2024-2025学年北京市海淀区首都师范大学附属中学高三上学期10月月考数学试题（含答案）

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这是一份2024-2025学年北京市海淀区首都师范大学附属中学高三上学期10月月考数学试题（含答案），共9页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题：本题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合M=xx≤a,N=x−2A. aa>0B. aa≥0C. aa<−2D. aa≤−2
2.复数i3+i在复平面内对应的点位于( )
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
3.下列函数中，在区间0,+∞上不是单调函数的是( )
A. y=lg2xB. y=2x+2−xC. y=x+ xD. y=tanx
4.如图，角α以Ox为始边，它的终边与单位圆O相交于点P，且点P的横坐标为35，则csπ2+α的值为( )
A. −45B. 45C. −35D. 35
5.已知a=lg23，b=lg46，c=lg49，则( )
A. a=bbD. a>c>b
6.在▵ABC中，acsB−12b=c，则A=( )
A. π6B. π3C. 2π3D. 5π6
7.已知a、b是平面内两个非零向量，那么“a//b”是“存在λ≠0，使得|a+λb|=|a|+|λb|”的( )
A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
8.设无穷等比数列an的前n项和为Sn，若−a1A. Sn为递减数列B. Sn为递增数列
C. 数列Sn有最大项D. 数列Sn有最小项
9.在▵ABC中，AB=AC=2，BC=2 3，点P在线段BC上.当PA⋅PB取得最小值时，PA=( )
A. 32B. 72C. 34D. 74
10.斐波那契数列又称为黄金分割数列，在现代物理、化学等领域都有应用.斐波那契数列an满足a1=a2=1，an=an−1+an−2(n≥3,n∈N).给出下列四个结论：
①存在m∈N∗，使得am，am+1，am+2成等差数列；
②存在m∈N∗，使得am，am+1，am+2成等比数列；
③存在常数t，使得对任意n∈N∗，都有an，tan−2，an+4成等差数列；
④存在正整数i1，i2，⋯，im，且i1其中所有正确的个数是( )
A. 1B. 2C. 3D. 4
二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。
11.函数y= x+1ex−1的定义域是．
12.已知向量a，b的夹角为60∘，a=2，b=1，则a+2b= ．
13.已知函数ffx=Acsωx+φA,ω>0,φ≤π2的部分图象如图所示，将fx的
图象向右平移T4(T为fx的最小正周期)个单位长度得到gx的图象，则g0= ．
14.已知公差不为0的等差数列an的前n项和为Sn，若a4，S5，S7∈−5,0，则Sn的最小值为_________．
15.已知函数fx=ax−1,x≤1a−2x−1,x>1，其中a>0且a≠1.给出下列四个结论：
①若a≠2，则函数fx的零点是0；
②若函数fx无最小值，则a的取值范围为0,1；
③若a>2，则fx在区间−∞,0上单调递减，在区间0,+∞上单调递增；
④若关于x的方程fx=a−2恰有三个不相等的实数根x1,x2,x3，则a的取值范围为2,3，且x1+x2+x3的取值范围为−∞,2．
其中，所有正确结论的序号是．
三、解答题：本题共6小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题12分)
已知等差数列an满足a3=5，且a5−2a2=3.又数列bn中，b1=3且3bn−bn+1=0(n=1,2,3,4,⋯)．
(1)求数列an，bn的通项公式；
(2)若ai=bj，则称ai(或bj)是an，bn的公共项．
①直接写出数列an，bn的前4个公共项；
②从数列an的前100项中将数列an与bn的公共项去掉后，求剩下所有项的和．
17.(本小题12分)
已知函数fx=2csx⋅csx+φφ<π2，从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使函数fx存在．
条件①：fπ3=1；
条件②：函数fx在区间0,π4上是增函数；
条件③：∀x∈R,fx≥f2π3．
注：如果选择的条件不符合要求，得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．
(1)求φ的值；
(2)求fx在区间−π2,0上的最大值和最小值．
18.(本小题12分)
已知函数fx=lnxx+a(a>0)．
(1)求曲线y=fx在点1,f1处的切线方程；
(2)判断fx在定义域内是否为单调函数，并说明理由．
19.(本小题12分)
如图，某市郊外景区内一条笔直的公路经过三个景点A，B，C.为增加景区人民的收入，景区管委会又开发了风景优美的景点D.经测量景点D位于景点A的北偏东30∘方向8km处，位于景点B的正北方向上，还位于景点C的北偏西75∘方向上，已知AB=5km，AD>BD．
(1)景区管委会准备由景点D向景点B修建一条笔直的公路，不考虑其他因素，求出这条公路的长；
(2)求∠ACD的正弦值．
20.(本小题12分)
已知函数fx=xex．
(1)求fx在区间−2,2上的最大值和最小值；
(2)若x=0是函数gx=fa⋅fx+sinx的极值点．
(ⅰ)证明：−2ln2(ⅱ)讨论gx在区间−π,π上的零点个数．
21.(本小题12分)
已知集合P的元素个数为3nn∈N∗且元素均为正整数，若能够将集合P分成元素个数相同且两两没有公共元素的三个集合A、B、C，即P=A∪B∪C，A∩B=⌀，A∩C=⌀，B∩C=⌀，其中A=a1,a2,⋯,an，B=b1,b2,⋯,bn，C=c1,c2,⋯,cn，且满足c1(1)若集合P=1,2,3，Q=1,2,3,4,5,6，判断集合P和集合Q是否为“完美集合”？并说明理由；
(2)已知集合P=1,x,3,4,5,6为“完美集合”，求正整数x的值；
(3)设集合P=x1≤x≤3n,n∈N∗，证明：集合P为“完美集合”的一个必要条件是n=4k或n=4k+1k∈N∗．
参考答案
1.D
2.A
3.D
4.A
5.C
6.C
7.C
8.D
9.B
10.C
11.[−1,0)∪(0,+∞)．
12.2 3
13.− 3
14.−6
15.①④
16.(1)设等差数列an的公差为d，则有a1+2d=5(a1+4d)−2(a1+d)=3，解得a1=1d=2,
因此an=1+2(n−1)=2n−1；由3bn−bn+1=0，得bn+1=3bn，而b1=3，
则数列bn是以b1=3为首项，公比为3的等比数列，bn=3×3n−1=3n，
所以数列an，bn的通项公式分别为an=2n−1，bn=3n．
(2)①由(1)知，an=2n−1，bn=3n，
则a2=b1=3，a5=b2=9,a14=b3=27,a42=b4=81，
所以数列an，bn的前4个公共项依次为3,9,27,81．
②a100=199，而b5=243>a100，
因此数列an的前100项中是数列an与bn的公共项的只有3,9,27,81这4项，
所以剩下所有项的和为1+1992×100−(3+9+27+81)=10000−120=9880．

