2024-2025学年江苏省南通市海安实验中学高三（上）质检数学试卷（一）（含答案）

这是一份2024-2025学年江苏省南通市海安实验中学高三（上）质检数学试卷（一）（含答案），共10页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.设复数z满足(1+i)z=1−2i3，则z的共轭复数为( )
A. 32−12iB. 32+12iC. −32−12iD. −32+12i
2.已知函数y=f(x)的对应关系如下表，函数y=g(x)的图象如图，则f[g(1)]的值为( )
A. 3B. 0C. 1D. 2
3.设集合A={x||x−2|≤1}，B={x|lg2x<1}，C={x|x∈A且x∉B}，则C=( )
A. ⌀B. [1,2)C. [2,3]D. (2,3]
4.命题p：−3≤x≤1，q：x≤a.若q的一个充分不必要条件是p，则a的取值范围是( )
A. (−3,+∞)B. [−3,+∞)C. (1,+∞)D. [1,+∞)
5.设f(x)是定义域为R的奇函数，f(−3)=−7，当x≥0时，f(x)=ax+b，则f(1)=( )
A. 1B. −36−1C. 37−b+bD. −37+b+b
6.我们知道当04时，2x>x2.若a=lg23，b= 3，c=2lg32，则( )
A. a>b>cB. b>a>cC. b>c>aD. c>b>a
7.函数f(x)=13x3−x2+ax，对任意x1，x2∈[1,2]，且x1≠x2，都有f(x1)−f(x2)x1−x2>1，则a的范围是( )
A. (1,+∞)B. [1,+∞)C. (2,+∞)D. [2,+∞)
8.若ea=e3b+e2+b，则a−2b的最小值为( )
A. 2B. 1+ln2C. 1D. ln2
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知函数f(x)=xlnx，则( )
A. f(x)在(1,+∞)单调递增
B. f(x)有两个零点
C. f(x)的最小值为−1e
D. y=f(x)在(1,0)点处切线为y=x−1
10.设偶函数f(x)的定义域为R，若f(2x−1)−1为奇函数，则( )
A. f(1)=1
B. f(x+2)=f(2−x)
C. 函数f(x)的一个周期是6
D. f(1)+f(2)+f(3)+⋯+f(2024)=2024
11.已知a>b>1，则( )
A. ba>b+1a+1B. lnbC. bea>aebD. lga+1a三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知函数f(x)=2x+1,x≤0,−lg2x,x>0,则f[f(3)]= ．
13.设幂函数f(x)=mxm−32，则不等式f(3−a)>f(2a)的解集为 ．
14.已知曲线f(x)=x2与g(x)=a+lnx有公共切线，则实数a的最大值为______．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题12分)
在每年的1月份到7月份，某品牌空调销售商发现：“每月销售量(单位：台)”与“当年的月份”线性相关.根据统计得下表：
(1)根据往年的统计得，当年的月份x与销量y满足回归方程y=10x+t.请预测当年7月份该品牌的空调可以销售多少台?
(2)该销售商从当年的前6个月中随机选取3个月，记X为销量不低于前6个月的月平均销量的月份数，求X的分布列和数学期望．
16.(本小题12分)
设公比为正的等比数列{an}前n项和为Sn，S3=7a1，且a1，a3，20+a2成等差数列．
(1)求{an}的通项;
(2)若数列{bn}满足bn=bn+1+bnbn+1lg2an，b1=1，求数列{bn}的前n项和Tn．
17.(本小题12分)
如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，PA⊥平面ABCD，PA=2，M是BC中点，N是PD中点．
(1)证明：直线MN/​/平面PAB;
(2)设PG=2GC，求平面PCD与平面GMN的夹角．
18.(本小题12分)
已知椭圆C:x24+y2=1的左、右焦点分别为F1，F2，椭圆C在第一象限上的点A满足AF1⊥AF2，点A关于y轴的对称点为B．
(1)求点A的坐标;
(2)在x轴上任取一点P，直线AP交直线y= 3于点Q，求OP⋅OQ的最大值;
(3)设点M在椭圆C上，记△OAB与△MAB的面积分别为S1，S2，若S1=2S2，求点M的坐标．
19.(本小题12分)
已知函数f(x)=(1x+a)ln(x−1)．
(1)当a=−1时，求曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程;
(2)当a=−12时，证明：曲线y=f(1x)是轴对称图形;
(3)若函数ℎ(x)=(x−1)x2f′(x)在[2,+∞)上单调递减，求实数a的取值范围．
参考答案
1.A
2.B
3.C
4.D
5.A
6.B
7.D
8.B
9.ACD
10.ABD
11.BC
12.23
13.(1,3)
14.ln 2e
15.解：(1)x=1+2+3+4+5+66=3.5，
y=12+21+33+41+52+636=37，
又回归直线过样本中心点(x,y)，所以37=10×3.5+t，得t=2，
所以y=10x+2，当x=7时，y=72，
所以预测当年7月份该品牌的空调可以销售72台；
(2)因为y=37，所以销量不低于前6个月的月平均销量的月份数为4，5，6，
所以X=0，1，2，3，
所以P(X=0)=C33C63=120，P(X=1)=C31C32C63=920，P(X=2)=C32C31C63=920，P(X=3)=C33C63=120，
