河北省五校2025届高三上学期第一次联合测评数学试题（含答案）

这是一份河北省五校2025届高三上学期第一次联合测评数学试题（含答案），共9页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知A=xlg21x1B. 130)的右焦点为F(1,0)，离心率为 22，直线l经过点F，且与C相交于A，B两点，记l的倾斜角为α．
(1)求C的方程；
(2)求弦AB的长(用α表示)；
(3)若直线MN也经过点F，且倾斜角比l的倾斜角大π4，求四边形AMBN面积的最小值．
19.(本小题12分)
已知函数fx=2lnx−4x−ax2−2．
(1)当a=−3时，求函数fx的极值；
(2)若函数fx有唯一的极值点x0．
①求实数a取值范围；
②证明：x02fx0+2x02⋅e1−x0+1≥0．
参考答案
1.A
2.A
3.A
4.B
5.B
6.A
7.A
8.C
9.BD
10.BCD
11.ACD
12.240
13. 5
14.[1,5+2 38)
15.解：(1)由题意知an+1=2an+1，则an+1+1=2an+1，
即bn+1=2bn，又a1=1，则b1=a1+1=2，
故bn是首项为2，公比为2的等比数列，
故bn=2n，即an+1=2n,∴an=2n−1；
(2)由于an=2n−1，故Sn=2+22+⋯+2n−n=21−2n1−2−n=2n+1−n−2．

16.解：(1)零假设H0：周平均锻炼时长与年龄无关联．
由2×2列联表中的数据，可得χ2=200(40×75−25×60)2100×100×65×135≈5.128，
∴χ2≈5.128>x0.05=3.841．
根据小概率值α=0.05的独立性检验，我们推断H0不成立，
即认为周平均锻炼时长与年龄有关联，此推断犯错误的概率不大于0.05．
所以50岁以下和50岁以上(含50)周平均锻炼时长有差异．
(2)抽取的5人中，周平均锻炼时长少于4小时的有5×40100=2人，不少于4小时的有5×60100=3人，
所以X所有可能的取值为1,2,3，
所以PX=1=C31C22C53=310，PX=2=C32C21C53=35，PX=3=C33C20C53=110，
所以随机变量X的分布列为：
随机变量X的数学期望EX=1×310+2×35+3×110=95

17.解：(1)由PA⊥平面ABCD，AB⊂平面ABCD，CD⊂平面ABCD，
得PA⊥AB，PA⊥CD，PB与底面ABCD所成角为∠PBA=45∘．
所以三角形PAB为等腰直角三角形，AB=AP=1．
又由四边形ABCD是直角梯形，BC//AD，可知AB⊥BC，
所以▵ABC为等腰直角三角形，而BC=1，故AC= 2．
在直角梯形ABCD中，过C作CE⊥AD，垂足为E，则四边形ABCE为正方形，
可知AE=BC=CE=1．
所以DE=1，在等腰直角三角形CDE中，CD= 2．
则有AC2+CD2=2+2=4=AD2，所以DC⊥AC．
又因为PA⊥DC，PA∩AC=A，PA⊂平面PAC，AC⊂平面PAC．
所以DC⊥平面PAC.因为DC⊂平面PCD，所以平面PAC⊥平面PCD．
(2)以A为坐标原点，分别以AB,AD,AP所在的直线为x,y,z轴，建立如图所示的空间直角坐标系．

