2024-2025学年广东省广州市执信中学高三（上）第三次月考数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年广东省广州市执信中学高三（上）第三次月考数学试卷（含答案），共11页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列四组函数中，表示同一函数的一组是( )
A. y=|x|，u= v2B. y= x2，s=( t)2
C. y=x2−1x−1,m=n+1D. y= x+1⋅ x−1,y= x2−1
2.若复数z满足z(1−i)=1+i，则z4=( )
A. 1B. −1C. iD. 16
3.若a=ln 10，b= ln2⋅ln5，c=ln 4e，则a、b、c的大小关系是( )
A. c4.已知向量集合M={a|a=(3,4)+λ(1,2),λ1∈R}，N={a|a=(4,5)+λ2(−2,−2),λ∈R}，则M∩N=( )
A. {(4,5)}B. {(3,4)，(4,5)}C. {(3,4)}D. ⌀
5.函数f(x)=Asin(ωx+φ)(ω>0,A>0)在区间[m,n]上是增函数，且f(m)=−A，f(n)=A，则函数g(x)=Acs(ωx+φ)(ω>0,A>0)在区间[m,n]上( )
A. 是增函数B. 是减函数
C. 可以取到最大值AD. 可以取到最小值−A
6.已知点P在抛物线M：y2=4x上，过点P作圆C：(x−2)2+y2=1的切线，若切线长为2 7，则点P到M的准线的距离为( )
A. 5B. 29C. 6D. 30
7.设{an}为等比数列，则“对于任意的n∈N∗，an+2A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
8.如图，B地在A地的正东方向4km处，C地在B地的北偏东30°方向2km处，河流
的没岸PQ(曲线)上任意一点到A的距离比到B的距离远2km.现要在曲线PQ上一处M建一座码头，向B、C两地转运货物．经测算，从M到B、M到C修建公路的费用分别是a万元/km、2a万元/km，那么修建这两条公路的总费用最低是( )
A. (2 7−2)a万元
B. 5a万元
C. (2 7+1)a万元
D. (2 3+3)a万元
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.函数f(x)=x3−mx(m∈R)的图象可能是( )
A. B. C. D.
10.有一组样本数据0，1，2，3，4，添加一个数X形成一组新的数据，且P(X=k)=C5k32(k∈{0,1,2,3,4,5}，则新的样本数据( )
A. 极差不变的概率是3132B. 第25百分位数不变的概率是316
C. 平均值变大的概率是12D. 方差变大的概率是732
11.一个正四棱柱形的密闭容器底部镶嵌了同底的正四棱锥形实心装饰块，容器内盛有a升水时，水面恰好经过正四棱锥的顶点P，如果将容器倒置，水面也恰好经过点P，则下列命题中正确的是( )
A. 正四棱锥的高等于正四棱柱的高的一半
B. 若往容器内再注a升水，则容器恰好能装满
C. 将容器侧面水平放置时，水面恰好经过点P
D. 任意摆放该容器，当水面静止时，水面都恰好经过点P
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f(x)=2xf′(e)+lnx，则f′(e)= ______．
13.如图，圆O与x轴的正半轴的交点为A，点C、B在圆O上，且点C位于第一象限，点B的坐标为(45,−35)，∠AOC=α，若BC=1，则 3cs2α2−sinα2csα2− 32的值为 ．
14.对有n(n≥4)个元素的总体{1,2,…,n}进行抽样，先将总体分成两个子总体{1,2,…,m}和{m+1,m+2,…,n}(m是给定的正整数，且2≤m≤n−2)，再从每个子总体中各随机抽取2个元素组成样本.用Pij表示
元素i和j同时出现在样本中的概率，则P1n= ______；所有Pij(1≤i四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题12分)
在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且c=2b，2sinA=3sin2C．
(1)求ab的值；
(2)若△ABC的面积为3 72，求AB边上的高．
16.(本小题12分)
如图，在四棱锥P−ABCD中，AC与BD交于点O，点P在平面ABCD内的投影为点O，若△BCD为正三角形，且AB=AD=12AC，PO=OC．
(1)证明：AC⊥平面PBD；
(2)求直线PB与平面PAD所成角的正弦值．
17.(本小题12分)
