2024-2025学年江苏省无锡一中高一（上）质检数学试卷（10月份）（含答案）

这是一份2024-2025学年江苏省无锡一中高一（上）质检数学试卷（10月份）（含答案），共8页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知集合A={x|x2≤1,x∈N}，则集合A的子集个数为( )
A. 3B. 4C. 8D. 16
2.“∀x∈(2,+∞)，x2−2x>0”的否定是( )
A. ∃x0∈(−∞,2]，x02−2x0≤0B. ∀x∈(2,+∞)，x2−2x≤0
C. ∃x0∈(2,+∞)，x02−2x0≤0D. ∀x∈(−∞,2]，x2−2x>0
3.下列各式中，正确的个数是( )
①{0}∈{0,1,2}；②{0,1,2}⊆{2,1,0}；③⌀⊆{0,1,2}；
④⌀={0}；⑤{0,1}={(0,1)}；⑥0={0}．
A. 1B. 2C. 3D. 4
4.已知函数y=ax2+bx+c，如果a>b>c且a+b+c=0，则它的图象可能是( )
A. B.
C. D.
5.下列选项中表示同一函数的是( )
A. f(x)=x0与g(x)=1
B. f(x)=x与g(x)=x2x
C. f(x)= (x−1)2与g(x)=x−1
D. f(x)=1,x≥0−1,x<0与g(x)=x|x|,x≠01,x=0
6.已知A={y|y=x2−2x+3}，B={x|2x−a>0}，若“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件，则a的取值范围为( )
A. (4,+∞)B. [4,+∞)C. (−∞,4)D. (−∞,4]
7.若x>0，y>0且xy=x+4y+5，则xy的最小值为( )
A. 1B. 5C. 25D. 12
8.一群学生参加学科夏令营，每名同学参加至少一个学科考试.已知有80名学生参加了数学考试，50名学生参加了物理考试，45名学生参加了化学考试，学生总数是只参加一门考试学生数的2倍，也是参加三门考试学生数的4倍，则学生总数为( )
A. 100名B. 108名C. 120名D. 前三个答案都不对
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列命题为真命题的是( )
A. 方程ax2+x+a=0有唯一解的充要条件是a=±12
B. 若p是q的必要不充分条件，p是r的充要条件，则q是r的充分不必要条件
C. “f(x)= 2mx2+x+1的定义域是R”的充要条件是“m≥18”
D. 函数f(x)= 1−x,0≤x≤11x+1,−110.已知x>0，y>0，且x+2y=1，下列结论中正确的是( )
A. xy的最大值是18B. 32xy+34y2的最大值是1
C. 1x+2y的最小值是9D. x2+4y2的最小值是12
11.根据不等式的有关知识，下列日常生活中的说法正确的是( )
A. 自来水管的横截面制成圆形而不是正方形，原因是：圆的面积大于与它具有相同周长的正方形的面积
B. 用一架两臂不等长的天平秤黄金，先将5g的砝码放在天平的左盘中，取出一些黄金放在天平右盘中使天平平衡；再将5g的砝码放在天平右盘中，再取出一些黄金放在天平左盘中使天平平衡；最后将两次秤得的黄金交给顾客，则顾客购得的黄金大于10g
C. 某工厂第一年的产量为A，第二年的增长率为a，第三年的增长率为b，则这两年的平均增长率等于a+b2
D. 两次购买同一种物品，可以用两种不同的策略．第一种是不论物品价格升降，每次购买这种物品的数量都是一定的；第二种是不论物品价格升降，每次购买这种物品所花的钱数都是一定的．若两次购买时价格不同，则用第二种方式购买更实惠
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.函数f(x)=1x的单调减区间为______．
13.已知f(x)是二次函数，且f(0)=3，若f(x+1)−f(x)=2x+3，则f(x)的解析式为______．
14.已知A={x∈R|x2−ax+a2−3=0}，且满足A⊆{x|x>0}，则a的取值范围是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知函数f(x)= 2+x+1 16−x2的定义域为集合A，集合B={x|m−2≤x≤2m−1}．
(1)若m=3，求A∪B；
(2)若A∩B=B.求m的取值范围．
16.(本小题15分)
解答下列各题．
(1)若x>3，求2x+1x−3的最小值；
(2)若正数x，y满足9x+y=xy，
①求xy的最小值；
②求3x+y的最小值．
17.(本小题15分)
已知函数f(x)=ax+6x−3，若xf(x)<4的解集为{x|1(1)求出a、b的值，并求不等式f(x)−x≤0的解集；
(2)解关于x的不等式cx2−(ac+b)x+ab<0．
18.(本小题17分)
如图设矩形ABCD(AB>AD)的周长为20cm，把△ABC沿AC向△ADC翻折成为△AEC，AE交DC于点P.设AB=xcm．
