浙江省西湖区翠苑中学教育集团2023—2024学年上学期期中考试八年级数学试卷

这是一份浙江省西湖区翠苑中学教育集团2023—2024学年上学期期中考试八年级数学试卷，共28页。试卷主要包含了选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）下列四个汉字是轴对称图形的是
A．B．C．D．
2．（3分）下列各组线段中，能构成三角形的是
A．1，1，3B．2，3，5C．3，4，9D．5，6，10
3．（3分）对于命题“如果，那么”，能说明它是假命题的反例是
A．B．C．D．
4．（3分）如图，用直尺和圆规作已知角的角平分线，要证明成立的的判定依据是
A．B．C．D．
5．（3分）由下列条件不能判断是直角三角形的是
A．B．
C．D．
6．（3分）已知等腰三角形三边的长分别为4，，10，则的值是
A．4B．10C．4 或10D．6 或10
7．（3分）如图，若要用“”证明，则还需补充条件
A．B．或C．且D．以上都不正确
8．（3分）如图，在等边中，是的中点，于点，于点，已知，则的长为
A．4B．6C．8D．10
9．（3分）如图，在中，为中线，为上一点，且，．则的度数为
A．B．C．D．
10．（3分）如图，是的角平分线，，，，，分别是和上的任意一点；连接，，，，给出下列结论：
①；
②；
③的最小值是；
④若平分，则的面积为9．
其中正确的是
A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④
二、填空题（本题有6小题，每小题4分，共24分）
11．（4分）命题“等腰三角形的两个底角相等”的逆命题是 ．
12．（4分）如图，，平分交于，若，，则点到的距离为 ．
13．（4分）一等腰三角形一个外角是，则它的底角的度数为
14．（4分）如图，在中，，，点在边上，作于、于，若，的面积为，则的长为 ．
15．（4分）如图，中，，，点在边上运动与，不重合），设，将沿翻折至△处，与边相交于点．若△是等腰三角形，则的值为 ．
16．（4分）如图，的两条直角边，，分别以的三边为边作三个正方形．若四个阴影部分面积分别为，，，．则的值为 ，的值为 ．
三.解答题（本题有7个小题，共66分）
17．（8分）已知：如图，，，，在同一直线上，，．求证：．
18．（8分）在图示的正方形网格纸中，每个小正方形的边长都是1，的三个顶点都在小正方形的顶点处，直线与网格中竖直的线相重合．
（1）在图中，作出关于直线对称的△；
（2）在图中找一点，连接，使平分的面积；
（3）在直线上找一点，使最小；
（4）的面积为 ．
19．（10分）如图，已知，．
（1）请用直尺和圆规画出边的垂直平分线，垂足为点，交于点，连结．（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）在（1）的前提下，若，，求的长．
20．（10分）如图，中，是边上的高线，是一条角平分线，它们相交于点．
（1）已知，求的度数；
（2）求与之间满足的数量关系．
21．（10分）如图，是等腰直角三角形，，是的中点，，点，在，上．
（1）求证：．
（2）连结，则、、之间有什么数量关系？请说明理由．
22．（10分）如图，在中，是边上的高线，是边上的中线，于，，连接．
（1）求证：；
（2）已知，．
①求的面积；
②求的长．
23．（10分）（1）如图1，在中，，，为边上的中线．求中线的取值范围；（提示：延长到点，使，连接
（2）如图2，在中，，是边的中点，，交于点，交于点，连接，求证：；
（3）如图3，四边形中，，，为中点，、分别在边、上，且，若，，求长．
2023-2024学年浙江省杭州市翠苑中学教育集团八年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题有10个小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）下列四个汉字是轴对称图形的是
A．B．C．D．
【分析】根据轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
【解答】解：、是轴对称图形，故本选项符合题意；
、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
、不是轴对称图形，故本选项不符合题意．
故选：．
【点评】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
2．（3分）下列各组线段中，能构成三角形的是
A．1，1，3B．2，3，5C．3，4，9D．5，6，10