则A(0,0,0)，P(0,0,1)，B(1,0,0)，D0,2,0，C(1,1,0)．
因为T是CD的中点，点M是PT的中点，所以T12,32,0，M14,34,12．
设平面ABM的法向量为n=x,y,z，AB=1,0,0，AM=14,34,12，
则n⋅AB=0n⋅AM=0，得x=014x+34y+12z=0,
取y=4，则z=−6，得平面ABM的一个法向量为n=0,4,−6，
而AP=0,0,1，所以点P到平面ABM的距离为AP⋅nn=6 16+36=62 13=3 1313．
(3)设AT=λAC+1−λAD=λ,λ,0+0,2−2λ,0=λ,2−λ,0，注意到A(0,0,0)，
所以Tλ,2−λ,0，
所以PT=λ,2−λ,−1，
设PM=μPT=μλ,2−λ,−1=μλ,2μ−μλ,−μ，注意到P(0,0,1)，
所以Mμλ,2μ−μλ,1−μ，
因为A(0,0,0)，B(1,0,0)，所以AB=1,0,0,AM=μλ,2μ−μλ,1−μ，
若PT⊥平面ABM，
则当且仅当PT⋅AB=λ=0PT⋅AM=μλ2+μ2−λ2+μ−1=0，即当且仅当λ=0μ=15,
此时M0,25,45，
综上所述，当且仅当T,D重合，此时存在M0,25,45，使PT⊥平面ABM．

18.解：(1)由题意知c=1,ca= 22,a2−b2=c2,解得a= 2，b=1，
所以C的方程为x22+y2=1．
(2)当α≠π2时，设l的方程为y=k(x−1)，k=tanα，A(x1,y1)，B(x2,y2)，
联立y=k(x−1),x22+y2=1,得(2k2+1)x2−4k2x+2k2−2=0，
其中Δ=8(k2+1)>0，且x1+x2=4k22k2+1，x1x2=2k2−22k2+1，
所以|AB|= (k2+1)(x1−x2)2=2 2(1+k2)2k2+1=2 21+sin2α．
当α=π2时，|AB|=2b2a= 2．
综上，对任意的α∈[0,π)，|AB|=2 21+sin2α．
(3)由题意知α∈[0,3π4)，由(1)知|AB|=2 21+sin2α，|MN|=2 21+sin 2(α+π4)，
所以S四边形AMBN=12|AB||MN|sinπ4=12×2 21+sin2α×2 21+sin2(α+π4)× 22
=8 2(3+sin2α)(3−cs2α)=8 29+3(sin2α−cs2α)−sin2αcs2α．
令sin2α−cs2α=t，t∈[−1, 2]，
则sin2αcs2α=1−t22，S四边形AMBN=16 2t2+6t+17．
因此，当t= 2时，四边形AMBN的面积取得最小值304 2−192289．
19.解：(1)由函数fx=2lnx−4x−ax2−2，可得其定义域为(0,+∞)，且f′x=2x+4x2+2ax3=2(x2+2x+a)x3，
当a=−3时，可得f′x=2(x2+2x−3)x3=2(x−1)(x+3)x3，
则当00恒成立，
故函数fx在0,+∞恒单调递增，即无极值点；
当a0时恒成立，
令Fx=lnx−1x+12x2+e1−x−12，
可得F′x=1x+1x2−1x3−e1−x且F1=0,F′1=0，
当00，
所以φ′x=(1−x)(x+3)x4+e1−x>0对∀x∈(0,1)恒成立，所以φx=F′x在(0,1)上单调递增，
即F′x1时，g′x>0，可得g′x在1,+∞内单调递增，则有g′x≥g′1=0，
故gx在1,+∞内单调递增，则gx≥g1=0，
故当x≥1时，有ex−ex≥0,xex>0,x−1≥0,x3>0，
则F′x=ex−exxex+x−1x3≥0对∀x∈[1,+∞)上恒成立，
则F(x)在[1,+∞)上单调递增，可得Fx≥F1=0，
综上所述：Fx≥0对∀x∈0,+∞恒成立，即x02fx0+2x02⋅e1−x0+1≥0．
年龄
周平均锻炼时长
合计
周平均锻炼时间少于4小时
周平均锻炼时间不少于4小时
50岁以下
40
60
100
50岁以上(含50)
25
75
100
合计
65
135
200
α
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
χα
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
X
1
2
3
P
310
35
110