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2024-2025学年天津市武清区燕京高级中学高三（上）第一次月考数学试卷（B卷）（含答案）
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这是一份2024-2025学年天津市武清区燕京高级中学高三（上）第一次月考数学试卷（B卷）（含答案），共6页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共9小题，每小题5分，共45分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合A={x|0A. {0,1,2}B. {1,2}C. {−2,2}D. {−2,−1,1,2}
2.设a，b∈R，则“m=1”是“f(x)=sinx+(m−1)csx是奇函数”的( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
3.函数f(x)=x3csx的部分图象为( )
A. B. C. D.
4.已知a=lg42，b=(12)e,c=π12，则( )
A. a>b>cB. b>a>cC. c>b>aD. c>a>b
5.已知x>0，y>0，且3x+1y=1，则3x+y的最小值为( )
A. 10B. 12C. 14D. 16
6.如图，在△ABC中，AN=14NC，P是BN上的一点，若AP=mAB+211AC，则实数m的值为( )
A. 911
B. 211
C. 311
D. 111
7.若函数f(x)=x3+ax2−x+1在x=−1处有极大值，则a=( )
A. 5B. 3C. 1D. 0
8.等差数列{an}中，a2=4，a4=10，则a8=( )
A. 26B. 22C. 18D. 14
9.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π2)的部分图象如图所示，则下列结论错误的是( )
A. 函数的解析式可以为f(x)=2sin(2x+π3)
B. 函数y=f(x)的图像关于直线x=7π12对称
C. 函数f(x)在[−2π3,−π6]上单调递减
D. 函数y=f(x)的图像关于点(−π6,0)对称
二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。
10.设i是虚数单位，则复数3+4i1−2i=______．
11.已知函数f(x)=sin(2x−π4)，则f(x)的最小正周期为______．
12.在△ABC中，点M满足BM=2MA，若a=CA，b=CB，用a,b表示向量CM，CM= ______．
13.数列{an}的前n项和为Sn=2n，则a4= ______．
14.在边长为1的正方形ABCD中，点E为线段CD的三等分点，CE=12DE，BE=λBA+μBC，则λ+μ= ______；F为线段BC上的中点，则DF⋅BE的值为______．
15.若函数f(x)=2x,x≥12(x+a)(x−2a),x<1恰有两个零点，则实数a的范围是______．
三、解答题：本题共5小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题14分)
已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且S4=4S2，a2n=2an+1(n∈N∗)．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)求数列{an}的前n项和Sn．
17.(本小题15分)
已知a，b，c分别为锐角三角形ABC三个内角A，B，C的对边，且 3c=2asinC．
(1)求角A；
(2)若a= 7，b=2，求c；
(3)若csB=23，求sin(B−A)的值．
18.(本小题15分)
在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c.已知a= 6，b=2c，csA=14．
(1)求c的值；
(2)求sinB的值；
(3)求sin(A−B)的值．
19.(本小题15分)
已知数列{an}，{bn}中，a3=7，b1=2，{an}是公差为2的等差数列，数列{bn}是公比为2的等比数列．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)求数列{bn}的通项公式；
(3)求数列{an+bn}的前n项和Tn．
20.(本小题16分)
已知函数f(x)=x−alnx−1(a∈R)．
(1)若曲线y=f(x)在点(1,0)处的切线为x轴，求a的值；
(2)若a=2，
①求f(x)的单调区间；
②求证：f(x)存在两个零点x1，x2(x1参考答案
1.B
2.C
3.B
4.D
5.D
6.D
7.C
8.B
9.C
10.−1+2i
11.π
12.23a+13b
13.8
14.43 −56
15.(−1,0)∪(0,12)
16.解：(1)设等差数列{an}的公差为d，
S4=4S2，且由已知有a2=2a1+1，
则有4a1+6d=4(2a1+d)a2=a1+d=2a1+1，解得a1=1d=2．
