2024-2025学年海南省海口市农垦中学高三（上）第一次月考数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年海南省海口市农垦中学高三（上）第一次月考数学试卷（含答案），共8页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.集合A={y|y=x2,x∈R},B={x|y= 1−x}，则A∩B=( )
A. ⌀B. RC. [0,1]D. [−∞,1]
2.若f(x)是幂函数，且满足f(4)f(2)=3，则f(12)=( )
A. 3B. −3C. 13D. −13
3.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若S5=11，S10=24，则S15=( )
A. 34B. 39C. 42D. 45
4.攒尖式屋顶是中国古代传统建筑的一种屋顶样式，如图所示的建筑屋顶是圆形攒尖，可近似看作一个圆锥，已知该圆锥的底面直径为8m，高为3m，则该屋顶的面积约为( )
A. 15πm2B. 20πm2C. 24πm2D. 30πm2
5.如图为函数y=fx在−6,6上的图像，则fx的解析式只可能是( )．
A. fx=ln x2+1+xcsxB. fx=ln x2+1+xsinx
C. fx=ln x2+1−xcsxD. fx=ln x2+1−xsinx
6.李明开发的小程序经过t天后，用户人数A(t)=500ekt，其中k为常数.已知小程序发布经过10天后有2000名用户，则用户超过50000名至少经过的天数为( )(取lg2=0.30)
A. 31B. 32C. 33D. 34
7.已知函数a=12ln 2，b=15ln 5，c=1e，则a，b，c的大小关系正确的是( )
A. a8.若函数f(x)定义域为R，且f(2x+1)偶函数，f(x−1)关于点(3,3)成中心对称，则i=119f(i)=( )
A. 56B. 57C. 58D. 59
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.“体育强则中国强，国运兴则体育兴”.为备战2024年巴黎奥运会，已知运动员甲特训的成绩分别为：9，12，8，16，16，18，20，16，12，13，则这组数据的( )
A. 众数为12B. 平均数为14
C. 中位数为14.5D. 第85百分位数为16
10.下列说法正确的是( )
A. 函数fx=lgax−2+2(a>0且a≠1)的图象恒过定点3,2
B. 若命题“∀x∈R,x2−ax+a>0”为真命题，则实数a的取值范围是0,4
C. 将函数fx=sin2x−π4的图象向左平移π8个单位后得到函数y=sin2x的图象
D. fx=x+lg2x−2的零点所在的一个区间为1,2
11.已知函数f(x)，对任意的x，y∈R都有f(x+y)=2xf(y)+2yf(x)，且f(1)=2，则下列说法正确的是( )
A. f(0)=0B. f(x)2x是奇函数
C. y=f(x)是R上的增函数D. f(n)=n⋅2n(n∈N∗)
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知复数z的实部为2，且z2+i为纯虚数，则复数z= ______．
13.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a=3，c=4，且△ABC的面积S= 34(a2+c2−b2)，若∠ABC的平分线交AC于点D，则BD= ______．
14.已知函数f(x)=x2−1,x<1lnxx,x⩾1，若关于x的方程2[f(x)]2+(1−2m)f(x)−m=0有5个不同的实数解，则实数m的取值范围是 ．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题12分)
如图，平面四边形ABCD内接于一个圆，且AB=5，BD=3 5，A为钝角，sinA=35．
(1)求sin∠ABD；
(2)若BC=5，求△BCD的面积．
16.(本小题12分)
已知函数f(x)=a−3x+13x+b是定义在R上的奇函数(a>0,b>0)．
(Ⅰ)求f(x)的解析式；
(Ⅱ)求当x∈[0,1]时，函数g(x)=f(x)⋅(3x+1)+9x−1的值域．
17.(本小题12分)
已知数列{an}满足a1=1，an+1=2an+n−1．
(1)证明：数列{an+n}是等比数列，并求数列{an}的前n项和为Sn．
(2)设bn=(2n−1)⋅(an+n)，求数列{bn}的前n项和Tn．
18.(本小题12分)
如图，三棱锥P−ABC中，正三角形PAC所在平面与平面ABC垂直，AC的中点O在平面PBC内的射影恰好是△PBC的重心G，G到平面PAC的距离为1，AB=6．
(1)证明：AB//平面POG；
(2)证明：△ABC是直角三角形；
(3)求平面PAB与平面PBC夹角的余弦值．
19.(本小题12分)
已知函数f(x)=ln(x+1)．
(1)求曲线y=f(x)在x=3处的切线方程．
(2)讨论函数F(x)=ax−f(x)(a∈R)的单调性；
(3)设函数g(x)=(x+1)f(1x)−f(1x+1).证明：存在实数m，使得曲线y=g(x)关于直线x=m对称．
参考答案
1.C
2.C
3.B
4.B
5.A
6.D
7.D
8.B
9.BC
10.ACD
11.ABD
12.2−4i
13.12 37
14.(0,1e)
15.解：(1)因为A为钝角，sinA=35，所以csA=− 1−(35)2=−45，
