2024-2025学年山西省晋中市部分校高三（上）质检数学试卷（9月份）（含答案）

这是一份2024-2025学年山西省晋中市部分校高三（上）质检数学试卷（9月份）（含答案），共8页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知集合A={−1,0,1,2,3}，B={x|x3−2x<4}，则A∩B的真子集的个数为( )
A. 8B. 7C. 16D. 15
2.“xy>0”是“|x+y|=|x|+|y|”的( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分又不必要条件
3.已知关于x的不等式ax+b>0的解集为(−4,+∞)，则关于x的不等式bx2−ax<0的解集为( )
A. (−14,0)B. (−∞,−14)∪(0,+∞)
C. (0,14)D. (−∞,0)∪(14,+∞)
4.已知函数f(x)=(x−a)(x−2)(x−3)(x−4)，若f(x)的图象在x=2处的切线方程为y=6x+b，则a+b=( )
A. −11B. −12C. −13D. −14
5.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a2+c2−b2= 3ac，1+ 2sinA1− 2csA=sin2C1+cs2C，则角A的大小为( )
A. π12B. 5π12C. 7π12D. 3π4
6.记max{a,b}表示a，b二者中较大的一个，函数f(x)=−x2−7x−5，g(x)=max{31−x,lg3(x+2)}，若∀x1∈[a−1,a+1]，∃x2∈[0,+∞)，使得f(x1)=g(x2)成立，则a的取值范围是( )
A. [−5,−2]B. [−4,−3]C. [−92,−52]D. [−112,−72]
7.已知x>0，y>0，且4x2+5xy=(4+y)(4−y)，则7x+4y的最小值为( )
A. 6 3B. ( 5+2 5)×2=6 5
C. 8 3D. 8 5
8.已知函数f(x)的定义域为(0,+∞)，若对于任意的x，y∈(0,+∞)，都有f(x)+f(y)=f(xy)+2，当x>1时，都有f(x)>2，且f(3)=3，则函数f(x)在区间[1,27]上的最大值为( )
A. 2B. 3C. 4D. 5
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法错误的是( )
A. 命题p：∃x>2，x2−3x−4<0的否定为∀x≤2，x2−3x−4≥0
B. 已知扇形的圆心角为2弧度，面积为1，则扇形的弧长等于2
C. 已知函数f(3x−1)的定义域为[−1,1]，则函数f(x)的定义域为[−4,2]
D. 已知函数f(x)=lg(x2+2x+a)的值域为R，则a的取值范围是(1,+∞)
10.已知函数f(x)=sinx+csxsin2x，则下列说法正确的是( )
A. 2π是函数f(x)的周期B. 函数f(x)的图象关于直线x=π对称
C. 函数f(x)在区间(−π2,0)上单调递减D. 当x∈(0,π2)时，f(x)≥ 2
11.已知函数f(x)及其导函数f′(x)的定义域均为R，若f(3x+1)是偶函数，且f(2+x)−f(2−x)=x，令g(x)=f′(x)，则下列说法正确的是( )
A. 函数y=12x−f(x+2)是奇函数B. g(1)=0
C. 函数g(x)的图象关于点(3,1)对称D. i=126g(i)=3252
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.4lg23−lg37⋅lg79+lg153+lg155的值为______．
13.已知3sinβ−csβ+3=0，sinα=3sin(α+β)，则tan(α+β)= ______．
14.已知点A(x1,y1)，B(x2,y2)，定义 (x1−y2)2+(x2−y1)2为A，B的“镜像距离”，若点A，B在曲线y=ln(x−2)+1上，则A，B的“镜像距离”的最小值为______．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题12分)
已知集合A={x||2x−5|≤3}，B={x|x2−4mx+(2m+1)(2m−1)≤0}．
(1)若p：x∈A，q：x∈B，且p是q的必要不充分条件，求m的取值范围；
(2)若函数y=lg2(ax2−3x+2)的定义域为C，且A∩C≠⌀，求a的取值范围．
16.(本小题12分)
已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f(x)=a⋅3x−3−x，且f(−1)=83．
(1)求a的值，并求出f(x)的解析式；
(2)若λf(x)−9x−9−x−14≤0在x∈(0,+∞)上恒成立，求λ的取值范围．
17.(本小题12分)
已知函数f(x)=sin4x+2sinxcsx−cs4x.