所以X的分布列为：
故数学期望E(X)=0×120+1×920+2×920+3×120=32．
16.解：(1)设{an}的公比为q，
因为S3=7a1，
所以a1(1+q+q2)=7a1，
因为a1≠0，
所以q2+q−6=0，
因为q>0，
所以q=2，
又因为a1，a3，20+a2成等差数列，
所以2a3=a1+20+a2，
即8a1=a1+20+2a1，
得a1=4，所以an=2n+1；
(2)因为bn=bn+1+bnbn+1lg2an，
所以1bn+1−1bn=n+1，可得1b2−1b1=2，1b3−1b2=3，⋯，1bn−1bn−1=n，
累加得1bn−1b1=2+⋯+n
因为1b1=1，
所以1bn=1+2+⋯+n=n(n+1)2，
所以bn=2n(n+1)=2(1n−1n+1)，
所以Tn=2[(1−12)+(12−13)+⋯+(1n−1n+1)]=2−2n+1．
17.解：(1)证明：取PA的中点为Q，连接QB，QN，
∵Q，N分别为PA，PD的中点，
∴QN=12AD且QN//AD，
又BM=12AD，BM//AD，
故QN=BM且QN//BM，
故四边形BMNQ为平行四边形，MN//BQ，
MN⊄平面PAB，BQ⊂平面PAB，
故直线MN/​/平面PAB；
(2)由PA⊥底面ABCD，且四边形ABCD为正方形，得直线AB，AD，AP两两垂直，
以A为原点，直线AB，AD，AP分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图，
则B(2,0,0)，C(2,2,0)，D(0,2,0)，P(0,0,2)，N(0,1,1)，M(2,1,0)，
所以PD=(0,2,−2)，CD=(−2,0,0)．
设平面PCD的法向量为n=(x1,y1,z1)，
所以n⋅PD=2y1−2z1=0n⋅CD=−2x1=0,
令y1=1，得n=(0,1,1)，
设平面GMN的法向量为m=(x2,y2,z2)，
因为PG=2GC，
所以MG=MC+CG=MC+13CP=(0,1,0)+13(−2,−2,2)=(−23,13,23)，
又因为MN=(−2,0,1)，
所以m⋅MG=−23x2+13y2+23z2=0,m⋅MN=−2x2+z2=0.
令x2=1，得m=(1,−2,2)，
所以cs=n⋅m|n|m=0 2× 9=0．
所以平面PCD与平面GMN的夹角为90∘．
18.解：(1)由椭圆C:x24+y2=1，则左，右焦点分别为F1(− 3,0)，F2( 3,0)，
设A(m,n)，m>0，n>0，因为AF1⊥AF2，可得AF1⋅AF2=(− 3−m,−n)( 3−m,−n)=0，
整理得m2+n2=3，又因为m24+n2=1，
联立方程组m24+n2=1m2+n2=3,
解得m=2 63，n= 33，
所以点A坐标为(2 63, 33).
(2)设P点坐标为(p,0)，则直线AP方程为y−0 33−0=x−p2 63−p，
因为直线AP交直线y= 3于点Q，
联立方程组y−0 33−0=x−p2 63−py= 3,
解得x=2 6−2py= 3,
可得Q点坐标为(2 6−2p, 3)，
由OP⋅OQ=(p,0)⋅(2 6−2p, 3)=−2p2+2 6p=−2(p− 62)2+3，
当p= 62时，OP⋅OQ取最大值，最大值为3．
(3)点A的坐标为(2 63, 33)，点B的坐标为(−2 63, 33)，
则点O到线段AB的距离ℎ1= 33，若S1=2S2，则点M到线段AB的距离应为ℎ2= 36，
故M点的纵坐标为 36或 32，代入椭圆C方程x24+y2=1，
解得M点纵坐标为 36时，x=± 333，
M点的纵坐标为 32时，x=±1，
故M点的坐标为(± 333, 36)或(±1, 32).
19.解：(1)当a=−1时，f(x)=(1x−1)ln(x−1)，所以f(2)=0，
可得f′(x)=−1x2ln(x−1)+(1x−1)1x−1=−1x2ln(x−1)−1x，所以f′(2)=−12，
所以曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程为y=−12x+1；
(2)证明：当a=−12时，f(x)=(1x−12)ln(x−1)，令g(x)=f(1x)=(x−12)ln(1x−1)=(x−12)ln1−xx，
设y=g(x)关于x=b对称，则g(2b−x)=(2b−x−12)ln1−2b+x2b−x=(x−2b+12)ln2b−x1−2b+x，
因为g(x)=g(2b−x)，即(x−12)ln1−xx=(x−2b+12)ln2b−x1−2b+x，
所以−2b+12=−122b=11−2b=0，所以b=12时，g(x)=g(1−x)，所以曲线y=f(1x)关于x=12对称；
(3)解：函数f(x)的定义域为：1,+∞，
其导数为f′(x)=−1x2ln(x−1)+(1x+a)1x−1=1(x−1)x2[−(x−1)ln(x−1)+x+ax2]，
所以ℎ(x)=ax2+x−(x−1)ln(x−1)，因为函数ℎ(x)在[2,+∞)上单调递减，
所以ℎ′(x)=2ax−ln(x−1)≤0在[2,+∞)上恒成立，
①当a>0时，ℎ′(2)=4a>0，不符；
②当a≤0时，记t(x)=ℎ′(x)=2ax−ln(x−1)，
因为t′(x)=2a−1x−1<0，所以t(x)，即ℎ′(x)在[2,+∞)上单调递减，所以ℎ′(x)≤ℎ′(2)=4a≤0，
所以函数ℎ(x)在[2,+∞)上单调递减，
综上，实数a的取值范围是(−∞,0]． x
1
2
3
f(x)
2
3
0
月份x
1
2
3
4
5
6
销量y
12
21
33
41
52
63