3对称
C.将函数y=cs2x-3sin2x的图象向右平移π4个单位得到函数fx的图象
D.若方程fx=m在-π2,0上有两个不相等的实数根,则m的取值范围是-2,-3
10.已知公差为d的等差数列an是递减数列,其前n项和为Sn,且满足a8=2a6,则下列结论正确的是( )
A.d<0B.a1>0
C.若Sn≥0,则n的最大值为7D.Sn取最大值时,n=4
11.甲、乙、丙、丁、戊、已6人从左向右排成一排,则下列说法正确的是( )
A.若甲、乙相邻,则不同的排法有240种
B.若丙、丁相隔一个,则不同的排法数有96种
C.若甲不在排头,乙不在排尾,则不同的排法有504种
D.甲排在乙,丙左边的概率为13
第Ⅱ卷(非选择题)
三、填空题(本题共3小题,每小题5分,共15分)
12.2x+1x12的二项展开式中的常数项为 .(结果用数字表示)
13.过抛物线y2=4x焦点的弦AB的中点横坐标为2,则弦AB的长度为 .
14.若AB=3,AC=2CB,平面内一点P,满足PA⋅PCPA=PB⋅PCPB,sin∠PAB的最大值是 .
四、解答题(本题共5小题,共77分)
15.(13分)已知递增等比数列an满足a1=3,a3是5a2与3a1的等差中项.
(1)求an的通项公式;
(2)若bn=1an+nn∈N*,求数列bn的前n项和Sn.
16.(15分)如图,三棱锥P-ABC中,正三角形PAC所在平面与平面ABC垂直,O为AC的中点,G是△PBC的重心,OG⊥BC,G到平面PAC的距离为1,AB=6.
(1)证明:AB//平面POG;
(2)证明:△ABC是直角三角形;
(3)求平面PAB与平面PBC夹角的余弦值.
17.(15分)某市质监部门根据质量管理考核指标对本地的500 家食品生产企业进行考核,通过随机抽样抽取其中的50家,统计其考核成绩(单位:分),并制成如下频率分布直方图.
(1)求这50家食品生产企业考核成绩的平均数x(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表)及中位数a(精确到0.01);
(2)该市质监部门打算举办食品生产企业质量交流会,并从这 50 家食品生产企业中随机抽取5 家考核成绩不低于88分的企业发言,记抽到的企业中考核成绩在[96,100]的企业数为 Y,求 Y的分布列与数学期望;
(3)若该市食品生产企业的考核成绩X服从正态分布, Nμσ²,其中μ近似为50 家食品生产企业考核成绩的平均数x,σ²近似为样本方差s²,经计算得 s²=27.68,,利用该正态分布,估计该市500 家食品生产企业质量管理考核成绩高于95.32分的有多少家?(结果保留整数).
附参考数据与公式: 27.68≈5.26,X∼Nμσ2,则 Pμ-σ≤X≤μ+σ≈0.6827,P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.9545,P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈0.9973.
18.(17分)已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的一条渐近线方程为y=3x,右焦点F到渐近线的距离为3.
(1)求双曲线C的标准方程;
(2)过点F的直线l与双曲线C交于M,N两点,A-1,0.求AM⋅AN的值.
19.(17分)已知函数f(x)=x(a-lnx),在点P(1,f(1))处切线方程为y=1.
(1)求实数a的值;
(2)讨论f(x)的单调性;
(3)设x1,x2为两个不相等的正数,且fx1=fx2,证明:x1+x2>2.
数学答案
1.【答案】C
【解析】因为集合A={x∣x<-2或x>4},B={x∣x>-1},所以∁UA=x∣-2≤x≤4,所以∁UA∩B={x∣-1
2.【答案】A
【解析】z1⋅z2=1-2ia+2i=a+4+2-2ai,
因为z1⋅z2是纯虚数,
所以a+4=02-2a≠0,解得a=-4.
故选:A.
3.【答案】D
【解析】以BC中点为坐标原点,建立如图所示的坐标系.
则A(0,23),B(-2,0),C(2,0),设Px,y,
则PA=-x,23-y,PB=-2-x,-y,PC=2-x,-y
所以PA⃗⋅(PB⃗+PC⃗)=-x⋅(-2x)+(23-y)⋅(-2y)=2x2-43y+2y2
=2[x2+(y-3)2-3];
所以当x=0,y=3时, PA⃗⋅(PB⃗+PC⃗)取得最小值为2×(-3)=-6.
故选:D.
4.【答案】D
【解析】a=lne2e2,b=ln2=ln22=ln44,c=ln33,
记fx=lnxx,x>0,则f'x=1-lnxx2,
令f'x=1-lnxx2<0,解得x>e,所以fx在e,+∞上单调递减,
因为e<3<4
5.【答案】D
【解析】设Fx=fx-2ex,则F'x=f'x-fx+2ex,
∵fx-f'x>2,∴f'x-fx+2<0,
∴F'x<0,即Fx在定义域R上单调递减.
