2024-2025学年浙江省杭州市萧山区新桐中学九年级（上）月考数学试卷（10月份）（含答案）

这是一份2024-2025学年浙江省杭州市萧山区新桐中学九年级（上）月考数学试卷（10月份）（含答案），共10页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列各式中，y是x的二次函数的是( )
A. y=1x2B. y=x2+1x+1C. y=2x2−1D. y= x2−1
2.抛物线y=x2+14x+54的对称轴是( )
A. 直线x=7B. 直线x=−7C. 直线x=14D. 直线x=−14
3.把抛物线y=3x2向左平移2个单位长度，再向上平移5个单位长度，得到的抛物线的解析式为( )
A. y=3(x+2)2−5B. y=3(x+5)2+2
C. y=3(x−2)2+5D. y=3(x+2)2+5
4.已知A(−1,y1)，B(2,y2)，C(4,y3)是二次函数y=−x2+2x+c的图象上的三个点，则y1，y2，y3的大小关系为( )
A. y15.表中列出的是一个二次函数的自变量x与函数y的几组对应值．
下列各选项中，正确的是( )
A. 这个函数的最小值为−1B. 这个函数的图象开口向下
C. 这个函数的图象与x轴无交点D. 当x>2时，y的值随x值的增大而增大
6.已知函数y=(k−3)x2+2x+1的图象与x轴有交点，则k的取值范围是( )
A. k<4B. k≤4C. k<4且k≠3D. k≤4且k≠3
7.如图，某同学在投掷实心球，他所投掷的实心球的高ℎ(m)与投掷距离x(m)之间的函数关系满足ℎ=−112x2+23x+53，则该同学掷实心球的成绩是( )
A. 6m
B. 8m
C. 10m
D. 12m
8.一次函数y=ax+b与二次函数y=ax2+bx在同一坐标系中的图象大致为( )
A. B.
C. D.
9.已知二次函数y=(x−a−1)(x−a+1)−2a+9(a是常数)的图象与x轴没有公共点，且当x<−2时，y随x的增大而减小，则实数a的取值范围是( )
A. a>−2B. a<4C. −2≤a<4D. −210.已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)图象的对称轴为直线x=−1，部分图象如图所示，下列结论中：①abc>0；②b2−4ac>0；③4a+c>0；④若t为任意实数，则有a−bt≤at2+b、⑤为图象经过点(12,2)时，方程ax2+bx+c−2=0的两根为x1，x2(x1A. ①②③
B. ②③⑤
C. ②③④⑤
D. ②③④
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11.若y=(m−2)x|m|+2x+3是关于x的二次函数，则m的值是______．
12.抛物线y=x2−3x−1010与x轴的其中一个交点坐标是(p,0)，则2p2−6p+4的值为______．
13.已知一条抛物线的形状、开口方向均与抛物线y=−2x2+9x相可，且经过(−1,0)和(3,0)，则这条抛物线的解析式为______．
14.如图所示，抛物线形拱桥的顶点距水面2m时，测得拱桥内水面宽为12m.当水面升高1m后，拱桥内水面的宽度为______m.
15.如图所示，二次函数y1=ax2+bx−3图象与一次函数y2=−x+m的图象
交于A(−1,0)，B(2,−3)两点.当y1>y2时，自变量x的取值范围______．
16.对于一个函数，当自变量x取a时，函数值y也等于a，则称a是这个函数的不
动点.已知二次函数y=−2x2+6x+m．
(1)若2是此函数的不动点，则m的值为______．
(2)若此函数有两个相异不动点a与b(a≠b)，且a<−2三、解答题：本题共8小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题8分)
已知二次函数y=2x2+4x−6；
(1)求出该函数图象的顶点坐标；
(2)求该函数的图象与坐标轴的交点坐标．
18.(本小题8分)
已知抛物线：y=−x2+4x−5．
(1)若该抛物线经过平移后得到新抛物线y=−x2−4x+1，求平移的方向和距离；
(2)若将该抛物线图象沿x轴翻折，求得到新的抛物线的函数表达式．
19.(本小题8分)
已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)中自变量x和函数值y的部分对应值如表所示：
(1)请直接写出该抛物线的顶点；
(2)请求出该抛物线的解析式；
(3)当−220.(本小题8分)
某农场拟建两间矩形饲养室，一面靠现有墙(墙足够长)，中间用一道墙隔开(如图1所示).已知计划中的材料可建墙体总长46米，设两间饲养室合计长x(米)，总占地面积为y(米 ​2).