(1)若α∈(0,π2)，f(α2)= 23，求cs(α+π12)的值；
(2)将函数f(x)的图象向右平移π24个单位长度，得到函数g(x)的图象，再将函数g(x)图象上各点的横坐标变为原来的1ω(ω>0)(纵坐标不变)，得到函数ℎ(x)的图象，若ℎ(x)在区间[π4,π2]上没有零点，求ω的取值范围．
18.(本小题12分)
在△ABC中，点D是边AC上一点，且BD⊥BC，
(1)若AB= 10，BC=1，且sin∠ABC=3 1010，求cs∠ADB的值；
(2)若∠ABD=π6，且BD=2 3，求△ABC面积的最小值；
(3)若CD=3DA，∠ABD=∠BCD，且△ABC的面积为12，求AB的值．
19.(本小题12分)
已知函数f(x)=lnx+a2x2−x+2(a∈R)．
(1)若函数f(x)在定义域上单调递增，求a的取值范围；
(2)若a=0；求证：f(x)<4ex−2x2；
(3)设x1，x2(x1参考答案
1.B
2.A
3.C
4.C
5.B
6.A
7.C
8.D
9.AD
10.ACD
11.BCD
12.8
13.13
14.2 2
15.解：(1)由|2x−5|≤3可得−3≤2x−5≤3，
解得1≤x≤4，则A=[1,4]，
解不等式x2−4mx+(2m+1)(2m−1)=[x−(2m−1)][x−(2m+1)]≤0，解得2m−1≤x≤2m+1，
所以B=[2m−1,2m+1]，
因为p是q的必要不充分条件，所以B是A的真子集，
所以2m−1≥1,2m+1≤4,且等号不同时成立，
解得1≤m≤32，即m的取值范围是[1,32]．
(2)因为A∩C≠⌀，所以ax2−3x+2>0在x∈[1,4]上有解，
所以a>−2x2+3x，
令t=1x∈[14,1]，则−2x2+3x=−2t2+3t∈[58,98]，
所以a>58，即a的取值范围是(58,+∞)．
16.解：(1)因为f(x)是偶函数，所以f(−1)=f(1)=3a−13=83，
解得a=1，
当x<0时，可得−x>0，所以f(x)=f(−x)=3−x−3−(−x)=3−x−3x，
所以函数f(x)的解析式为f(x)=3x−3−x,x≥03−x−3x,x<0；
(2)由(1)知，当x>0时，f(x)=3x−3−x>0，
因为λf(x)−9x−9−x−14≤0在x∈(0,+∞)上恒成立，
所以λ≤9x+9−x+143x−3−x=(3x−3−x)2+163x−3−x=3x−3−x+163x−3−x，
又因为3x−3−x+163x−3−x≥2 (3x−3−x)⋅163x−3−x=8，
当且仅当3x−3−x=163x−3−x时，即(3x−3−x)2=16，
即3x−3−x=4，即(3x)2−4⋅3x−1=0，
即x=lg3( 5+2)时等号成立，
所以λ≤8，即λ的取值范围是(−∞,8]．
17.解：(1)由题意知f(x)=sin4x+2sinxcsx−cs4x=sin2x+(sin2x−cs2x)(sin2x+cs2x)= 2sin(2x−π4)，
因为f(α2)= 2sin(α−π4)= 23，
所以sin(α−π4)=13，令α−π4=t，则α=t+π4，sint=13，
因为α∈(0,π2)，所以t∈(−π4,π4)，
由sin2t+cs2t=1，得cs2t=89，所以cst=2 23，
所以cs(α+π12)=cs(t+π4+π12)=cs(t+π3)=cstcsπ3−sintsinπ3=2 23×12−13× 32=2 2− 36．
(2)将函数f(x)的图象向右平移π24个单位长度，得到g(x)= 2sin(2x−π3)，
将函数g(x)图象上各点的横坐标变为原来的1ω(ω>0)(纵坐标不变)，
得到函数ℎ(x)= 2sin(2ωx−π3)．
令ℎ(x)=0，得2ωx−π3=kπ(k∈Z)，解得x=π6ω+kπ2ω(k∈Z)，
又ℎ(x)在区间[π4,π2]上没有零点，所以π6ω+kπ2ω<π4π6ω+(k+1)π2ω>π2(k∈Z)，
解得23+2k<ω<43+k，k∈Z，又ω>0，
所以当k=−1时，0<ω<13；当k=0时，23<ω<43，
即ω的取值范围是(0,13)∪(23,43)．
18.解：(1)由题意知∠ABC∈(π2,π)，如图所示：