在平面直角坐标系xOy中，椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1、F2，椭圆与y轴正半轴的交点为点B，且▵F1BF2为等腰直角三角形．
(1)求椭圆C的离心率；
(2)已知斜率为1的直线l与椭圆C相切于点P，点P在第二象限，过椭圆的右焦点F2作直线l的垂线，垂足为点H，若F1H⋅F2P=−433，求椭圆C的方程．
18.(本小题12分)
已知函数，fx=x+1e2−ax+1，gx=(x+1)axe2+1−ax+1．
(1)若a=1，求fx的极值；
(2)当a<0时，讨论fx零点个数；
(3)当x≥0时，fx≥gx，求实数a的取值范围．
19.(本小题12分)
将n(n≥2)个不同的数按照某种顺序排成一列得到数列an，对任意1≤iaj，那么称数对ai,aj构成数列an的一个逆序对，一个有穷数列的全部逆序对的总数称为该数列的逆序数．
(1)若将1，2，3，4四个数构成的数列恰有2个逆序对，请写出符合条件的数列组合；
(2)计算以下数列的逆序数．
(ⅰ)an=−2n+19(1≤n≤100)；
(ⅱ)an=13n,n为奇数−nn+1,n为偶数(1≤n≤k)；
(3)已知数列a1，a2，…，an的逆序数为a，求an，an−1，…，a1的逆序数．
参考答案
1.A
2.A
3.D
4.C
5.C
6.C
7.C
8.B
9.ABD
10.ACD
11.BC
12.−1e
13.35
14.4m(n−m) 6
15.解：(1)∵2sinA=3sin2C，
∴sinA=3sinCcsC，
由正、余弦定理可得，a=3c⋅a2+b2−c22ab①，
又c=2b②，
由①②得，a2b=3b(a2+b2−4b2)，
∴a2=92b2⇒a=3 22b，∴ab=3 22；
(2)由(1)得，csC=sinA3sinC=a3c=3 22b6b= 24，
(或由余弦定理得csC=a2+b2−c22ab=92b2+b2−4b23 2b2= 24)
∵C为锐角，∴sinC= 144，
∴△ABC的面积S=12absinC=12×3 22b2× 144=3 72，
∴b=2，
设AB边上的高为ℎ，
则△ABC的面积S=12cℎ=bℎ=3 72，
∴ℎ=3 74，即AB边上的高为3 74．

16.证明：(1)因为AB=AD，BC=CD，AC=AC，
故△ABC≌△ADC，
∴∠ACB=∠ACD=π6，∴CO⊥BD，即AC⊥BD．
又点P在平面ABCD内的投影为点O，
即PO⊥平面ABCD，
又AC⊂平面ABCD，∴PO⊥AC，
又BD⋂PO=O，BD，PO⊂平面PBD，
∴AC⊥平面PBD．
(2)由(1)可得PO⊥平面ABCD，而BD⊂平面ABCD，故PO⊥BD，
故OB，OC，OP两两垂直，建立以O为原点如图所示的空间直角坐标系，
设CD=3，则B(32,0,0)，D(−32,0,0)，P(0,0,3 32)，A(0,− 32,0)，
所以PB=(32,0,−3 32)，PA=(0,− 32,−3 32)，PD=(−32,0,−3 32)，
设平面PAD的法向量为m=(x,y,z)，
则有m⋅PA=− 32y−3 32z=0,m⋅PD=−32x−3 32z=0,
令z=1，则m=(− 3,−3,1)，
设直线PB和平面PAD所成角为θ，
则sinθ=|cs|=|m⋅PB||m|⋅|PB|
=|−3 32−3 32| 3+9+1× 94+274= 3913．
∴直线PB与平面PAD所成角的正弦值为 3913．
17.(1)解：设椭圆 C 的半焦距为 c ，由已知得点 B(0,b) ，
因为 ▵F1BF2 为等腰直角三角形，且 O 为 F1F2 的中点，所以 |OB|=OF2 ，即 b=c ，
所以 a2=b2+c2=2c2 ，有 e=ca=c2c=22 ．
(2)解：由(1)知 e=22 ，设椭圆 C 方程为 x22c2+y2c2=1 ，
因为切点 P 在第二象限，且直线 l 的斜率为 1 ，
设直线 l 的方程为 y=x+m(m>0) ，设点 Px1,y1 ，
因为直线 l 与椭圆 C 相切，联立 y=x+mx2+2y2=2c2 可得 3x2+4mx+2m2−2c2=0 ，
由 Δ=16m2−122m2−2c2=24c2−8m2=0 ，可得 m2=3c2 ，即 m=3c ，
所以， x1=−2m3 ， y1=−2m3+m=m3 ，所以 P−2m3,m3 ，
因为直线 F2H 与直线 l 垂直，所以直线 F2H 的斜率为 −1 ，
则直线 F2H 的方程为 y=−x+c ，
联立 y=−x+cy=x+m ，可得 x=c−m2y=c+m2 ，即点 Hc−m2,c+m2 ，
又因为 F1(−c,0) 、 F2(c,0) ，
有 F1H=3c−m2,m+c2 ， F2P=−2m+3c3,m3 ，
