浙江省杭州市拱墅区大关中学2023—2024学年上学期期中考试八年级数学试卷

这是一份浙江省杭州市拱墅区大关中学2023—2024学年上学期期中考试八年级数学试卷，共25页。试卷主要包含了选择题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）下列图形中，不是轴对称图形的是
A．B．
C．D．
2．（3分）一个三角形的两条边分别为，，则它的第三边可能是
A．B．C．D．
3．（3分）已知，则下列不等式成立的是
A．B．C．D．
4．（3分）如图，已知△中，点，分别是边，的中点．若△的面积等于12，则△的面积等于
A．2B．3C．4D．5
5．（3分）下列命题的逆命题是真命题的是
A．如果，，则B．直角都相等
C．两直线平行，同位角相等D．若，则
6．（3分）下列四个图形中，线段是△的高的图形是
A．B．
C．D．
7．（3分）等腰三角形一个角为，其它两个角的度数是
A．，或，B．，或，
C．，或，D．，或，
8．（3分）学习了勾股定理之后，老师给大家留了一个作业题，小明看了之后，发现三角形各边都不知道，无从下手，心中着急．请你帮助一下小明．如图，△的顶点，，在边长为1的正方形网格的格点上，于点，则的长为
A．B．C．D．
9．（3分）如图，在中，，由图中的尺规作图得到射线，与交于点，点为的中点，连接，若，则的周长为
A．B．4C．D．
10．（3分）如图，为等边的边上的高，，，为上一动点，则的最小值为
A．B．C．D．
二.填空题（本大题共6小题，共24分）
11．（4分）如图，，，，则的长是 ．
12．（4分）“的2倍与8的和不小于”用不等式表示为 ．
13．（4分）如图，以△的三边为直角边分别向外作等腰直角三角形．若，则图中阴影部分的面积为 ．
14．（4分）如图，已知在中，，将一块直角三角板放在上使三角板的两条直角边分别经过、，直角顶点落在的内部，那么 度．
15．（4分）已知：在钝角三角形中，一个锐角的度数是另一个锐角的度数的2倍，则较大的锐角的取值范围是 ．
16．（4分）已知关于的不等式组，现有以下结论：
①若，则是该不等式组的一个解；
②若该不等式组无解，则；
③若该不等式组只有三个整数解，则；
④若原不等式组的解集为时，则．
其中正确的是 （写出所有正确结论的序号）．
三．解答题（本大题共8小题，共66分）
17．（6分）解不等式（组
（1）；
（2）．
18．（6分）已知如图，在和中，，，．
求证：．
19．（6分）如图，与相交于点，，，．说明成立的理由．
20．（8分）（1）如图①，在线段上找点，连结，使平分的面积．
（2）如图②，在线段上找点，连结，使．
（3）如图③，已知线段，是的边上的高，直接写出 ．
21．（8分）如图，在中，，点为的中点，边的垂直平分线交，，于点，，，连接．
（1）求证：为等腰三角形；
（2）若，求的度数．
22．（10分）在中，，，．回答下列问题：
（1）由勾股定理，易知 ；
（2）如图1，用尺规作图的方法作直线交边于，则线段与线段满足的关系是 ，线段的长为 ；
（3）如图2，用尺规作图的方法作射线交边于，则线段的长为 ．
23．（10分）某茶叶店准备从茶农处采购甲、乙两种不同品质的茶叶，已知采购2斤甲型茶叶和1斤乙型茶叶共需要1100元，采购3斤甲型茶叶和2斤乙型茶叶共需要1800元．
（1）甲、乙两种型号的茶叶每斤分别是多少元？
（2）该茶叶店准备用不超过10200元的资金采购甲、乙两种型号的茶叶共30斤，其中购进甲种型号的茶叶的斤数不少于购进乙种茶叶的，采购的斤数需为整数，那么该茶店有哪几种采购方案？
24．（12分）如图，△是等腰直角三角形，是中点，．
（1）求证：△△；
（2）若平分，求证：；
（3）如图2，若是中点，求证：．
2023-2024学年浙江省杭州市拱墅区大关中学八年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10小题，共30分。每小题只有一个选项符合题意）
1．（3分）下列图形中，不是轴对称图形的是
A．B．
C．D．
【分析】根据轴对称图形的定义，依次判断即可．
【解答】解：、、选项中的图形分别沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，是轴对称图形；而选项中的图形不是轴对称图形．
故选：．
【点评】本题主要考查轴对称图形，轴对称图形的判断方法：如果一个图形沿一条直线对折后，直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形叫做轴对称图形．