(1)求y关于x的函数表达式和自变量x的取值范围．
(2)现需要设计这两间饲养室各开一扇门(如图2所示)，每扇门宽1米，门不采用计划中的材料.求总占地面积最大为多少米 ​2？
21.(本小题8分)
已知二次函数y=a(x−2)2−8a(a≠0)．
(1)若二次函数的图象与y轴交于点C(0,4)，求a的值；
(2)若当−1≤x≤4时，y的最小值为−8，求a的值．
22.(本小题10分)
某电商以每件40元的价格购进某款T恤，以每件60元的价格出售，经统计，“十一”的前一周的销量为500件，该电商在“十一黄金周”期间进行降价销售，经调查，发现该T恤在“十一”前一周销售量的基础上，每降价1元，“十一黄金周”销售量就会增加50件.设该T恤的定价为x元，“十一黄金周”获得的利润为w元．
(1)求w与x之间的函数关系式；
(2)若要求销售单价不低于成本，且按照物价部门规定销售利润率不高于30%，如何定价才能使得利润最大？并求出最大利润是多少元？(利润率=利润进价×100%)
23.(本小题10分)
在平面直角坐标系中，点(1,m)和(3,n)都在二次函数y=ax2+bx(a≠0,a,b是常数)的图象上．
(1)若m=n=−6，求该二次函数的表达式．
(2)若a=−1，m(3)已知点(−1,y1)，(2,y2)，(4,y3)也都在该二次函数图象上，若mn<0且a<0，试比较y1，y2，y3的大小，并说明理由．
24.(本小题12分)
综合与探究
如图，抛物线y=−x2+bx+c与x轴相交于A，B两点，与y轴相交于点C，点B的坐标是(−4,0)，点C的坐标是(0,4)，M是抛物线的顶点．
(1)求抛物线的解析式．
(2)P为线段MB上的一个动点，过点P作PD⊥x轴于点D，D点坐标为(m,0)，△PCD的面积为S．
①求△PCD的面积S的最大值．
②在MB上是否存在点P，使△PCD为直角三角形？如果存在，请直接写出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．
参考答案
1.C
2.B
3.D
4.D
5.D
6.B
7.C
8.A
9.C
10.D
11.−2
12.2024
13.y=−2x2+4x+6
14.6 2
15.x<−1或x>2
16.−2 m>18
17.解：(1)∵y=2x2+4x−6=2(x+1)2−8，
∴该函数图象的顶点坐标为(−1,−8)；
(2)当x=0时，y=−6，
∴该函数与y轴相交于(0,−6)，
当y=0时，2x2+4x−6=0，
解得：x1=−3，x1=1，
∴该函数与x轴的交点坐标为(−3,0)，(1,0)．
18.解：(1)抛物线：y=−x2+4x−5=−(x−2)2−1，
平移后的新抛物线：y=−x2−4x+1=−(x+2)2+5，
∴把原抛物线向左平移4个单位，向上平移6个单位可得到新抛物线；
(2)将抛物线图象沿x轴翻折，得到新的抛物线的开口方向与原来相反，顶点坐标与原抛物线的顶点坐标关于x轴对称，
∴新的抛物线的函数表达式为：y=(x−2)2+1．
19.解：(1)根据抛物线的对称性，由自变量x和函数值y的对应值可以确定抛物线的顶点坐标为(1,−4)，
故答案为：(1,−4)；
(2)由图表得，x=0，y=−2；x=1，y=−4；x=−1，y=4，
代入y=ax2+bx+c(a≠0)得：
c=−2a+b+c=−4a−b+c=4，
解得a=2b=−4c=−2，
∴抛物线的解析式为y=2x2−4x−2；
(3)当x=−2时，y=14；当x=2时，y=−2，
又∵当x=1时，y得最小值为−4，
∴y得取值范围为：−4≤y<14．
20.解：(1)由题意得：y=46−x3x=−13x2+463x，