F1H⋅F2P=−(3c−m)(2m+3c)6+(m+c)m6=3m2−9c2−2cm6=−23c26=−433,
所以 c2=4 ，所以椭圆 C 的方程为 x28+y24=1 ．

18.解：(1)
当a=1时，fx=x+1e2−x+1，
则f′(x)=e2−x−x+1e2−x=−xe2−x，
令f′(x)=0，解得x=0，
当x∈−∞,0时，f′(x)>0，
所以f(x)在−∞,0上单调递增，
当x∈(0,+∞)时，f′(x)<0，
所以f(x)在(0,+∞)上单调递减，
所以fx有极大值f(0)=e2+1，无极小值；
(2)
f′(x)=e2−ax−a(x+1)e2−ax
=e2−ax(−ax−a+1)，
令f′(x)=0，得x=1−aa，
因为a<0，所以−a>0，1−aa<0，
当x∈(−∞,1−aa)时，f′(x)<0，
则f(x)在(−∞,1−aa)上单调递减，
当x∈(1−aa,+∞)时，f​′(x)>0，
则f(x)在(1−aa,+∞)上单调递增，
所以f(x)⩾f(1−aa)
=(1−aa+1)e2−a1−aa+1=1ae1+a+1，
设ℎ(a)=1ae1+a+1,a<0，
则ℎ′(a)=−1a2e1+a+1ae1+a=e1+aa−1a2，
因为a<0，所以ℎ′(a)<0，
所以ℎ(a)在−∞,0单调递减，
又因为ℎ(−1)=0，
所以当a<−1时，1ae1+a+1>0，
则f(x)>0，无零点；
当a=−1时，1ae1+a+1=0，f(x)有1个零点，
当−1又f0=e2+1>0，
当x→−∞时，fx→1，f(x)有2个零点；
(3)若f(x)⩾g(x)，
则(x+1)e2−ax+1⩾(x+1)axe2+(1−a)x+1，
所以(x+1)e2−ax⩾(x+1)axe2+(1−a)x，
因为x≥0时，x+1≥1,e2−ax>0，
所以e−x⩾(x+1)ax−1，
两边同时取对数得，−x≥ax−1lnx+1，
当x=0时，0≥0成立，
当x>0时，lnx+1>0，
则−1ln (x+1)+1x⩾a，
设m(x)=−1lnx+1+1x,x>0，
则m′(x)=1ln2(x+1)⋅1x+1−1x2
=x2−(x+1)ln2(x+1)x(x+1)ln2(x+1)，
设n(x)=x2−x+1ln2x+1,x>0，
则n′(x)=2x−ln2(x+1)
−(x+1)⋅2⋅ln (x+1)⋅1x+1
=2x−ln2(x+1)−2ln (x+1)，
设p(x)=2x−ln2x+1−2lnx+1,x>0，
则p′(x)=2−2ln (x+1)⋅1x+1−2x+1
=2x−2ln (x+1)x+1，
设kx=2x−2lnx+1,x>0，
则k′x=2−2x+1=2xx+1>0，
所以kx在(0,+∞)上单调递增，
又k0=2×0−2ln0+1=0，
所以kx>0，所以p′x>0，
则px在(0,+∞)单调递增，
又p(0)=2×0−ln20+1−2ln0+1=0，
所以px>0，所以n′x>0，
则nx在(0,+∞)单调递增，
又n(0)=02−0+1ln20+1=0，
所以nx>0，所以m′x>0，
则mx在(0,+∞)单调递增，
又当x→0时，mx→−12，
所以mx>−12，
所以a≤−12．

19.解：(1)
由1，2，3，4构成的逆序对有(4,3)，(4,2)，(4,1)，(3,2)，(3,1)，(2,1)．
若第一个数为4，则至少有3个逆序对；
若第二个数为4，则恰好有2个逆序对的数列组合为{1,4,2,3}；
若第三个数为4，则恰好有2个逆序对的数列组合为{1,3,4,2}或{2,1,4,3}；
若第四个数为4，则恰好有2个逆序对的数列组合为{2,3,1,4}或{3,2,1,4}．
综上，符合条件的数列组合有：
{1,4,2,3}，{1,3,4,2}，{2,1,4,3}，{2,3,1,4}，{3,2,1,4}．
(2)
(ⅰ)因为an为单调递减数列，
所以逆序数为99+98+⋅⋅⋅+1=(99+1)×992=4950．
(ⅱ)当n为奇数时，a1>a3>⋯>a2n−1>0
当n为偶数时，
an−an−2=−nn+1+n−2n−1=−2n2−1=−2(n+1)(n−1)<0(n≥4)，
所以0>a2>a4>⋅⋅⋅>a2n，
当k为 奇数时，逆序数为
(k−1)+(k−3)+⋅⋅⋅+2+k−32+k−52+⋅⋅⋅+1=3k2−4k+18，
当k为偶数时，逆序数为
．(k−1)+(k−3)+⋅⋅⋅+1+k−22+k−42+⋅⋅⋅+1=3k2−2k8
(3)
在数列a1，a2，…，an中，若a1与后面n−1个数构成p1个逆序对，
则有(n−1)−p1不构成逆序对，
所以在数列an，an−1，…，a1中，逆序数为
(n−1)−p1+(n−2)−p2+⋅⋅⋅+(n−n)−pn=n(n−1)2−a．