2．（3分）一个三角形的两条边分别为，，则它的第三边可能是
A．B．C．D．
【分析】首先设第三边长为 ，根据三角形的三边关系可得，再解不等式即可求解．
【解答】解：设第三边长为 ，根据三角形的三边关系可得：
，
解得：．
观察选项，只有选项符合题意．
故选：．
【点评】此题主要考查了三角形的三边关系，关键是掌握第三边的范围是：大于已知两边的差，而小于两边的和．
3．（3分）已知，则下列不等式成立的是
A．B．C．D．
【分析】直接根据不等式的性质进行判断即可．
【解答】解：，
根据不等式的性质1可得：，，故选项成立、选项不成立；
根据不等式的性质2可得：，故选项不成立；
根据不等式的性质3可得：，故选项不成立．
故选：．
【点评】此题考查的是不等式的性质，①不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变，②不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变，③不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．
4．（3分）如图，已知△中，点，分别是边，的中点．若△的面积等于12，则△的面积等于
A．2B．3C．4D．5
【分析】利用三角形中线的性质即可求解．
【解答】解：点是边的中点，△的面积等于12，
，
是的中点，
，
故选：．
【点评】本题考查了三角形的中线的性质，三角形的面积的计算，正确的识别图形是解题的关键．
5．（3分）下列命题的逆命题是真命题的是
A．如果，，则B．直角都相等
C．两直线平行，同位角相等D．若，则
【分析】首先明确各个命题的逆命题，再分别分析各逆命题的题设是否能推出结论，可以利用排除法得出答案．
【解答】解：、如果，则不一定是，，错误；
、如果角相等，但不一定是直角，错误；
、同位角相等，两直线平行，正确；
、如果，可得或，错误；
故选：．
【点评】此题主要考查学生对命题与逆命题的理解及真假命题的判断能力，解题的关键是能够正确的得到原命题的逆命题．
6．（3分）下列四个图形中，线段是△的高的图形是
A．B．
C．D．
【分析】根据三角形高的画法知，过点作边上的高，垂足为，其中线段是△的高，再结合图形进行判断．
【解答】解：线段是△的高的图是选项．
故选：．
【点评】本题主要考查了三角形的高，三角形的高是指从三角形的一个顶点向对边作垂线，连接顶点与垂足之间的线段．熟记定义是解题的关键．
7．（3分）等腰三角形一个角为，其它两个角的度数是
A．，或，B．，或，
C．，或，D．，或，
【分析】先根据等腰三角形的定义，分的内角为顶角和的内角为底角两种情况，再分别根据三角形的内角和定理即可得．
【解答】解：当的内角为这个等腰三角形的顶角，
则另外两个内角均为底角，它们的度数为，
其它两个角的度数是，；
当的内角为这个等腰三角形的底角，
则另两个内角一个为底角，一个为顶角，
底角为，顶角为，
其它两个角的度数是，；
综上，另外两个内角的度数分别是，或，．
故选：．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质、三角形的内角和定理，根据等腰三角形的定义，正确分两种情况讨论是解题关键．
8．（3分）学习了勾股定理之后，老师给大家留了一个作业题，小明看了之后，发现三角形各边都不知道，无从下手，心中着急．请你帮助一下小明．如图，△的顶点，，在边长为1的正方形网格的格点上，于点，则的长为
A．B．C．D．
【分析】由勾股定理求出，再由三角形面积求出即可．
【解答】解：由勾股定理得：，
，
△的面积，
，
故选：．
【点评】本题考查了勾股定理以及三角形面积，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
9．（3分）如图，在中，，由图中的尺规作图得到射线，与交于点，点为的中点，连接，若，则的周长为
A．B．4C．D．
【分析】由尺规作图可知，为的平分线，结合等腰三角形的性质可得，，利用勾股定理得，进而可得，，即可得出答案．
【解答】解：由题意得，为的平分线，
，
，，
由勾股定理得，，
点为的中点，
，，
的周长为，
故选：．
【点评】本题主要考查了等腰三角形的性质，是考试中常见的题型．
10．（3分）如图，为等边的边上的高，，，为上一动点，则的最小值为
A．B．C．D．
【分析】先找到点关于的对称点，与的交点即为点的位置，此时最小即可求解．