∵46−x3>0，
∴x<46，
故：y=−13x2+463x，(0(2)由题意得：y=48−x3x=−13(x−24)2+192，
故：当x=24时，y由最大值192平方米；
21.解：(1)将点C(0,4)代入y=a(x−2)2−8a(a≠0)，
得4a−8a=4，
解得a=−1；
(2)顶点坐标为(2,−8a)，
当a<0时，当x=−1时，函数最小值9a−8a=−8，解得a=−8，
当a>0时，当x=2时，函数最小值为−8a=−8，解得a=1，
综上所述，a的值为−8或1．
22.解：(1)根据题意可得：
w=(x−40)[500+50(60−x)]=−50x2+5500x−140000；
∴w与x之间的函数关系式为：w=−50x2+5500x−140000；
(2)由题意可得：
x≥40x−4040≤0.3，
解得40≤x≤52，
∵a=−50<0，
∴抛物线开口向下，
∵抛物线的对称轴为直线x=55，
∴当40≤x≤52时，w随x的增大而增大，
∴当x=52时，w的最大值为：w=(52−40)[500+50×(60−52)]=10800(元)，
答：当定价为每件52元时，才能使利润最大，最大利润为10800元．
23.解：(1)当m=n=−6时，把(1,−6)和(3,−6)代入y=ax2+bx得：
a+b=−69a+3b=−6，解得a=2b=−8，
∴二次函数的表达式为y=2x2−8x；
(2)当a=−1时，y=−x2+bx，
把(1,m)和(3,n)代入得：m=−1+bn=−9+3b，
∵m∴−1+b<−9+3b，
解得b>4，
∴b的取值范围是b>4；
(3)把(1,m)和(3,n)代入y=ax2+bx得：
m=a+bn=9a+3b，
∵mn<0，
∴(a+b)(9a+3b)<0，
∴a+b>09a+3b<0或a+b<09a+3b>0，
由a+b<09a+3b>0，得：b<−ab>−3a，
∵a<0，
∴b<−ab>−3a无解，即a+b<09a+3b>0，不等式无解，
则a+b>09a+3b<0
∴a+b>0且3a+b<0，
把(−1,y1)，(2,y2)，(4,y3)代入y=ax2+bx，
得：y1=a−b，y2=4a+2b，y3=16a+4b，
∴y1−y2=a−b−(4a+2b)=−3(a+b)<0，y1−y3=a−b−(16a+4b)=−5(3a+b)>0，
∴y1y3，
∴y324.解：(1)∵抛物线y=−x2+bx+c经过B(−4,0)，C(0,4)两点，
∴−16−4b+c=0c=4
解得：b=−3c=4，
∴该抛物线的解析式为y=−x2−3x+4．
(2)①∵y=−x2−3x+4=−(x+32)2+254，
∴抛物线的顶点为M(−32,254)，
设直线BM的解析式为y=kx+d，则，−4k+d=0−32k+d=254
解得：k=52d=10，
∴直线BM的解析式为y=52x+10，
由题意得D(m,0)，其中−4≤m≤−32，设P(m,52m+10)，
∴PD=52m+10，OD=−m，
∴S△PCD=12PD⋅OD=12(52m+10)⋅(−m)=−54(m+2)2+5，
∵−54<0，
∴当m=−2时，S取得最大值5；
②存在，理由如下：
∵∠PDC=90°−∠CDO，
∴∠PDC<90°，不可能为直角；
当∠CPD=90°时，则∠CPD=∠PDB，
∴PC/​/x轴，
∴52m+10=4，
解得：m=−125，
∴P(−23,2)；当△PCD为直角三角形时，点P的坐标为(−125,4)或(−2,5)．
x
…
−2
0
1
3
…
y
…
6
−4
−6
−4
…
x
…
−1
0
1
2
3
4
5
…
y
…
4
−2
−4
−2
4
14
28
…