2024-2025学年四川省成都七中林荫校区高三（上）段考数学试卷（10月份）（含答案）

这是一份2024-2025学年四川省成都七中林荫校区高三（上）段考数学试卷（10月份）（含答案），共9页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合A={x|y= 2x−x2}，B={y|y=2x+1}，则A∩B=( )
A. (1,2]B. (0,1]C. [1,2]D. [0,2]
2.已知复数z满足z+2z−=3+i，则3+iz=( )
A. 1+2iB. 1−2iC. 2+iD. 2−i
3.已知向量a，b满足|a−2b|=|2a−b|=2，且|b|=1，则a⋅b=( )
A. 14B. −14C. 12D. −12
4.如图为函数y=f(x)在[−6,6]上的图像，则f(x)的解析式只可能是( )
A. f(x)=ln( x2+1+x)csx
B. f(x)=ln( x2+1+x)sinx
C. f(x)=ln( x2+1−x)csx
D. f(x)=ln( x2+1−x)sinx
5.已知f(x)=(x+a)csx为奇函数，则曲线y=f(x)在点(π,f(π))处的切线方程为( )
A. x+πy−π=0B. x−πy+π=0C. x−y+π=0D. x+y=0
6.在体积为12的三棱锥A−BCD中，AC⊥AD，BC⊥BD，平面ACD⊥平面BCD，∠ACD=π3，∠BCD=π4，若点A，B，C，D都在球O的表面上，则球O的表面积为( )
A. 12πB. 16πC. 32πD. 48π
7.若sin(α+β)=cs2αsin(α−β)，则tan(α+β)的最大值为( )
A. 62B. 64C. 22D. 24
8.设a=lg20242023，b=lg20232022，c=，则( )
A. c二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.设等比数列{an}的公比为q，其前n项和为Sn，前n项积为Tn，并满足条件：a1>1，a2024a2025>1，a2024−1a2025−1<0，下列结论正确的是( )
A. S2024C. T2024是数列{Tn}中的最大值D. 数列{Tn}无最大值
10.一个不透明的盒子中装有大小和质地都相同的编号分别为1，2，3，4的4个小球，从中任意摸出两个球.设事件A1=“摸出的两个球的编号之和小于5”，事件A2=“摸出的两个球的编号都大于2”，事件A3=“摸出的两个球中有编号为3的球”，则( )
A. 事件A1与事件A2是互斥事件B. 事件A1与事件A3是对立事件
C. 事件A1与事件A3是相互独立事件D. 事件A2∩A3与事件A1∩A3是互斥事件
11.已知6lnm=m+a，6n=en+a，其中m≠en，则m+en的取值可以是( )
A. eB. e2C. 3e2D. 4e2
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若sinα=−13，则cs(π−2α)= ______．
13.设Sn是数列{an}的前n项和，点(n,an)(n∈N∗)在直线y=2x上，则数列{1Sn}的前n项和为______．
14.已知点A(2,0)，B(1,4)，M、N是y轴上的动点，且满足|MN|=4，△AMN的外心P在y轴上的射影为Q，则点P的轨迹方程为______，PQ+PB的最小值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且(b+a)(sin∠ABC−sin∠BAC)=c(sin∠ABC−sinC)，BC，AC边上的两条中线AD，BE相交于点P．
(1)求∠BAC；
(2)若AD= 7，BE=2，cs∠DPE= 714，求△ABC的面积．
16.(本小题15分)
如图，在三棱锥D−ABC中，△ABC是以AB为斜边的等腰直角三角形，△ABD是边长为2的正三角形，E为AD的中点，F为DC上一点，且平面BEF⊥平面ABD．
(1)求证：AD⊥平面BEF；
(2)若平面ABC⊥平面ABD，求平面BEF与平面BCD夹角的余弦值．
17.(本小题15分)
为研究“眼睛近视是否与长时间看电子产品有关”的问题，对某班同学的近视情况和看电子产品的时间进行了统计，得到如下的列联表：附表：
