2024-2025学年十五校教育集团·鄂豫皖五十三校高三（上）联考数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年十五校教育集团·鄂豫皖五十三校高三（上）联考数学试卷（含答案），共8页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知命题p：有些实数的相反数是正数，则 ¬p是( )
A. ∀x∈R，−xaC. c>a>bD. a>c>b
6.已知实数a，b满足4a2−2ab+b2=5，则4a2+b2的取值范围是( )
A. (−∞,10]B. [10,+∞)C. [103,10]D. [203,10]
7.已知双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)，若一过焦点F的斜率k=2 2的直线与双曲线交于A、B两点(A、B在同一支上)，且满足AF=3FB，则双曲线的离心率e=( )
A. 32B. 3 22C. 3 32D. 2 33
8.函数f(x)=ln||x|−1|与函数g(x)=sinπ2x的图象交点个数为( )
A. 6B. 7C. 8D. 9
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.如图，在棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，E为BC的中点，若一点P在底面ABCD内(包括边界)移动，且满足B1P⊥D1E，则( )
A. D1E与平面CC1D1D的夹角的正弦值为13
B. A1点到D1E的距离为4 23
C. 线段B1P的长度的最大值为2 2
D. PA与PE的数量积的范围是[−45,1]
10.将1，2，3，4，5，6，7这七个数随机地排成一个数列，记第i项为ai(i=1,2,⋯,7)，则下列说法正确的是( )
A. 若a4=7，a1+a2+a3a2>a3，a3a7，则这样的数列共有71个
11.已知S={(x,y)|(x−2)2+(y−m)2=1，y≥0}∪{(x,y)|(x−2)2+(y+m)2=1，y≥0}，T={(x,y)|y=12x}，P=S∩T，则下列结论中正确的是( )
A. 当m=12时，S∩{(x,y)|y=0}={(2− 32,0),(2+ 32,0)}
B. 当m= 52+1时，P有1个元素
C. 若P有2个元素，则m∈(− 52−1,− 52+1)∪( 52−1, 52+1)
D. 若P有4个元素，则m无整数解
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.(x2+2x)8的展开式中x10项的系数是______．
13.已知集合A，B，C均是集合{1,3,5,7,9}的非空真子集，则以集合A，B，C为元素所构成的集合{A,B,C}的个数为______．
14.二阶魔方是一个2×2×2的正方体，由8个角块组成，没有中心块和棱块，结构相对简单.若空间中方向不同但状态相同(即通过整体旋转后相同)的情况只算一种，则任意二阶魔方共有______种不同的状态.(提示：任选其中1个角块作为参考，则其余7块能自由排列，在这7块中，任意确定6块，最后1块也就唯一确定了)
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且B=π6,c=2．
(1)证明：a=1tanC+ 3；
(2)求△ABC的周长的取值范围．
16.(本小题15分)
已知公差不为0的等差数列{an}满足a3=6，a2，a4，a8成等比数列．
(1)求{an}的通项公式；
(2)设bn=n2an2，求数列{bn}的前n项之和Sn．
17.(本小题15分)
已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，且|F1F2|=2 2，动直线l与椭圆交于P，Q两点：当直线l过F2时，△PQF1的周长为8．
(1)求椭圆C的方程；
(2)若直线l过点E(1,0)，椭圆的左顶点为A，当△APQ面积为 10时，求直线l的斜率k．
18.(本小题17分)
设函数f(x)=xlnx．
(1)分析f(x)的单调性和极值；
(2)设g(x)=f(x+1e)+1e，若对任意的x≥0，都有g(x)≥mx成立，求实数m的取值范围；
(3)若x1≠x2，且满足f(x1)+f(x2)=12(x12+x22)−1时，证明：x1+x2>2．
19.(本小题17分)
某研究团队需要研究成分S的性质，以研制一种新药.现有n(n∈N∗)瓶待测试剂，这些试剂中的部分含有少量成分S，为了更方便的检测出含有成分S的待测试剂，该团队设计了以下两个方案：
方案一：对这n瓶待测试剂进行逐一检测；
方案二：将这n瓶待测试剂分成k个小组(n=mk,m∈Z)，每个小组分别将该组的待测试剂混合后检测一次，若未检测出成分S，则不再进行检测，若检测出成分S，则对该小组的待测试剂进行逐一检测．
已知每瓶待测试剂中含有成分S的概率均为p，设X为方案二某小组的检测次数，E(X)为方案二的检测次数的数学期望．
(1)记E(X)的最大值为E，求证：E