2024-2025学年江苏省连云港高级中学高三（上）第一次学情检测数学试卷（9月份）（含答案）

这是一份2024-2025学年江苏省连云港高级中学高三（上）第一次学情检测数学试卷（9月份）（含答案），共8页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.在复平面内，(1+3i)(3−i)对应的点位于( )
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
2.设集合A={0,−a}，B={1,a−2,2a−2}，若A⊆B，则a=( )
A. 2B. 1C. 23D. −1
3.已知a,b∈R，则“2−ab2”的( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
4.已知函数f(x)=ln(ax+2)在区间(1,2)上单调递减，则实数a的取值范围是( )
A. a0，函数f(x)=ax3−2x+1．
(1)当a=1时，求过点(0,−1)且与曲线y=f(x)相切的直线方程；
(2)x1，x2是函数f(x)的两个极值点，证明：f(x1)+f(x2)为定值．
16.(本小题12分)
在每年的1月份到7月份，某品牌空调销售商发现：“每月销售量(单位：台)”与“当年的月份”线性相关.根据统计得下表：
(1)根据往年的统计得，当年的月份x与销量y满足回归方程y=10x+t.请预测当年7月份该品牌的空调可以销售多少台?
(2)该销售商从当年的前6个月中随机选取3个月，记X为销量不低于前6个月的月平均销量的月份数，求X的分布列和数学期望．
17.(本小题12分)
如图三棱锥A−BCD中，DA=DB=DC，BD⊥CD，∠ADB=∠ADC=60∘，E为BC的中点．
(1)证明：BC⊥DA;
(2)点F满足EF=DA，求二面角D−AB−F的正弦值．
18.(本小题12分)
已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率e=12，左顶点为A，下顶点为B，C是线段OB的中点，其中S△ABC=3 32．
(1)求椭圆方程．
(2)过点(0,−32)的动直线与椭圆有两个交点P，Q，在y轴上是否存在点T使得TP⋅TQ≤0恒成立.若存在，求出这个T点纵坐标的取值范围；若不存在，请说明理由．
19.(本小题12分)
已知函数f(x)=(x−a)lnx−x+a−3(a∈R)．
(1)若a=0，求f(x)的极小值；
(2)讨论函数f′(x)的单调性；
(3)当a=2时，证明：f(x)有且只有2个零点．
参考答案
1.A
2.B
3.D
4.B
5.C
6.B
7.A
8.C
9.BCD
10.ABD
11.AC
12.12
13.28
14.[−2,0]
15.解：(1)当a=1时，f(x)=x3−2x+1，则导数f′(x)=3x2−2．
设切点为(x0,x03−2x0+1)，则f′(x0)=3x02−2，
所以切线方程为y−(x03−2x0+1)=(3x02−2)(x−x0)．
又切线过点(0,−1)，则−1−(x03−2x0+1)=(3x02−2)(0−x0)，
整理得2x03=2，解得x0=1．
所以过点(0,−1)且与曲线y=f(x)相切的直线方程为y=x−1．
(2)证明：依题意，f′(x)=3ax2−2(a>0)，令f′(x)=0，得x=± 23a，
不妨设x10x1+x2=12k3+4k2，x1x2=−273+4k2；
TP=(x1,y1−t)，TQ=(x2,y2−t)，
故TP⋅TQ=x1x2+(y1−t)(y2−t)=x1x2+(ki1−32−t)(kx2−32−t)=(1+k2)x1x2−k(32+t)(x1+x2)+(32+t)2
=(1+k2)×(−273+4k2)−k(32+t)×12k3+4k2+(32+t)2−27k2−27−18k2−12k2t+3(32+t)2+(3+2t)2k23+4k2
=[(3+2t)2−12t−45]k2+3(32+t)2−273+4k2，
TP⋅TQ≤0恒成立，故3(32+t)2−27≤0(3+2t)2−12t−45≤0，解得−3≤t≤32，
若TP⋅TQ≤0恒成立．
结合①②可知，−3≤t≤32．
故这个T点纵坐标的取值范围为[−3,32].
19.解：(1)当a=0时，f(x)=xlnx−x−3，f(x)的定义域为(0,+∞)，f′(x)=lnx+1−1=lnx，
由f′(x)>0得x>1，由f′(x)