所以cs∠ABC=− 1−sin2∠ABC=− 1010，
又AC2=BA2+BC2−2BA⋅BCcs∠ABC=10+1−2× 10×1×(− 1010)=13，
所以AC= 13，由正弦定理ACsin∠ABC=ABsin∠BCA，得 133 1010= 10sin∠BCA，
所以sin∠BCA= 10×3 1010 13=3 1313，
所以cs∠ADB=cs(∠ACB+π2)=−sin∠ACB=−3 1313；
(2)设BA=m(m>0)，BC=n(n>0)，因为S△ABC=S△ABD+S△DBC，
所以12BA⋅BCsin∠ABC=12BA⋅BDsin∠ABD+12BC⋅BDsin∠CBD，
即12mnsin2π3=12m⋅2 3sinπ6+12n⋅2 3，
所以mn=2m+4n≥2 2m⋅4n=4 2mn，所以mn≥32，
当且仅当2m=4n，即m=8，n=4时等号成立，
所以△ABC的面积S△ABC=12BA⋅BCsin∠ABC= 34mn≥8 3，
即△ABC面积的最小值为8 3；
(3)设DA=x(x>0)，∠ABD=θ(0<θ<π2)，
则CD=3x，∠BCD=θ，∠BAD=π2−2θ，
在△ABD中，由正弦定理ADsin∠ABD=BDsin∠BAD，得xsinθ=BDsin(π2−2θ)，
所以BD=xsin(π2−2θ)sinθ，
在△BCD中，sin∠BCD=BDDC，即sinθ=BD3x，
所以BD=3xsinθ，所以3xsinθ=xsin(π2−2θ)sinθ，
所以3sin2θ=sin(π2−2θ)=cs2θ=cs2θ−sin2θ，所以4sin2θ=cs2θ，
又sin2θ+cs2θ=1，0<θ<π2，解得sinθ= 55，csθ=2 55，
所以BD=3xsinθ=3 55x，CB=3xcsθ=6 55x，
所以S△BCD=12BD⋅CB=12×3 55x×6 55x=95x2，
又CD=3DA，SABC=12，所以SΔBCD=9，
所以95x2=9，解得x= 5，所以BD=3 55x=3，
在△ABD中，由余弦定理cs∠ABD=BA2+BD2−AD22BA⋅BD，
得2 55=BA2+32−( 5)22BA×3，
解得AB=2 5或AB=2 55，
又AB>BD，所以AB=2 5．
19.解：(1)由题意知函数f(x)的定义域为(0,+∞)，
f′(x)=1x+ax−1≥0在x∈(0,+∞)上恒成立，
∴a≥−1x2+1x在x∈(0,+∞)上恒成立，
又−1x2+1x=−(1x−12)2+14≤14，当且仅当x=2时，等号成立，
∴a≥14，即a的取值范围是[14,+∞)．
(2)证明：若a=0，f(x)=lnx−x+2，∴f′(x)=1x−1=1−xx，
令f′(x)=0，解得x=1，
令f′(x)>0，解得01．
∴f(x)在(0,1)上单调递增，在(1,+∞)上单调递减，
∴f(x)≤f(1)=1，当且仅当x=1时，等号成立．
令g(x)=4ex−2x2，x>0，∴g′(x)=4(x2−2x)ex−2x4=4(x−2)ex−2x3，
令g′(x)=0，解得x=2，
∴当02时，g′(x)>0，
∴g(x)在(0,2)上单调递减，在(2,+∞)上单调递增，
∴g(x)≥g(2)=1，当且仅当x=2时，等号成立，
∴f(x)≤1≤g(x)，又等号不同时成立，
∴f(x)<4ex−2x2．
(3)证明：由题意可知f′(x)=1x+ax−1=ax2−x+1x，
∵f(x)有两个极值点x1，x2(x1∴x1，x2是方程ax2−x+1=0的两个不同的根，
则0∴f(x1)−f(x2)=(lnx1+a2x12−x1+2)−(lnx2+a2x22−x2+2)
=lnx1x2+a2(x12−x22)−(x1−x2)=lnx1x2+x12−x222(x1+x2)−(x1−x2)=lnx1x2−x1−x22，
∴要证f(x1)−f(x2)<(a−12)(x1−x2)，即证lnx1x2−x1−x22<(a−12)(x1−x2)，
即证lnx1x2令t=x1x2(0令ℎ(t)=lnt−t−1t+1，则ℎ′(t)=t2+1t(t+1)2>0，
∴ℎ(t)在(0,1)上单调递增，则ℎ(t)<ℎ(1)=0，即lnt∴不等式f(x1)−f(x2)<(a−12)(x1−x2)成立．