2024-2025学年湖北省腾云联盟高三（上）联考数学试卷（10月份）（含答案）

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这是一份2024-2025学年湖北省腾云联盟高三（上）联考数学试卷（10月份）（含答案），共11页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知A={x|116≤2x≤4}，B={x|ln(x−1)≤0}，则A∩B=( )
A. {x|−4≤x<2}B. {x|−4≤x≤2}C. {x|12.若复数z满足(2+i)z−=1−i，则复平面内表示z的点在( )
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
3.函数f(x)=ax2+(a−3)x+1在区间[−1,+∞)上是递减的，则实数a的取值范围是( )
A. [−3,0)B. (−∞,−3]C. [−2,0]D. [−3,0]
4.函数f(x)=asinx+bcsx(ω>0)图像的一条对称轴为x=π3，则ab=( )
A. 3B. − 3C. 33D. − 33
5.四边形ABCD是边长为4的正方形，点P是正方形内的一点，且满足|AP+BP+CP+DP|=4，则|AP|的最大值是( )
A. 1+ 2B. 2−1C. 2 2−1D. 2 2+1
6.已知三棱锥P−ABC的四个顶点都在球O的球面上，PA=PB=PC=4，AB=BC=2，AC=2 3，则球O的表面积为( )
A. 64π3B. 40π3C. 27π4D. 21π2
7.已知圆C：(x−1)2+y2=1，点M在y=ex上，过点M作圆C的两条切线，切点分别为A和B，以AB为直径作圆C′，则圆C′的面积的最小值为( )
A. π4B. π2C. 3π4D. π
8.不等式x1+x2+x3≤12，其中x1，x2，x3是非负整数，则使不等式成立的三元数组(x1,x2,x3)有多少组( )
A. 560B. 455C. 91D. 55
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知互不相同的20个样本数据，若去掉其中最大和最小的数据，设剩下的18个样本数据的方差为s12，平均数x1−；去掉的两个数据的方差为s22，平均数x2−；原样本数据的方差为s2，平均数x−，若x1−=x2−，则( )
A. x−=x−1
B. 10s2=9s12+s22
C. 剩下18个数据的中位数大于原样本数据的中位数
D. 剩下18个数据的22%分位数不等于原样本数据的22%分位数
10.已知函数f(x)=|sinx|+ 3|csx|，则下列说法正确的是( )
A. f(x)的最小正周期为πB. f(x)的值域为[1,2]
C. f(x)关于x=7π6对称D. f(x)在[−5π6,−π2]上单调递减
11.已知定义域为R函数f(x)和g(x)，且g(x)是奇函数，对任意x∈R满足2f2(x)=f(2x)+1，2g2(x)=f(2x)−1且f′(x)=g(x)，g′(x)=f(x)，下列说法正确的( )
A. 2f(x)g(x)=g(2x)
B. f(0)=−12或1
C. f(x)在(−∞,0]上单调递增，在[0,+∞)单调递减
D. x>0时，g(x)>x36+x
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知曲线f(x)=lnx+x2a在点(1,f(1))处的切线的倾斜角为π3，则a的值为______．
13.设F1，F2为双曲线x26−y23=1的两个焦点，点P是双曲线上的一点，且∠F1PF2=90°，则△F1PF2的面积为______．
14.有一直角转弯的走廊(墙面与顶部都封闭)，已知走廊的宽度与高度都是3米，现有不能弯折的硬管需要通过走廊，若不计硬管粗细，则可通过的最大极限长度为______米.
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
如图，在平行四边形ABCD中，AB= 2，BC=2，∠ABC=π4，四边形ACEF为矩形，平面ACEF⊥平面ABCD，AF=1，点M在线段EF上运动．
(1)当AE⊥DM时，求点M的位置；
(2)在(1)的条件下，求平面MBC与平面ECD所成锐二面角的余弦值．
16.(本小题15分)
已知函数f(x)=axex(a≠0)，其中e为自然对数的底数．
(1)讨论f(x)的单调区间；
(2)若a=3，设函数g(x)=2+lnx，当不等式xf(x)+g(x)≤mx+1在x∈(0,+∞)上恒成立时，求实数m的取值范围．
17.(本小题15分)
在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，m=(sinA,sinB−sinC)，n=(c+b,b−a)且m//n．
(1)求角C的值；
(2)若△ABC为锐角三角形，AB中点为D且c=1，求CD的取值范围．
18.(本小题17分)
已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的长轴是短轴的2 33倍，且椭圆上一点到焦点的最远距离为3，A，B是椭圆左右顶点，过A，B做椭圆的切线，取椭圆上x轴上方任意两点P，Q(P在Q的左侧)，并过P，Q两点分别作椭圆的切线交于R点，直线RP交点A的切线于I，直线RQ交点B的切线于J，过R作AB的垂线交I于K．
(1)求椭圆的标准方程．
(2)若R(1,2)，直线RP与RQ的斜率分别为k1与k2，求k1k2的值．