【分析】由于三角形三边满足两短边的和大于最长的边，只要不满足这个关系就不能构成三角形．根据这个关系即可确定选择项．
【解答】解：、，
无法构成三角形，不合题意；
、，
无法构成三角形，不合题意；
、，
无法构成三角形，不合题意；
、，
可以构成三角形，符合题意；
故选：．
【点评】此题主要考查了三角形的三边关系定理：任意两边之和大于第三边，只要满足两短边的和大于最长的边，就可以构成三角形．
3．（3分）对于命题“如果，那么”，能说明它是假命题的反例是
A．B．C．D．
【分析】满足条件，但不能得出结论的即为说明命题是假命题的反例．
【解答】解：当时，满足条件，但不能得出的结论，
能说明命题“如果，那么”是假命题的反例是，
故选：．
【点评】本题考查命题与定理，解题的关键是掌握举反例说明假命题的方法．
4．（3分）如图，用直尺和圆规作已知角的角平分线，要证明成立的的判定依据是
A．B．C．D．
【分析】根据证明，即可推出．
【解答】解：在和中，
，
，
．
故选：．
【点评】本题考查作图复杂作图，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是读懂图象信息，灵活运用所学知识解决问题．
5．（3分）由下列条件不能判断是直角三角形的是
A．B．
C．D．
【分析】利用直角三角形的定义和勾股定理的逆定理逐项判断即可．
【解答】解：、，且，可求得，故不是直角三角形；
、不妨设，，，此时，故是直角三角形；
、，且，可求得，故是直角三角形；
、，满足勾股定理的逆定理，故是直角三角形；
故选：．
【点评】本题主要考查直角三角形的判定方法，掌握判定直角三角形的方法是解题的关键，可以利用定义也可以利用勾股定理的逆定理．
6．（3分）已知等腰三角形三边的长分别为4，，10，则的值是
A．4B．10C．4 或10D．6 或10
【分析】根据等腰三角形的性质和三角形三边关系即可求解．
【解答】解：当时，，不符合三角形三边关系，舍去；
当时，，符合三角形三边关系．
故选：．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质和三角形三边关系，注意分两种情况讨论求解．
7．（3分）如图，若要用“”证明，则还需补充条件
A．B．或C．且D．以上都不正确
【分析】根据“”证明，因图中已经有为公共边，再补充一对直角边相等的条件即可．
【解答】解：从图中可知为和的斜边，也是公共边．
根据“”定理，证明，
还需补充一对直角边相等，
即或，
故选：．
【点评】此题主要考查学生利用“”证明直角三角形全等这一知识点的理解和掌握，比较简单，属于基础题．
8．（3分）如图，在等边中，是的中点，于点，于点，已知，则的长为
A．4B．6C．8D．10
【分析】由等边三角形的性质推出，，由含角的直角三角形的性质推出，而，即可求出的长．
【解答】解：是等边三角形，
，，
，
，
，
，
，
，
于点，
，
，
．
故选：．
【点评】本题考查等边三角形的性质，含角的直角三角形，关键是由含角的直角三角形推出．
9．（3分）如图，在中，为中线，为上一点，且，．则的度数为
A．B．C．D．
【分析】首先利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得，根据等腰三角形的性质求得，设，进而求得，根据三角形的内角和定理求得，即可求解．
【解答】解：在中，
为中线，
，
，
设，
，
，
，
，
，
，
故选：．
【点评】考查了直角三角形斜边上的中线，等腰三角形的性质，解题的关键是了解等腰三角形的等边对等角的性质，难度不大．
10．（3分）如图，是的角平分线，，，，，分别是和上的任意一点；连接，，，，给出下列结论：
①；
②；
③的最小值是；
④若平分，则的面积为9．
其中正确的是
A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④
【分析】①根据等腰三角形的性质得出垂直平分，得出，根据三角形三边关系即可得出结论；
②根据角平分线的定义，平行线的性质、等腰三角形的性质，证明，，得出，，即可得出结论；
③过点作于点，当点在与交点上时，，此时最小，且最小值为，根据等积法求出即可；
④过点作于点，得出，求出，即可求出结果．
【解答】解：①，是的角平分线，
，，
垂直平分，
，
，
，
，故①正确；
②，
，，
是的角平分线，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，故②正确；
③根据解析①可知，，
当最小时，最小，
过点作于点，如图所示：
当点在与交点上时，，此时最小，且最小值为，
平分，
，，
，
，
，
即的最小值是，故③错误；
④过点作于点，如图所示：
平分，，
，
，
，
，故④正确；