∵f0=5,∴F0=3,
∴不等式fx≤3ex+2等价于fx-2ex≤3,即Fx≤F0,解得x≥0,
故选:D.
6.【答案】A
【解析】由题意题中切线的斜率为2,
由y=e2ax,则y'=2ae2ax,
所以2a=2,a=1,
故选:A.
7.【答案】C
【解析】双曲线C:x2m-y2m+2=1(m>0)的渐近线方程为y=±m+2mx,
因为直线l:y=3x+2m与双曲线C的一条渐近线平行,
所以m+2m=3,解得m=1,所以双曲线C的右焦点坐标为(2,0),
所以C的右焦点到直线l的距离为|23+2|3+1=3+1.
故选:C.
8.【答案】B
【解析】由已知可得前两次测试一次取得正品一次取得次品,第三次测试恰好取得次品,
则P=C21⋅C61C82⋅16=114,
故选:B.
9.【答案】ACD
【解析】由图可知A=2,函数的周期为π,所以2πω=π,解得ω=2;
由fπ12=2可得φ=2kπ+π3,k∈Z,因为φ<π2,所以φ=π3.
所以fx=2sin2x+π3.
对于A,f5π6=2sin5π3+π3=0,所以fx的图象关于点5π6,0对称,正确.
对于B,fπ3=2sin2π3+π3=0,所以fx的图象不关于直线x=π3对称,错误.
对于C,y=cs2x-3sin2x=2cs2x+π3,向右平移π4个单位,
得到y=2cs2x-π6=2sin2x+π3,即可以得到函数fx的图象,正确.
对于D,x∈-π2,0时,2x+π3∈-2π3,π3,所以fx∈-2,3,
简图如下,
所以m的取值范围是-2,-3,正确.
故选:ACD
10.【答案】ABC
【解析】等差数列an是递减数列,则公差d<0,A正确;
由题意d=a8-a62=12a6<0,∴a6<0,
则a4=a6-2d=0,从而Sn取最大值时,n=4或n=3,D错误;
所以a1=a4-3×(12a6)=-32a6>0,B正确;
Sn=na1+n(n-1)2d=-32a6n+n(n-1)2⋅12a6=14a6(n2-7n),由Sn≥0得1≤n≤7,C正确.
故选:ABC.
11.【答案】ACD
【解析】A选项,若甲、乙相邻,则不同的排法有A22A55=240种,A选项正确.
B选项,若丙、丁相隔一个,则不同的排法数有A22A41A33=48种,B选项错误.
C选项,若甲不在排头,乙不在排尾,则不同的排法有A66-2A55+A44=504种,C选项正确.
D选项,基本事件的总数有A66=720,
甲排在乙,丙左边的不同的排法数有C63A22A33=240,
所以甲排在乙,丙左边的概率为240720=13,D选项正确.
故选:ACD
12.【答案】7920
【解析】Tr+1=C12r(2x)12-r(1x)r=C12r⋅212-rx12-32r,
由12-32r=0得r=8,
所以常数项为T9=C128⋅24=7920.
故答案为:7920
13.【答案】6
【解析】抛物线y2=4x的准线方程为x=-1,设Ax1,y1,Bx2,y2,
则x1+x22=2,所以x1+x2=4,
所以AB=x1+1+x2+1=4+2=6.
故答案为:6
14.【答案】12/0.5
【解析】
如图,由PA⋅PCPA=PB⋅PCPB和向量的数量积定义可得,
|PC|cs〈PA,PC〉=|PC|cs〈PB,PC〉,即得∠APC=∠BPC,从而PAPB=ACBC=2,
设PB=x,则PA=2x,由PA+PB>AB,PA-PB
因0<∠PAB<π,则0<∠PAB≤π6,故0
15.
【解析】(1)因为a3是5a2与3a1的等差中项,a1=3,
所以2a3=5a2+3a1,即2q2-5q-3=0,解得q=3或q=-12,
因为an为递增等比数列,所以q=3,
所以an=3×3n-1=3n.
(2)bn=1an+n=(13)n+n,
Sn=[13+(13)2+⋯+(13)n]+(1+2+⋯+n)
=13[1-(13)n]1-13+n(1+n)2=-12⋅3n+n2+n+12.
16.【解析】(1)在三棱锥P-ABC中,连接PG并延长交BC于D,连接OD、OG,
由G为△PBC的重心,得D为BC的中点,又O是AC中点,
则OD//AB,又OD⊂平面POG,AB⊄平面POG,
所以AB//平面POG.
(2)由△PAC是正三角形,O是AB的中点,得PO⊥AC,
又平面PAC⊥平面ABC,平面PAC∩平面ABC=AC,PO⊂平面PAC,
则PO⊥平面ABC,又BC⊂平面ABC,于是PO⊥BC,
又OG⊥BC,又PO,OG⊂平面POD,PO∩OG=O,因此BC⊥平面POD,
又OD⊂平面POD,则BC⊥OD,又由(1)知OD//AB,于是BC⊥AB,
所以△ABC是直角三角形.