(3)求证：|IK||JK|=|IA||JB|．
19.(本小题17分)
如图：一张3×3的棋盘，横行编号1，2，3：竖排编号a，b，c.一颗棋子目前位于棋盘的(c,1)处，它的移动规则是：每次移动到与自身所在格不相邻的异色格中.例如该棋子第一次移动可以从(c,1)移动到(a,2)或(b,3).棋子每次移动到不同目的地间的概率均为12．
(1)①列举两次移动后，该棋子所有可能的位置．
②假设棋子两次移动后，最终停留到第1，2，3行时，分别能获得1，2，3分，设得分为X，求X的分布列和数学期望．
(2)现在于棋盘左下角(a,3)处加入一颗棋子，他们运动规则相同，并且每次移动同时行动.移动n次后，两棋子位于同一格的概率为Pn，求Pn的通项公式．
参考答案
1.C
2.A
3.D
4.A
5.D
6.A
7.B
8.B
9.AB
10.ABD
11.AD
12.1+ 3
13.3
14.9
15.解：(1)∵AB= 2,BC=AD=2,∠ABC=π4，∴AC= 2，
AB2+AC2=BC2，∴AB⊥AC，又AF⊥AC，
平面ACEF⊥平面ABCD，平面ACEF∩平面ABCD=AC，AF⊂平面ACEF，
∴AF⊥平面ABCD，
以AB，AC，AF为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
如图：A(0,0,0),B( 2,0,0),C(0, 2,0),D(− 2, 2,0),E(0, 2,1),F(0,0,1)，
设M(0,y,1),0≤y≤ 2．
则AE=(0, 2,1),DM=( 2,y− 2,1)，
∵AE⊥DM，∴AE⋅DM= 2(y− 2)+1=0，解得y= 22，∴FMFE=12．
∴当AE⊥DM时，点M为EF的中点．……………………(6分)
(2)由(1)，BM=(− 2, 22,1),BC=(− 2, 2,0)，
设平面MBC的一个法向量为m=(x1,y1,z1)，
则mBM=− 2x1+ 22y1+z1=0m⋅BC=− 2x1+ 2y1=0，取y1=2，则m=(2,2, 2)，
易知平面ECD的一个法向量为n=(0,1,0)，
∴csθ=|cs|=|m⋅n|m||n||=2 4+4+2= 105，
∴平面MBC与平面ECD所成二面角的余弦值为 105.……………………(12分)
16.解：(1)易知函数f(x)=axex(a≠0)的定义域为R．
所以f′(x)=a(1−x)ex，
当a>0时，由f′(x)>0，得x<1，由f′(x)<0，得x>1．
所以f(x)的单调增区间为(−∞,1)，单调减区间为(1,+∞)；
当a<0时，由f′(x)>0，得x>1，由f′(x)<0，得x<1．
所以f(x)的单调增区间为(1,+∞)，单调减区间为(−∞,1)．
(2)将a=3代入，得f(x)=3xex，
因为g(x)=2+lnx，不等式xf(x)+g(x)≤mx+1在x∈(0,+∞)上恒成立，
所以3x2ex+2+lnx≤mx+1，即m≥3xex+1x+lnxx在x∈(0,+∞)上恒成立，
令ℎ(x)=3xex+1x+lnxx，易知函数ℎ(x)的定义域为(0,+∞)．
所以ℎ′(x)=3ex−3xexe2x−1x2+1−lnxx2=3(1−x)ex−lnxx2．
当00,lnxx2<0，故ℎ′(x)>0；
当x>1时，3(1−x)ex<0,lnxx2>0，故ℎ′(x)<0．
所以ℎ(x)在(0,1)上单调递增，在(1,+∞)上单调递减，
所以x=1时，ℎ(x)在(0,+∞)上取得最大值ℎ(1)=3e+1．
所以m≥3e+1，
所以实数m的取值范围是[3e+1,+∞)．
17.解：(1)因为m=(sinA,sinB−sinC)，n=(c+b,b−a)且m//n，
所以(c+b)(sinB−sinC)=(b−a)sinA，
由正弦定理可得(c+b)(b−c)=(b−a)a，
即b2+a2−c2=ab，
由余弦定理可得：csC=b2+a2−c22ab=12，
又因为C∈(0,π2)，
可得C=π3；
(2)因为c=1，
由余弦定理可得c2=a2+b2−2abcsC=a2+b2−ab=1，
因为2CD=CA+CB，所以4CD2=CA2+CB2+2CA⋅CB=b2+a2+2abcsC=1+2ab，
由正弦定理可得：asinA=bsinB=csinC=1 32=2 3，
可得a=2 3sinA，b=2 3sinB，
所以ab=43sinAsinB=43sin(π3+B)sinB=43( 32csB+12sinB)sinB=13(2 3sinBcsB+2sin2B)
=13( 3sin2B+1−cs2B)=13[2sin(2B−π6)+1]，
在△ABC为锐角三角形中，0解得π6所以2B−π6∈(π6,5π6)，所以sin(2B−5π6)∈(12,1]，
所以2sin(2B−5π6)+1∈(2,3]，
所以ab∈(23,1]，
所以4CD2∈(73,3]，
所以CD∈( 216, 32].
18.解：(1)由题意：2a=2 33⋅2ba+c=3a2=b2+c2，解得a=2b= 3c=1，
所以椭圆的标准方程为：x24+y23=1．
(2)设过点R的切线方程为：y−2=k(x−1)，即y=kx+(2−k)，
联立y=kx+(2−k)x24+y23=1，消去y并整理得：(4k2+3)x2+8k(2−k)x+4(2−k)2−12=0，
由Δ=0=64k2(2−k)2=4(4k2+3)[4(2−k)2−12]，
整理得：3k2+4k−1=0，所以k1k2=−13．
(3)证明：设R(x0,y0)(y0>0)，RK的延长线交x轴于K点，如图：