综上分析可知，正确的有①②④，故正确．
故选：．
【点评】本题主要考查了等腰三角形的性质，勾股定理，三角形面积的计算，垂线段最短，垂直平分线的性质，角平分线的性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握基本的性质．
二、填空题（本题有6小题，每小题4分，共24分）
11．（4分）命题“等腰三角形的两个底角相等”的逆命题是 两个角相等三角形是等腰三角形 ．
【分析】先找到原命题的题设和结论，再将题设和结论互换，即可而得到原命题的逆命题．
【解答】解：因为原命题的题设是：“一个三角形是等腰三角形”，结论是“这个三角形两底角相等”，
所以命题“等腰三角形的两个底角相等”的逆命题是“两个角相等三角形是等腰三角形”．
【点评】根据逆命题的概念来回答：对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另外一个命题的结论和条件，那么这两个命题叫做互逆命题，其中一个命题叫做原命题，另外一个命题叫做原命题的逆命题．
12．（4分）如图，，平分交于，若，，则点到的距离为 3 ．
【分析】过作于，根据角平分线的性质得出，求出即可．
【解答】解：过作于，
，
，
平分交于点，，
，
，，
，
，
即到的距离为，
故答案为：3．
【点评】本题考查了角平分线的性质，能根据角平分线的性质得出是解此题的关键．
13．（4分）一等腰三角形一个外角是，则它的底角的度数为 或
【分析】根据等腰三角形的一个外角等于，进行讨论可能是底角的外角是，也有可能顶角的外角是，从而求出答案．
【解答】解：①当外角是底角的外角时，底角为：，
②当外角是顶角的外角时，顶角为：，
则底角为：，
底角为或．
故答案为：或．
【点评】此题主要考查了等腰三角形的性质，此题应注意进行分类讨论，特别注意不要忽略一种情况．
14．（4分）如图，在中，，，点在边上，作于、于，若，的面积为，则的长为 ．
【分析】连接，根据列式计算即可得解．
【解答】解：如图，连接，
，，，，的面积为，
，
．
故答案为：．
【点评】本题考查了三角形的面积，作辅助线把分成两个三角形列出方程是解题的关键．
15．（4分）如图，中，，，点在边上运动与，不重合），设，将沿翻折至△处，与边相交于点．若△是等腰三角形，则的值为 或 ．
【分析】由折叠的性质可求，，，分两种情况讨论，由等腰三角形的性质列出等式，即可求解．
【解答】解：将沿翻折至△处，
，，，
，，
当，则，
，
；
当，则，
，
，
故答案为：或．
【点评】本题考查了翻折变换，等腰三角形的性质，折叠的性质，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键．
16．（4分）如图，的两条直角边，，分别以的三边为边作三个正方形．若四个阴影部分面积分别为，，，．则的值为 6 ，的值为 ．
【分析】证明，得出，证明，由全等三角形的性质得出，证出，设，，由勾股定理及正方形的性质可得出，则可得出答案．
【解答】解：由正方形的性质可得，，，，
，
，
，，，
，
，
，
，
，
设，，
，，，
，
，
，
．
故答案为：6；0．
【点评】本题考查勾股定理，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，掌握正方形的性质及全等三角形的判定和性质是解题关键．
三.解答题（本题有7个小题，共66分）
17．（8分）已知：如图，，，，在同一直线上，，．求证：．
【分析】此题可以用等腰三角形的三线合一的性质解决．
【解答】证明：作于，
（已知），
（三线合一），
又（已知），
（三线合一），
，即（等式的性质）．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质；做题中用到了等量减等量差相等得到答案．
18．（8分）在图示的正方形网格纸中，每个小正方形的边长都是1，的三个顶点都在小正方形的顶点处，直线与网格中竖直的线相重合．
（1）在图中，作出关于直线对称的△；
（2）在图中找一点，连接，使平分的面积；
（3）在直线上找一点，使最小；
（4）的面积为 8 ．
【分析】（1）先根据轴对称的性质作出点关于直线的对称点，点关于直线的对称点，点关于直线的对称点，作△即可；
（2）取的中点，连接即可
（3）连接交于点，则点满足条件；
（4）根据正方形网格纸中，每个小正方形的边长都是1，利用图形面积的和差即可计算出的面积．
【解答】解：（1）过点作于，在的延长线上截取，
则点与点关于直线对称，
同理：作出点，，
作△，则△为所求；
（2）取的中点，连接，则平分的面积．
故点为所求；
理由如下：
点为的中点，
，
与等底同高，
与的面积相等，
平分的面积；