17.解：(1)由题意得： f(x)=2cs x⋅cs (x+φ)=2cs x⋅[cs xcs φ−sin xsin φ]
=2cs φcs2x−2sin φcs xsin x=cs φ(cs 2x+1)−sin φsin 2x=cs φcs 2x−sin φsin 2x+cs φ=cs (2x+φ)+cs φ ．
当选条件①： f(π3)=cs (2π3+φ)+cs φ=cs φcs 2π3−sin φsin 2π3+cs φ
=12cs φ− 32sin φ=cs (φ+π3)=1，
又因为 φ<π2 ，所以 −π2<φ<π2 ，所以 −π6<φ+π3<5π6 ，
所以 csφ+π3=1 时，即得： φ+π3=0 ，即 φ=−π3 ．
当选条件②：
f(x)=2cs x⋅cs (x+φ)=cs (2x+φ)+cs φ
从而得：当 2kπ−π⩽2x+φ⩽2kπ,k∈Z 时， fx 单调递增，
化简得：当 kπ−π2−φ2⩽x⩽kπ−φ2,k∈Z 时， fx 单调递增，
又因为函数 fx 在区间 0,π4 上是增函数，
所以得： kπ−π2−φ2⩽0kπ−φ2⩾π4,k∈Z ，解之得：，
∵k∈Z且φ<π2，
∴φ∈⌀
故：若选条件②， φ 不存在．
当选条件③：
由 ∀x∈R,fx≥f2π3 ， f(x)=2cs x⋅cs (x+φ)=cs (2x+φ)+cs φ ，
得当 x=2π3 时， cs (2x+φ)=cs (4π3+φ)=−1 ，又因为 φ<π2 ，
所以得 4π3+φ=π ，得 φ=−π3 ．
(2)由(1)知： φ=−π3 ，则得： fx=cs2x−π3+12 ，
又因为 x∈−π2,0 ，所以 2x−π3∈−4π3,−π3 ，
所以当 x=0 时， fx 有最大值 f0=cs−π3+12=12+12=1 ；
所以当 x=−π3 时， fx 有最小值 f−π3=cs−2π3−π3+12=cs−π+12=−12 ；
即fx在区间−π2,0上的最大值是1，最小值是−12．

18.(1)由题意得：函数fx的定义域为(0,+∞)，
f′x=1x⋅x+a−lnxx+a2=1+ax−lnxx+a2，
∵f1=0，f′1=1a+1，
∴y=fx在点1,f(1)处的切线方程为：y−0=1a+1x−1，
即x−a+1y−1=0；
(2)函数fx在定义域内不是单调函数．理由如下：
f′x=1+ax−lnxx+a2，令gx=−lnx+ax+1，
∵g′x=−1x−ax2=−x+ax2<0，∴gx在(0,+∞)上单调递减，
∵g1=a+1>0，gea+1=−lnea+1+aea+1+1=a1ea+1−1<0，
∴存在m∈1,ea+1，使得gm=0，
当x∈0,m时，g(x)>0，从而f’(x)>0，所以函数fx在(0,m)上单调递增，
当x∈m,+∞时，g(x)<0，从而f’(x)<0，所以函数fx在m,+∞上单调递减，
故函数fx在定义域内不是单调函数．