P、Q两点处切线斜率分别为k1，k2，则|IK||JK|=|AK||BK|=x0+22−x0，
设R点的椭圆的切线方程为：y−y0=k(x−x0)，
联立y=kx+(y0−kx0)x24+y23=1，消去y并化简整理得：(4k2+3)x2−8k(kx0−y0)x+4(kx0−y0)2−12=0，
由Δ=0得，64k2(kx0−y0)2=4(4k2+3)[4(kx0−y0)2−12]，
化简整理得：(x02−4)k2−2x0⋅y0k+y02−3=0，
由韦达定理得：k1+k2=2x0y0x02−4，k1k2=y02−3x02−4，
所以yI=k1(−2−x0)+y0，yJ=k2(2−x0)+y0，
所以要证明|IK||JK|=|IA||JB|，只需证明x0+22−x0=k1(−2−x0)+y0k2(2−x0)+y0，
即k2(4−x02)+y0(2+x0)=k1(x02−4)+y0(2−x0)
⇔4(k1+k2)+2x0y0=(k1+k2)x02
⇔(k1+k2)(x02−4)=2x0y0，
因为k1+k2=2x0y0x02−4，所以上式成立，
即|IK||JK|=|IA||JB|成立．
19.解：(1)①两次移动的所有路径可能如下：
(c,1)→(a,2)→(c,1)；(c,1)→(a,2)→(c,3)；(c,1)→(b,3)→(a,1)；(c,1)→(b,3)→(c,1)，
所以两次移动后，该棋子所有可能的位置有：(a,1)，(c,1)，(c,3)．
②棋子两次移动后，最终停由在(a,1)时，得1分，对应概率为：(12)2=14；
相子两次移动后，最终停留在(c,1)时，得1分，对应概率为：2×(12)2=12；
棋子两次移动后，最终停留在(c,3)时，得3分，对应概率为：(12)2=14，
所以P(X=1)=12+14=34．P(X=3)=14，
所以最终得分X的分布列为：
所以E(X)=1×34+3×14=1.5．
(2)将棋盘按如图所示编号：

将棋子可以去的区域用箭头连接起来，若从3可以连接到4或8，记做4−3−8；从8可以连接3或1，
记做3−8−1；然后将它们串联起来；4−3−8−1依次类推，可以串联处环状回路：−4−3−8−1−6−7−2−9−4−，
如下图所示：

则棋子等价于在这个环状回路中运动．
问题(2)可以转化为将两个棋子放在环状回路中的3号、7号位置，每回合3号、7号棋子有四种运动模式：(顺，顺)，(顺，逆)，(逆，顺)，(逆，逆)，发生概率均为14，
为了转化问题，现规定：d=“两棋子之间的最短节点数”，例如：

特别规定两棋子重合时，d=0，并统计四种运动模式下d会如何变化．
假设3号棋子顺时针走过x个节点可以与7号棋子重合；或逆时针走过y个节点也可以与之重合，为了简化问题，不妨假设x≤y，于是有下表：
设pn=“n回合后，d=0的概率”，
qn=“n回合后，d=1的概率”，
Rn=“n回合后，d=3的概率”，
则有pn=12pn−1+14qn−1qn=12pn−1+12qn−1+12Rn−1=12,Rn=14qn−1+12Rn−1
所以pn=12pn−1+18⇒pn−14=12(pn−1−14)，
显然p1=0，p1−14=−14，
所以pn−14=−14⋅(12)n−1，
所以pn=14−12n+1． x
1
3
P
34
14
1
2
3
4
5
6
7
8
9
(顺，顺)
(顺，逆)
(逆，顺)
(逆，逆)
d=0
d=0
d=1
d=1
d=0
d=1
d=1
d=0
d=3
d=1
d=3
d=3
d=1
d=1
d=3