由余弦定理得(3 5)2=AD2+52−2×AD×5×(−45)，
整理得AD2+8AD−20=(AD+10)(AD−2)=0，解得AD=2(负根舍去)，
由正弦定理得ADsin∠ABD=BDsinA,sin∠ABD=AD×sinABD=2×353 5=2 525．
(2)由于圆的内接四边形对角互补，所以sinC=sinA=35，且C为锐角，则csC=45，
在三角形BCD中，由余弦定理得：(3 5)2=52+CD2−2×5×CD×45，
CD2−8CD−20=(CD−10)(CD+2)=0，
解得CD=10(负根舍去)，
所以△BCD的面积为12×BC×CD×sinC=12×5×10×35=15．
16.解：(Ⅰ)∵f(x)是R上的奇函数，
∴f(−x)=−f(x)，即a−3⋅3−x3−x+b=−a−3⋅3x3x+b，
∴a⋅3x−3b⋅3x+1=3⋅3x−a3x+b，
∴a=3，b=1，
∴f(x)=3−3⋅3x3x+1；
(Ⅱ)g(x)=3−3⋅3x+(3x)2−1=(3x)2−3⋅3x+2=(3x−32)2−14，
∵x∈[0,1]，
∴3x∈[1,3]，
∴3x=32时g(x)取最小值−14；3x=3时，g(x)取最大值2，
∴g(x)的值域为[−14,2]．
17.证明：(1)数列{an}满足a1=1，
所以a1+1=2，
由于an+1=2an+n−1，
整理得：an+1+(n+1)=2(an+n)，
所以an+1+n+1an+n=2(常数)，
数列{an+n}是以2为首项，2为公比的等比数列；
所以：an+n=2×2n−1=2n，
整理得an=2n−n(首项符合通项)，
故an=2n−n；
Sn=(21+22+...+2n)−(1+2+...+n)=2(2n−1)2−1−n2+n2=2n+1−n2+n2−2．
解：(2)由(1)得：bn=(2n−1)⋅(an+n)=(2n−1)⋅2n，
所以Tn=1×21+3×22+...+(2n−1)⋅2n①，
2Tn=1×22+3×23+...+(2n−1)⋅2n+1②，
①−②得：−Tn=2+2×22+2×23+...+(2n−1)⋅2n+1，
整理得：Tn=(n−32)⋅2n+2+6．
18.解：(1)证明：连接PG并延长交BC于D，连接OD、OG，
因为G为△PBC的重心，所以D为BC的中点，
又因为O是AC中点，则OD/​/AB，
又OD⊂平面POG，AB⊄平面POG，所以AB/​/平面POG．
(2)证明：因为△PAC是正三角形，O是AB的中点，所以PO⊥AC，
又因为平面PAC⊥平面ABC，平面PAC∩平面ABC=AC，PO⊂平面PAC，
所以PO⊥平面ABC，所以PO⊥BC，
又OG⊥BC，PO，OG⊂平面POD，PO∩OG=O，
所以BC⊥平面POD，所以BC⊥OD，
又由(1)知OD/​/AB，所以BC⊥AB，所以△ABC是直角三角形．
(3)过B作BF⊥AC于F，同(2)可证BF⊥平面PAC，
因为G为△PBC的重心，且G到平面PAC的距离为1，
所以B到平面PAC的距离为3，即BF=3，
在Rt△ABF中，sinA=BFAB=12，所以A=30°
所以在Rt△ABC中，AC=ABcsA=4 3，
以O为原点，以OC所在直线为y轴，OP所在直线为z轴，过点O且垂直于平面PAC的直线为x轴，建立空间直角坐标系O−xyz如图所示，
则A(0,−2 3,0)，B(3, 3,0)，C(0,2 3,0)，P(0,0,6)，
所以AP=(0,2 3,6)，AB=(3,3 3,0)，BP=(−3,− 3,6)，BC=(−3, 3,0)，
设平面PAB的法向量为m=(x1,y1,z1)，
所以AP⋅m=2 3y1+6z1=0AB⋅m=3x1+3 3y1=0，令z1=1，则x1=3，y1=− 3，则m=(3,− 3,1)，
设平面PBC的法向量为n=(x2,y2,z2)，
所以BP⋅n=−3x2− 3y2+6z2=0BC⋅n=−3x2+ 3y2=0，令x2=1，则y2= 3，z2=1，则n=(1, 3,1)，
所以cs〈m,n〉=m⋅n|m||n|= 6565，
即平面PAB与平面PBC夹角的余数值为 6565．
19.解：(1)切点为(3,ln4)．
因为f′(x)=1x+1，所以切线的斜率为k=f′(3)=14，
所以曲线y=f(x)在x=3处的切线方程为y−ln4=14(x−3)，
化简得x−4y+8ln2−3=0；
(2)由题意可知F(x)=ax−ln(x+1)，则F(x)的定义域为(−1,+∞)，
F′(x)=a−1x+1=ax+a−1x+1，x∈(−1,+∞)，
当a≤0时，F′(x)=a−1x+1<0，则F(x)在(−1,+∞)上单调递减；
当a>0时，令F′(x)=0，即ax+a−1=0，解得x=1a−1，
若−1若x>1a−1，F′(x)=ax+a−1x+1>0，
则F(x)在(−1,1a−1]上单调递减，在(1a−1,+∞)上单调递增．
综上所述，当a≤0时，F(x)在(−1,+∞)上单调递减；
当a>0时，F(x)在(−1,1a−1]上单调递减，在(1a−1,+∞)上单调递增；
(3)证明：函数g(x)=(x+1)ln(1+1x)−ln(2+1x)，
函数g(x)的定义域为(−∞,−1)∪(0,+∞)．
若存在m，使得曲线y=g(x)关于直线x=m对称，
则(−∞,−1)∪(0,+∞)关于直线x=m对称，所以m=−12，
由g(−1−x)=(−x)ln(1+1−1−x)−ln(2+1−1−x)
=−xlnxx+1−ln2x+1x+1=xlnx+1x−ln2x+1x+1=(1+x)lnx+1x−lnx+1x−ln2x+1x+1
=(1+x)lnx+1x−ln2x+1x=g(x)．
可知曲线y=g(x)关于直线x=−12对称．