则数列{an}的通项公式an=1+2(n−1)=2n−1．
(2)由(1)可知an=2n−1，
所以Sn=[1+(2n−1)]n2=n2．
17.解：(1)由正弦定理可得 3sinC=2sinAsinC，
由三角形ABC为锐角三角形，
故sinC≠0，则 3=2sinA，
即sinA= 32，
则A=π3；
(2)由余弦定理a2=b2+c2−2bccsA，
又因为a= 7，b=2，
即7=4+c2−2c，
即(c−3)(c+1)=0，
故c=3(负值舍去)；
(3)由csB=23，B∈(0,π2)，故sinB= 1−cs2B= 53，
故sin(B−A)=sinBcsA−csBsinA= 53×12−23× 32= 5−2 36．
18.解：(1)△ABC中，a= 6，b=2c，csA=14，
由余弦定理得csA=b2+c2−a22bc=4c2+c2−64c2=14，解得c= 62；
(2)因为csA=14，A∈(0,π)，所以sinA= 1−cs2A= 154(舍负)，
由正弦定理asinA=csinC，得 6 154= 62sinC，解得sinC= 158，
由b=2c，得sinB=2sinC=2× 158= 154；
(3)因为sinB= ′154，sinA= 154，且A，B为三角形的内角，
所以A=B，可得sin(A−B)=sin0=0．
19.解：(1)因为{an}是公差为2的等差数列，a3=7，即有a1+2d=a1+4=7，
解得a1=3，
所以an=a1+2(n−1)=3+2n−2=2n+1．
(2)因为b1=2，数列{bn}是公比为2的等比数列，
所以bn=b12n−1=2×2n−1=2n．
(3)由(1)(2)得an+bn=2n+1+2n，
由于{an}的首项为a1=3，故{an}的前n项和为(a1+an)n2=(3+2n+1)n2，
{bn}的首项和公比均为2，故前n项和为2(1−2n)1−2，
故{an+bn}的前n项和Tn=(3+2n+1)n2+2(1−2n)1−2=2n+1+n2+2n−2．
20.解：(1)求导得f′(x)=1−ax，
因为函数y=f(x)在(1,0)处的切线为x轴，
所以f′(1)=1−a=0，
解得a=1．
(2)①当a=2时，导函数f′(x)=x−2x，
当x∈(0,2)时，f′(x)<0，则f(x)在(0,2)单调递减，
当x∈(2,+∞)时，f′(x)>0，则f(x)在(2,+∞)单调递增，
则函数f(x)的单调递减区间为(0,2)，单调递增区间为(2,+∞)；
②证明：由①可知，f(x)≥f(2)=1−2ln2，
又因为f(2)=1−2ln2=lne−ln4<0，
当f(1)=0，当x→+∞时，f(x)→+∞，
所以函数f(x)存在两个零点x1，x2.且0又因为f(2)=1−2ln2=lne−ln4<0
f(4)=4−2ln4−1=3−4ln2=lne3−ln16=lne316>0，
所以2所以x1x2<4．
一、单选题：本题共9小题，每小题5分，共45分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合A={x|0
2.设a，b∈R，则“m=1”是“f(x)=sinx+(m−1)csx是奇函数”的( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
3.函数f(x)=x3csx的部分图象为( )
A. B. C. D.
4.已知a=lg42，b=(12)e,c=π12，则( )
A. a>b>cB. b>a>cC. c>b>aD. c>a>b
5.已知x>0，y>0，且3x+1y=1，则3x+y的最小值为( )
A. 10B. 12C. 14D. 16
6.如图，在△ABC中，AN=14NC，P是BN上的一点，若AP=mAB+211AC，则实数m的值为( )
A. 911
B. 211
C. 311
D. 111
7.若函数f(x)=x3+ax2−x+1在x=−1处有极大值，则a=( )
A. 5B. 3C. 1D. 0
8.等差数列{an}中，a2=4，a4=10，则a8=( )
A. 26B. 22C. 18D. 14
9.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π2)的部分图象如图所示，则下列结论错误的是( )
A. 函数的解析式可以为f(x)=2sin(2x+π3)
B. 函数y=f(x)的图像关于直线x=7π12对称
C. 函数f(x)在[−2π3,−π6]上单调递减
D. 函数y=f(x)的图像关于点(−π6,0)对称
二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。
10.设i是虚数单位，则复数3+4i1−2i=______．
11.已知函数f(x)=sin(2x−π4)，则f(x)的最小正周期为______．
12.在△ABC中，点M满足BM=2MA，若a=CA，b=CB，用a,b表示向量CM，CM= ______．
13.数列{an}的前n项和为Sn=2n，则a4= ______．
14.在边长为1的正方形ABCD中，点E为线段CD的三等分点，CE=12DE，BE=λBA+μBC，则λ+μ= ______；F为线段BC上的中点，则DF⋅BE的值为______．