19.解：(1)在△ABD中，∠ADB=30°，AD=8km，AB=5km，设DB=xkm，
则由余弦定理得52=82+x2−2×8×x·cs30°，
即x2−8 3x+39=0，解得x=4 3±3．
∵4 3+3>8，舍去，∴x=4 3−3，
∴这条公路长为(4 3−3)km．
(2)在△ADB中，ABsin∠ADB=DBsin∠DAB，
∴sin∠DAB=DB⋅sin∠ADBAB=4 3−310，
∴cs∠DAB=3 3+410．
在△ACD中，∠ADC=30°+75°=105°，cs105°=cs(60°+45°)
=cs60°cs45°−sin60°sin45°= 2− 64，sin105∘=sin(60∘+45∘)= 2+ 64．
∴sin∠ACD=sin[180°−(∠DAC+105°)]
=sin(∠DAC+105°)
=sin∠DAC·cs105°+cs∠DAC·sin105°
=4 3−310× 2− 64+3 3+410× 6+ 24
=7 6− 220．

20.(1)f(x)=xex，f′(x)=1−xex，令f′(x)=1−xex=0得到x=1，
当x∈−2,1时，f’(x)>0，函数单调递增，
当x∈1,2时，f’(x)<0，函数单调递减，
又f−2=−2e−2=−2e2，f1=1e1=e−1，f2=2e2=2e−2，
故fx在区间−2,2上的最大值为e−1，最小值为−2e2；
(2)(ⅰ)g(x)=f(a)⋅f(x)+sinx=aea⋅xex+sinx，
g′(x)=aea⋅1−xex+csx，
g′(0)=aea+1=0，故ea+a=0，
设Fx=ex+x，函数单调递增，
F0=1>0，F−2ln2=e−2ln2−2ln2=14−ln4<0．
根据零点存在定理知−2ln2(ⅱ)g(x)=−xex+sinx，g0=0，g′(x)=x−1ex+csx，
设ℎ(x)=x−1ex+csx，ℎ′(x)=2−xex−sinx，
当x∈−π,0时，2−xex>0,sinx<0，故ℎ′(x)>0，g′(x)单调递增，g′xg0=0，
故函数在−π,0上无零点；
当x∈0,π时，g(x)=−xex+sinx=1exexsinx−x，
设Fx=exsinx−x，F′x=exsinx+csx−1，
设kx=exsinx+csx−1，则k′x=2excsx，
当x∈0,π2时，k′x=2excsx>0，当x∈π2,π时，k′x=2excsx<0
故kx在0,π2单调递增，在π2,π上单调递减，
k0=0，kπ2=eπ2−1>0，kπ=−eπ−1<0，
故存在x0∈π2,π使kx0=0，
当x∈0,x0时，kx>0，F(x)单调递增；
当x∈x0,π时，kx<0，F(x)单调递减．
F0=0，故Fx0>0，Fπ=−π<0，故函数在x0,π上有1个零点．
综上所述：g(x)在区间−π,π上的零点个数为2．

21.(1)将P分为1、2、3满足条件，则P是完美集合．
将Q分成3个，每个中有两个元素，则a1+b1=c1，a2+b2=c2，
Q中所有元素之和为21，21÷2=10.5=c1+c2，而c1+c2为整数，不符合要求，
故Q不是“完美集合”；
(2)若集合A=1,4，B=3,5，根据完美集合的概念知集合C=6,7；
若集合A=1,5，B=3,6，根据完美集合的概念知集合C=4,11；
若集合A=1,3，B=4,6，根据完美集合的概念知集合C=5,9．
故x的可能值为7、9、11中任一个；
(3)证明：P中所有元素之和为1+2+⋯+3n=3n3n+12
=a1+b1+c1+a2+b2+c2+⋯+an−1+bn−1+cn−1+an+bn+cn=2c1+c2+⋯+cn−1+cn，
因为cn=3n，所以，3n3n+14=c1+c2+⋯+cn−1+3n，
所以，c1+c2+⋯+cn−1=3n3n+14−3n=9nn−14，
因为c1+c2+⋯+cn−1为正整数，则9nn−1可以被4整除，
所以，n=4k或n−1=4kk∈N∗，即n=4k或n=4k+1k∈N∗．
故集合P为“完美集合”的一个必要条件是n=4k或n=4k+1k∈N∗．

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