2024-2025学年北京市海淀区清华大学附中高三（上）月考数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年北京市海淀区清华大学附中高三（上）月考数学试卷（含答案），共10页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知集合A={x∈N|1≤x≤3}，B={2,3,4,5}，则A∪B=( )
A. {2}B. {2,3}C. {2,3,4,5}D. {1,2,3,4,5}
2.复数11−3i的虚部是( )
A. −310B. −110C. 110D. 310
3.若a，b，c∈R且a>b>c，则下列不等式一定成立的是( )
A. ac2>bc2B. a2>b2>c2C. a+c>2bD. a−c>b−c
4.设函数f(x)=ln(1+x)−ln(1−x)，则f(x)是( )
A. 奇函数，且在(0,1)上是增函数B. 奇函数，且在(0,1)上是减函数
C. 偶函数，且在(0,1)上是增函数D. 偶函数，且在(0,1)上是减函数
5.设α，β是两个不同的平面，m是直线且m⊂α，“m//β“是“α/​/β”的( )
A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
6.将函数y=sin2x的图象向右平移φ(φ>0)个单位后，图象经过点(π3, 32)，则φ的最小值为( )
A. π12B. π6C. π3D. 5π6
7.对任意实数x，都有lga(ex+3)≥1(a>0且a≠1)，则实数a的取值范围是( )
A. (0,13)B. (1,3]C. (1,3)D. [3,+∞)
8.在平行四边形ABCD中，∠A=π3，边AB、AD的长分别为2、1，若M、N分别是边BC、CD上的点，且满足|BM||BC|=|CN||CD|，则AM⋅AN的最大值是( )
A. 2B. 3C. 4D. 5
9.坡屋顶是我国传统建筑造型之一，蕴含着丰富的数学元素.安装灯带可以勾勒出建筑轮廓，展现造型之美.如图，某坡屋顶可视为一个五面体，其中两个面是全等的等腰梯形，两个面是全等的等腰三角形.若AB=25m，BC=AD=10m，且等腰梯形所在的平面、等腰三角形所在的平面与平面ABCD的夹角的正切值均为 145，则该五面体的所有棱长之和为( )
A. 102mB. 112mC. 117mD. 125m
10.在棱长为1的正方体ABCD−A1B1C1D1中，E，F，G分别为棱AA1，BC，CC1的中点，动点H在平面EFG内，且DH=1.则下列说法正确的是( )
A. 存在点H，使得直线DH与直线FG相交
B. 存在点H，使得直线DH⊥平面EFG
C. 直线B1H与平面EFG所成角的大小为π3
D. 平面EFG被正方体所截得的截面面积为3 32
二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。
11.角θ的终边经过点P(4,y)，且sinθ=−35，则tanθ= ______，sin(θ−π2)= ______．
12.在△ABC中，a=3，b= 13，B=60°，则c= (1) ；△ABC的面积为 (2) ．
13.我国度量衡的发展有着悠久的历史，战国时期就出现了类似于砝码的用来测量物体质量的“环权”.已知9枚环权的质量(单位：铢)从小到大构成项数为9的数列{an}，该数列的前3项成等差数列，后7项成等比数列，且a1=1，a5=12，a9=192，则a7= ______，数列{an}的所有项的和为______．
14.设函数f(x)=ex+ae−x (a为常数)，若f(x)为奇函数，则a= ；若f(x)是R上的增函数，则a的取值范围是 ．
15.已知函数f(x)=x2−ln|x|x，有下列四个命题：
①函数f(x)是奇函数；②函数f(x)在(−∞,0)∪(0,+∞)是单调函数；
③当x>0时，函数f(x)>0恒成立；④当x0时，f(x)>2lna+32．
20.(本小题14分)
已知函数f(x)=xex−m2(x+1)2(m≥0)．
(Ⅰ)当m=0时，求函数f(x)的极小值；
(Ⅱ)当m>0时，讨论f(x)的单调性；
(Ⅲ)若函数f(x)在区间(−∞,1)上有且只有一个零点，求m的取值范围．
21.(本小题15分)
已知Q：a1，a2，…，ak为有穷整数数列．给定正整数m，若对任意的n∈{1,2,…,m}，在Q中存在ai，ai+1，ai+2，…，ai+j(j≥0)，使得ai+ai+1+ai+2+…+ai+j=n，则称Q为m−连续可表数列．
(Ⅰ)判断Q：2，1，4是否为5−连续可表数列？是否为6−连续可表数列？说明理由；
(Ⅱ)若Q：a1，a2，…，ak为8−连续可表数列，求证：k的最小值为4；
(Ⅲ)若Q：a1，a2，…，ak为20−连续可表数列，且a1+a2+…+ak2lna+32，即证1+a2+lna>2lna+32，即证a2−12−lna>0恒成立，
令g(a)=a2−12−lna(a>0)，则g′(a)=2a−1a=2a2−1a，
令g′(a) 22，
所以g(a)在(0, 22)上单调递减，在( 22,+∞)上单调递增，
所以g(a)min=g( 22)=( 22)2−12−ln 22=ln 2>0，则g(a)>0恒成立，
所以当a>0时，f(x)>2lna+32恒成立，证毕．
20.解：(Ⅰ) 当m=0时：f′(x)=(x+1)ex，
令f′(x)=0解得x=−1，
又因为当x∈(−∞,−1)，f′(x)0，函数f(x)为增函数．
所以，f(x)的极小值为f(−1)=−1e；
(Ⅱ)f′(x)=(x+1)(ex−m)．
当m>0时，由f′(x)=0，得x=−1或x=lnm．
(ⅰ)若m=1e，则f′(x)=(x+1)(ex−1e)≥0，
故f(x)在(−∞,+∞)上单调递增；
(ⅱ)若m>1e，则lnm>−1，
故当f′(x)>0时，xlnm；
当f′(x)