χ2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)．
(1)根据小概率值α=0.05的χ2独立性检验，判断眼睛近视是否与长时间看电子产品有关；
(2)在该班近视的同学中随机抽取3人，则至少有两人每天看电子产品超过一小时的概率是多少？
(3)以频率估计概率，在该班所在学校随机抽取2人，记其中近视的人数为X，每天看电子产品超过一小时的人数为Y，求P(X=Y)的值．
18.(本小题17分)
已知函数f(x)=ln(x+1)．
(1)求曲线y=f(x)在x=3处的切线方程．
(2)讨论函数F(x)=ax−f(x)(a∈R)的单调性；
(3)设函数g(x)=(x+1)f(1x)−f(1x+1).证明：存在实数m，使得曲线y=g(x)关于直线x=m对称．
19.(本小题17分)
已知椭圆C的对称中心在坐标原点，以坐标轴为对称轴，且经过点( 3,1)和(−2, 63)．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)过点M(2,0)作不与坐标轴平行的直线l交曲线C于A，B两点，过点A，B分别向x轴作垂线，垂足分别为点D，E，直线AE与直线BD相交于P点．
①求证：点P在定直线上；
②求△PAB面积的最大值．
参考答案
1.A
2.A
3.A
4.A
5.D
6.D
7.D
8.C
9.ABC
10.ACD
11.CD
12.−79
13.nn+1
14.y2=4x 3
15.解：(1)因为(b+a)(sin∠ABC−sin∠BAC)=c(sin∠ABC−sinC)，
由正弦定理得(b+a)(b−a)=c(b−c)，
整理可得b2+c2−a2=bc，
由余弦定理得cs∠BAC=b2+c2−a22bc=12，
而∠BAC∈(0,π)，
所以∠BAC=π3；
(2)因为BC，AC边上的两条中线AD，BE相交于点P，则点P是三角形的重心，
则AP=2AD3=2 73，BP=2BE3=43，
因为∠APB=∠DPE，AD= 7，BE=2，cs∠DPE= 714，
所以在△ABP中，由余弦定理c2=AB2=PA2+PB2−2PA⋅PBcs∠APB=(2 73)2+(43)2−2×2 73×43× 714，
所以c=2，又BE=2，∠BAC=π3，则AE=2，
所以b=2AE=4，
所以△ABC的面积为S=12×4×2×sinπ3=2 3．
16.解：(1)证明：因为平面BEF⊥平面ABD，平面BEF∩平面ABD=BE，
因为△ABC为正三角形，E为AD中点，
所以AD⊥BE，又AD⊂平面ABD，
所以AD⊥平面BEF；
(2)取AB中点O，连接CO，DO，
因为△ABC为正三角形，△ABC是以AB为斜边的等腰直角三角形，
则DO⊥AB，CO⊥AB，
因为平面ABC⊥平面ABD，平面ABC∩平面ABD=AB，
则DO⊥平面ABC，
即DO⊥AB，DO⊥CO，
即OC，OA，OD两两垂直，
以OA，OC，OD为空间基底，建立空间直角坐标系，如图所示，

则A(0,1,0)，B(0,−1,0)，C(1,0,0)，D(0,0, 3)，
所以BC=(1,1,0)，BD=(0,1, 3)，
设平面BCD的法向量为n1=(x,y,z)，
则BC⋅n1=0BD⋅n1=0⇒x+y=0y+ 3z=0，
令x=1，则y=−1，z= 33，
即n=(1,−1, 33)，
因为AD⊥平面BEF，
则AD=(0,−1, 3)为平面BEF的一个法向量，
设平面平面BEF与平面BCD夹角为θ，
则csθ=|cs〈n,AD〉|=|n⋅AD|n|⋅|AD||=|1+1 73⋅ 4|= 217，
即平面BEF与平面BCD夹角的余弦值为 217．
17.解：(1)零假设H0为：学生患近视与长时间使用电子产品无关，
计算可得，χ2=50×(10×25−10×5)215×35×20×30=40063≈6.349>3.841=x0.05，
根据小概率值α=0.05的χ2独立性检验，我们推断H0不成立，即认为患近视与长时间使用电子产品的习惯有关；
(2)每天看电子产品超过一小时的人数为ξ，
则P(ξ≥2)=P(ξ=2)+P(ξ=3)=C102C51C153+C103C153=45×5+120455=6991，
所以在该班近视的同学中随机抽取3人，则至少有两人每天看电子产品超过一小时的概率是6991；
(3)依题意，P(X=Y=0)=12×12=14，P(X=Y=2)=15×15=125，