（3）连接交于点，则点为所求．
理由如下：
在上任取一点（不与点重合），
连接，，，，
点与点关于直线对称，
为的垂直平分线，
，，
，，
根据“两点之间线段最短”得：，
，
为最小；
（4）正方形网格纸中，每个小正方形的边长都是1，
．
【点评】此题主要考查了轴对称图形及其性质，最短路线等，解答此题的关键是熟练掌握轴对称图形的性质，理解两点之间线段最短，等底（同底）等高（同高）的两个三角形的面积相等．
19．（10分）如图，已知，．
（1）请用直尺和圆规画出边的垂直平分线，垂足为点，交于点，连结．（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）在（1）的前提下，若，，求的长．
【分析】（1）利用基本作图，作的垂直平分线即可；
（2）先根据线段垂直平分线的性质得到，再利用勾股定理得到，然后解方程即可．
【解答】解：（1）如图，为所作；
（2）垂直平分，
，
在中，
，，
，
即，
解得．
【点评】本题考查了作图基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．也考查了线段垂直平分线的性质．
20．（10分）如图，中，是边上的高线，是一条角平分线，它们相交于点．
（1）已知，求的度数；
（2）求与之间满足的数量关系．
【分析】（1）由题意可得，再由三角形的外角性质求得，由角平分线的定义得，最后利用三角形的内角和即可求的度数；
（2）结合（1）进行分析即可．
【解答】解：（1）是边上的高线，
，
是的外角，，
，
平分，
，
；
（2），理由如下：
是边上的高线，
，
是的外角，
，
平分，
，
；
即．
【点评】本题主要考查三角形的外角性质，三角形的内角和定理，解答的关键是结合图形分析清楚各角之间的关系．
21．（10分）如图，是等腰直角三角形，，是的中点，，点，在，上．
（1）求证：．
（2）连结，则、、之间有什么数量关系？请说明理由．
【分析】（1）连结，由，，得，由是的中点，得，，，则，，所以，可证明，得；
（2）由全等三角形的性质得，则，因为，所以．
【解答】（1）证明：连结，
是等腰直角三角形，，
，
，
是的中点，
，，，
，，
，
，
，
在和中，
，
，
．
（2）解：，
理由：，
，
，
，
，
．
【点评】此题重点考查等腰直角三角形的性质、同角的余角相等、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，正确地作出辅助线并且证明是解题的关键．
22．（10分）如图，在中，是边上的高线，是边上的中线，于，，连接．
（1）求证：；
（2）已知，．
①求的面积；
②求的长．
【分析】（1）根据垂直定义可得，再利用直角三角形斜边上的中线性质可得，从而可得，然后再利用等腰三角形的三线合一性质即可解答；
（2）过点作，垂足为，根据已知可得，再利用等腰三角形的三线合一性质可得，然后在中，利用勾股定理求出，最后利用三角形的面积进行计算即可解答；
（3）利用的面积，解答即可．
【解答】（1）证明：，
，
点是的中点，
，
，
，
，
；
（2）解：过点作，垂足为，
，，
，
，，
，
在中，，
，
的面积，
的面积为．
（3），，
，
的面积，
的面积，
，
．
【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线，三角形的面积，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
23．（10分）（1）如图1，在中，，，为边上的中线．求中线的取值范围；（提示：延长到点，使，连接
（2）如图2，在中，，是边的中点，，交于点，交于点，连接，求证：；
（3）如图3，四边形中，，，为中点，、分别在边、上，且，若，，求长．
【分析】（1）延长到点，使，连接，证明，得到，利用三角形的三边关系，求出的取值范围，进而求出的取值范围；
（2）延长至，使，连接，，推出，证明，得到，推出，利用勾股定理，即可得证；
（3）延长至，使，连接，，得到，推出，延长，过作于，得到为含角的直角三角形，求出，的长，再利用勾股定理，求出的长，即可得解．
【解答】解：（1）如图1，延长到点，使，连接，
为边上的中线，
，
，
，
，中，，
，即，
，
，
，
（2）证明：如图2，延长至，使，连接，，
，
是的垂直平分线，
，
由（1）同理得：，
，，
，
，
，
，
；
（3）解：如图3，延长至，使，连接，，延长，过作于，
同理得：，
，，
，，
，
，，
，
，
，，
，
，
．
【点评】本题是四边形综合题，考查全等三角形的判定和性质，三角形的三边关系，勾股定理．熟练掌握倍长中线法，证明三角形全等，是解题的关键．