(1)若DP>14AB，求x的取值范围；
(2)设△ADP面积为S，求S的最大值及相应的x的值．
19.(本小题17分)
已知函数f(x)=x2+ax+1．
(1)若a=0，判断f(x)在[0,+∞)上的单调性，并用定义法证明；
(2)若存在x∈[0,4]，使得(x+1)f(x)+ax≥0成立，求实数a的取值范围；
(3)若对任意的x∈[1,4]，任意的a∈[−1,+∞)，f(x)−(λ−3)x+λ≥0恒成立，求实数λ的取值范围．
参考答案
1.B
2.C
3.B
4.A
5.D
6.B
7.C
8.A
9.BC
10.ACD
11.ABD
12.(−∞,0)和(0,+∞)
13.f(x)=x2+2x+3
14.{a|a> 3或a<−2}
15.解：(1)2+x≥016−x2>0得，−2≤x<4，∴A={x|−2≤x<4}，
m=3时，B={x|1≤x≤5}，
∴A∪B={x|−2≤x≤5}；
(2)∵A∩B=B，
∴B⊆A，
∴B=⌀时，m−2>2m−1，解得m<−1；
B≠⌀时，m≥−1m−2≥−22m−1<4，解得0≤m<52，
∴m的取值范围为：(−∞,−1)∪[0,52)．
16.解：(1)∵x>3，
则2x+1x−3=2(x−3)+1x−3+6≥2 2(x−3)1x−3+6=2 2+6，
当且仅当2(x−3)=1x−3，即x=3+ 22时，(2x+1x−3)min=2 2+6；
(2)∵9x+y=xy，∴1x+9y=1，
①∵x>0，y>0，∴1x+9y≥2 9xy=6 xy，当且仅当1x=9y，即x=2，y=18时，等号成立，
∴xy≥36，则xy的最小值为36；
②3x+y=(3x+y)(1x+9y)=12+yx+27xy≥12+2 yx27xy=12+6 3，
当且仅当yx=27xy，即x=1+ 3y=3 3+9时，等号成立，(3x+y)min=12+6 3．
17.解：(1)由题xf(x)=ax2−3x+6<4，ax2−3x+2<0的解集为{x|1所以a>03a=1+b2a=b解得a=1b=2，所以f(x)=x+6x−3，
f(x)−x=6x−3=6−3xx≤0，等价于(6−3x)x≤0x≠0，解得(−∞,0)∪[2，+∞)；
(2)由(1)可知：不等式为cx2−(c+2)x+2<0，
①c=0时，x>1；
②c>0时，(cx−2)(x−1)<0，
当2c=1即c=2时，无解，
当2c>1即0当2c<1即c>2时，2c③c<0时，(cx−2)(x−1)<0即(x−2c)(x−1)>0，
由2c<1，不等式的解为x<2c或x>1；
综上：当c=0时，解集为(1,+∞)；
当0当c=2时，解集为⌀；
当c>2时，解集为(2c,1)；
当c<0时，解集为(−∞,2c)∪(1,+∞)．
18.解：(1)设矩形ABCD(AB>AD)的周长为20cm，
把△ABC沿AC向△ADC翻折成为△AEC，AE交DC于点P，设AB=xcm，
由矩形周长为20cm，可知AD=(10−x)cm，
设DP=acm，则PC=(x−a)cm，
因为△ADP≌△CEP，所以AP=PC=(x−a)cm，
在Rt△ADP中，AD2+DP2=AP2，即(10−x)2+a2=(x−a)2，
得a=10−50x，
由题意，10−50x>14x，即x2−40x+200<0，
解得20−10 2由AB>AD得，5所以20−10 2即x的取值范围是(20−10 2,10)；
(2)因为S=12AD⋅DP=12(10−x)(10−50x),5化简得S=75−5(x+50x)，
因为x>0，所以x+50x≥10 2，
当且仅当x=50x，即x=5 2时，(x+50x)min=10 2，
Smax=(75−50 2)cm2．
19.解：(1)f(x)在[0,+∞)单调递增，理由如下：
a=0时，f(x)=x2x+1，
任取x1，x2，且x2>x1≥0，
f(x2)−f(x1)=x22x2+1−x12x1+1=x22(x1+1)−x12(x2+1)(x2+1)(x1+1)=(x2−x1)(x1x2+x1+x2)(x2+1)(x1+1)，
因为x2>x1≥0，
所以x2−x1>0，x1x2+x1+x2>0，x2+1>0，x1+1>0，
所以f(x2)−f(x1)>0，
即f(x2)>f(x1)，
由定义可知f(x)在[0,+∞)单调递增；
(2)由题x2+a+ax≥0，
因为x∈[0,4]，所以a≥−x2x+1，
由(1)y=x2x+1在[0,4]单调递增，
所以当x=4时，(x2x+1)max=165，
所以−x2x+1≥−165，
所以a≥−165，
即a的取值范围为：[−165,+∞)；
(3)看作a的函数y=1x+1a+x2x+1−(λ−3)x+λ，
因为x∈[1,4]，所以1x+1>0，
当a=−1时，ymin=−1x+1+x2x+1−(λ−3)x+λ=x−1−(λ−3)x+λ≥0，
所以x(4−λ)+λ−1≥0对任意的x∈[1,4]恒成立，
所以(4−λ)+λ−1≥04(4−λ)+λ−1≥0，
解得λ≤5，
所以实数λ的取值范围为(−∞,5]．