事件X=Y=1包含两种情况：
①其中一人每天看电子产品超过一小时且近视，另一人既不近视，每天看电子产品也没超过一小时；
②其中一人每天看电子产品超过一小时且不近视，另一人近视且每天看电子产品没超过一小时，
于是P(X=Y=1)=C21×12×15+C21×15×110=625，
所以P(X=Y)=P(X=Y=0)+P(X=Y=1)+P(X=Y=2)=14+125+625=53100．
18.解：(1)切点为(3,ln4)．
因为f′(x)=1x+1，所以切线的斜率为k=f′(3)=14，
所以曲线y=f(x)在x=3处的切线方程为y−ln4=14(x−3)，
化简得x−4y+8ln2−3=0；
(2)由题意可知F(x)=ax−ln(x+1)，则F(x)的定义域为(−1,+∞)，
F′(x)=a−1x+1=ax+a−1x+1，x∈(−1,+∞)，
当a≤0时，F′(x)=a−1x+1<0，则F(x)在(−1,+∞)上单调递减；
当a>0时，令F′(x)=0，即ax+a−1=0，解得x=1a−1，
若−1若x>1a−1，F′(x)=ax+a−1x+1>0，
则F(x)在(−1,1a−1]上单调递减，在(1a−1,+∞)上单调递增．
综上所述，当a≤0时，F(x)在(−1,+∞)上单调递减；
当a>0时，F(x)在(−1,1a−1]上单调递减，在(1a−1,+∞)上单调递增；
(3)证明：函数g(x)=(x+1)ln(1+1x)−ln(2+1x)，
函数g(x)的定义域为(−∞,−1)∪(0,+∞)．
若存在m，使得曲线y=g(x)关于直线x=m对称，
则(−∞,−1)∪(0,+∞)关于直线x=m对称，所以m=−12，
由g(−1−x)=(−x)ln(1+1−1−x)−ln(2+1−1−x)
=−xlnxx+1−ln2x+1x+1=xlnx+1x−ln2x+1x+1=(1+x)lnx+1x−lnx+1x−ln2x+1x+1
=(1+x)lnx+1x−ln2x+1x=g(x)．
可知曲线y=g(x)关于直线x=−12对称．
19.解：(1)设椭圆的方程可得mx2+ny2=1，m>0，n>0，m≠n，
将点( 3,1)和(−2, 63)的坐标代入可得3m+n=14m+2n3=1，
解得m=16，n=12，
即椭圆C的方程为：x26+y22=1；
(2)①证明：由题意设直线l的方程为x=my+2，m≠0，设A(x1,y1)，B(x2,y2)，
可得D(x1,0)，E(x2,0)，
联立x26+y22=1x=my+2，整理可得：(3+m2)y2+4my−2=0，
可得y1+y2=−4m3+m2，y1y2=−23+m2，
直线AE的方程为y−y1=y1x1−x2(x−x1)，
BD的方程为y=y2x2−x1(x−x1)，
联立y−y1=y1x1−x2(x−x1)y=y2x2−x1(x−x1)，
两式相减可得y1=(x−x1)y2+y1x2−x1，
可得x=y1x2+x1y2y1+y2=y1(my2+2)+y2(my1+2)y1+y2=2my1y2+2(y1+y2)y1+y2=2my1y2y1+y2+2=2m⋅(−23+m2)−4m3+m2+2=3；
即证得点P在定直线x=3上；
②解：由①可得S△ABP=12|AD||3−x2|=12|y1||3−my1−2|=12|y1−my1y2|，
因为y1y2y1+y2=−2−4m=12m，可得my1y2=12(y1+y2)，
所以y1−my1y2=y1−12(y1+y2)=12(y1−y2)，
所以S△ABP=14|y1−y2|=14 (y1+y2)2−4y1y2=14 16m2(3+m2)2−4⋅−23+m2= 6(m2+1)2(m2+3)，
令t= m2+1，则t>1，
可得S△ABP= 62⋅tt2+2= 62⋅1t+2t≤ 62⋅12 t⋅2t= 34，
当且仅当t=2t，即t= 2时取等号．
即△ABP的面积的最大值为 34． 近视情况
每天看电子产品的时间
合计
超过一小时
一小时内
近视
10人
5人
15人
不近视
10人
25人
35人
合计
20人
30人
50人
α
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
xα
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828