(3)在平面ABC内过B作BF⊥AC于F,平面PAC⊥平面ABC,平面PAC∩平面ABC=AC,则BF⊥平面PAC,
由G为△PBC的重心,且G到平面PAC的距离为1,得B到平面PAC的距离为3,即BF=3,
在Rt△ABF中,sin∠BAF=BFAB=12,则∠BAF=30∘,在Rt△ABC中,AC=ABcs30∘=43,
以O为原点,直线OC,OP分别为y,z轴,过点O且垂直于平面PAC的直线为x轴,建立空间直角坐标系,
则A(0,-23,0),B(3,3,0),C(0,23,0),P(0,0,6),
设平面PAB的法向量为m=(x1,y1,z1),AP=(0,23,6),AB=(3,33,0),
则m⋅AP=23y1+6z1=0m⋅AB=3x1+33y1=0,令z1=1,得m=(3,-3,1),
设平面PBC的法向量为n=(x2,y2,z2),CP=(0,-23,6),CB=(3,-3,0),
则n⋅CP=-23y2+6z2=0n⋅CB=3x2-3y2=0,令z2=1,得n=(1,3,1),
因此cs〈m,n〉=m⋅n|m||n|=113×5=6565,
所以平面PAB与平面PBC夹角的余弦值为6565.
17.【解析】(1)这 50家食品生产企业考核成绩的平均数为:
x=74×0.04+78×0.12+82×0.28+86×0.36+90×0.10+94×0.06+98×0.04
=84.80
由频率分布直方图得a∈84,88内,
∴0.04+0.12+0.28+0.09×a-84=0.5,
解得中位数a≈84.67 (分) .
(2)这50家食品生产企业中考核成绩不低于88分的企业有
50×0.1+0.06+0.04=10家,
其中考核成绩在96,100内的企业有50×0.04=2家,
由题意可知,Y的可能取值为0,1,2,
PY=0=C85C105=29,
PY=1=C21C84C105=59,
PY=2=C22C83C105=29,
∴Y的分布列为:
EY=0×29+1×59+2×29=1.
(3)由题意得X~N(84.80,5.262),
∴μ+2σ≈84.80+2×5.26=95.32,
PX>μ+2σ≈12-0.95452≈0.02275,
∴500×0.02275=11.375≈11 (家) ,
∴估计该市 500家食品生产企业质量管理考核成绩高于 95.32分的有11家.
18.【解析】(1)解:由双曲线C:x2a2-y2b2=1的渐近线方程为y=3x,可得ba=3,
又由焦点F(c,0)到渐近线的距离为3,可得d=3c(3)2+12=3,可得c=2,
又因为c2=a2+b2,可得a=1,b=3,所以双曲线的方程为x2-y23=1.
(2)解:由(1)知c=2,可得F(2,0),
当直线l的斜率不存在时,即l:x=2,将x=2代入x2-y23=1,可得y1=3或y2=-3,
不妨设M(2,3),N(2,-3),
又由A(-1,0),可得AM=(3,3),AN=(3,-3),
所以AM⋅AN=3×3+3×(-3)=0;
当直线l的斜率存在时,即l:y=k(x-2),
联立方程组y=k(x-2)x2-y23=1,整理得(3-k2)x2+4k2x-4k2-3=0,
设M(x1,y1),N(x2,y2),则Δ=(4k2)2+4(3-k2)(4k2+3)>0,
且x1+x2=4k2k2-3,x1x2=4k2+3k2-3,
则y1y2=k2(x1-2)(x2-2)=k2x1x2-2k2(x1+x2)+4k2,
且AM=(x1+1,y1),AN=(x2+1,y2),
则AM⋅AN=(x1+1)(x2+1)+y1y2=x1x2+(x1+x2)+1+y1y2
=x1x2+(x1+x2)+1+k2x1x2-2k2(x1+x2)+4k2
=(1-2k2)(x1+x2)+(k2+1)x1x2+4k2+1=
=(1-2k2)⋅4k2k2-3+(k2+1)⋅4k2+3k2-3+4k2+1
=4k2-8k4+4k2+3k2+4k4+3+4k4-12k2+k2-3k2-3=0,
综上可得:AM⋅AN=0.
19.【解析】(1)由题意,f(1)=1×(a-ln1)=a,
又切线方程为y=1,
所以a=1.
(2)fx=x1-lnx,f'x=1-lnx+x-1x=-lnx,
所以f'x>0⇔0
故f(x)在0,1上单调递增,1,+∞上单调递减.
(3)因为f1=1,fe=0,当x→0时,f(x)→0,
且f(x)在0,1上单调递增,1,+∞上单调递减,
所以由fx1=fx2(不妨设x1
由函数单调性,只需证明f(x2)
=ln(-x2+2x)=ln-x-12+1,
由0
所以g(x)>g(1)=0,即f2-x-fx>0,所以f(x1)
0
1
2
P
29
59
29
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