15.若函数f(x)=2x,x≥12(x+a)(x−2a),x<1恰有两个零点，则实数a的范围是______．
三、解答题：本题共5小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题14分)
已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且S4=4S2，a2n=2an+1(n∈N∗)．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)求数列{an}的前n项和Sn．
17.(本小题15分)
已知a，b，c分别为锐角三角形ABC三个内角A，B，C的对边，且 3c=2asinC．
(1)求角A；
(2)若a= 7，b=2，求c；
(3)若csB=23，求sin(B−A)的值．
18.(本小题15分)
在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c.已知a= 6，b=2c，csA=14．
(1)求c的值；
(2)求sinB的值；
(3)求sin(A−B)的值．
19.(本小题15分)
已知数列{an}，{bn}中，a3=7，b1=2，{an}是公差为2的等差数列，数列{bn}是公比为2的等比数列．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)求数列{bn}的通项公式；
(3)求数列{an+bn}的前n项和Tn．
20.(本小题16分)
已知函数f(x)=x−alnx−1(a∈R)．
(1)若曲线y=f(x)在点(1,0)处的切线为x轴，求a的值；
(2)若a=2，
①求f(x)的单调区间；
②求证：f(x)存在两个零点x1，x2(x1
1.B
2.C
3.B
4.D
5.D
6.D
7.C
8.B
9.C
10.−1+2i
11.π
12.23a+13b
13.8
14.43 −56
15.(−1,0)∪(0,12)
16.解：(1)设等差数列{an}的公差为d，
S4=4S2，且由已知有a2=2a1+1，
则有4a1+6d=4(2a1+d)a2=a1+d=2a1+1，解得a1=1d=2．
则数列{an}的通项公式an=1+2(n−1)=2n−1．
(2)由(1)可知an=2n−1，
所以Sn=[1+(2n−1)]n2=n2．
17.解：(1)由正弦定理可得 3sinC=2sinAsinC，
由三角形ABC为锐角三角形，
故sinC≠0，则 3=2sinA，
即sinA= 32，
则A=π3；
(2)由余弦定理a2=b2+c2−2bccsA，
又因为a= 7，b=2，
即7=4+c2−2c，
即(c−3)(c+1)=0，
故c=3(负值舍去)；
(3)由csB=23，B∈(0,π2)，故sinB= 1−cs2B= 53，
故sin(B−A)=sinBcsA−csBsinA= 53×12−23× 32= 5−2 36．
18.解：(1)△ABC中，a= 6，b=2c，csA=14，
由余弦定理得csA=b2+c2−a22bc=4c2+c2−64c2=14，解得c= 62；
(2)因为csA=14，A∈(0,π)，所以sinA= 1−cs2A= 154(舍负)，
由正弦定理asinA=csinC，得 6 154= 62sinC，解得sinC= 158，
由b=2c，得sinB=2sinC=2× 158= 154；
(3)因为sinB= ′154，sinA= 154，且A，B为三角形的内角，
所以A=B，可得sin(A−B)=sin0=0．
19.解：(1)因为{an}是公差为2的等差数列，a3=7，即有a1+2d=a1+4=7，
解得a1=3，
所以an=a1+2(n−1)=3+2n−2=2n+1．
(2)因为b1=2，数列{bn}是公比为2的等比数列，
所以bn=b12n−1=2×2n−1=2n．
(3)由(1)(2)得an+bn=2n+1+2n，
由于{an}的首项为a1=3，故{an}的前n项和为(a1+an)n2=(3+2n+1)n2，
{bn}的首项和公比均为2，故前n项和为2(1−2n)1−2，
故{an+bn}的前n项和Tn=(3+2n+1)n2+2(1−2n)1−2=2n+1+n2+2n−2．
20.解：(1)求导得f′(x)=1−ax，
因为函数y=f(x)在(1,0)处的切线为x轴，
所以f′(1)=1−a=0，
解得a=1．
(2)①当a=2时，导函数f′(x)=x−2x，
当x∈(0,2)时，f′(x)<0，则f(x)在(0,2)单调递减，
当x∈(2,+∞)时，f′(x)>0，则f(x)在(2,+∞)单调递增，
则函数f(x)的单调递减区间为(0,2)，单调递增区间为(2,+∞)；
②证明：由①可知，f(x)≥f(2)=1−2ln2，
又因为f(2)=1−2ln2=lne−ln4<0，
当f(1)=0，当x→+∞时，f(x)→+∞，
所以函数f(x)存在两个零点x1，x2.且0
f(4)=4−2ln4−1=3−4ln2=lne3−ln16=lne316>0，
所以2
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