【解答】解：如图，为点关于的对称点，连接，过点作于点，
与关于对称，
，
，
，
的最小值为，
为等边三角形，为上的高，，，
，平分，点为中点，，，
，，
△，
，
，
，
，
，
，
的最小值为，
故选：．
【点评】本题考查轴对称最短路径问题，等边三角形的性质等知识点，解题的关键是找到点关于的对称点，将求的最小值转化为求的最小值．
二.填空题（本大题共6小题，共24分）
11．（4分）如图，，，，则的长是 5 ．
【分析】根据全等三角形的对应边相等得到，结合等式的性质推知，结合已知相关线段的长度解答．
【解答】解：，，
．
，
，
，
，
．
故答案为：5．
【点评】此题主要考查了全等三角形的性质，根据全等三角形的性质正确得出是解题关键．
12．（4分）“的2倍与8的和不小于”用不等式表示为 ．
【分析】根据“的2倍与8的和不小于”，即可列出关于的一元一次不等式，此题得解．
【解答】解：根据题意得：．
故答案为：．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键．
13．（4分）如图，以△的三边为直角边分别向外作等腰直角三角形．若，则图中阴影部分的面积为 5 ．
【分析】先用直角三角形的边长表示出阴影部分的面积，再根据勾股定理可得：，进而可将阴影部分的面积求出．
【解答】解：，
，
，
．
故答案为：5．
【点评】本题考查了勾股定理的知识，要求能够运用勾股定理证明三个等腰直角三角形的面积之间的关系．
14．（4分）如图，已知在中，，将一块直角三角板放在上使三角板的两条直角边分别经过、，直角顶点落在的内部，那么 50 度．
【分析】根据三角形内角和定理可得，，进而可求出的度数．
【解答】解：在中，，
，
在中，，
，
；
故答案为：50．
【点评】本题考查三角形外角的性质及三角形的内角和定理，实际上证明了三角形的外角和是，解答的关键是沟通外角和内角的关系．
15．（4分）已知：在钝角三角形中，一个锐角的度数是另一个锐角的度数的2倍，则较大的锐角的取值范围是 ．
【分析】若较大的锐角为度，则较小的锐角为度，那么这两个锐角的和为度，钝角三角形中两锐角的和的取值范围为度．
【解答】解：根据题意列出不等式，
化简后得出
则较大的锐角的取值范围是
【点评】要灵活掌握三角形的内角和，然后根据题意得出所求的答案．
16．（4分）已知关于的不等式组，现有以下结论：
①若，则是该不等式组的一个解；
②若该不等式组无解，则；
③若该不等式组只有三个整数解，则；
④若原不等式组的解集为时，则．
其中正确的是 ①④ （写出所有正确结论的序号）．
【分析】先求出各不等式的解集，再根据各小题的结论解答即可．
【解答】解：①，
它的解集是，
是该不等式组的一个解，故本小题正确；
②不等式组无解，
，故本小题错误；
③该不等式有三个整数解，则，故本小题错误；
④若原不等式组的解集为时，则，故本小题正确；
故答案为：①④．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，熟知解一元一次不等式的基本步骤是解答此题的关键．
三．解答题（本大题共8小题，共66分）
17．（6分）解不等式（组
（1）；
（2）．
【分析】（1）按照解一元一次不等式的步骤进行计算，即可解答；
（2）按照解一元一次不等式组的步骤进行计算，即可解答．
【解答】解：（1），
，
，
；
（2），
解不等式①得：；
解不等式②得：，
原不等式组的解集为：．
【点评】本题考查了解一元一次不等式组，解一元一次不等式，熟练掌握解一元一次不等式的步骤是解题的关键，
18．（6分）已知如图，在和中，，，．
求证：．
【分析】根据，可以得到，然后即可得到和全等，从而可以证明结论成立．
【解答】证明：，
，
，
在和中，
，
，
．
【点评】本题考查全等三角形的判定与性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
19．（6分）如图，与相交于点，，，．说明成立的理由．
【分析】由，，得到和都为直角，在直角三角形和中，由已知的边，再加上公共边，利用可得三角形与三角形全等，根据全等三角形的对应角相等，可得，最后根据等角对等边可得证．
【解答】证明：，（已知），
（垂直定义），
在和中，
，
，
（全等三角形的对应角相等），
（等角对等边）．
【点评】此题考查了全等三角形的判定与性质，垂直定义，以及等腰三角形的判定，直角三角形是特殊的三角形，其全等的方法可以用来判定，即直角边及斜边对应相等的两直角三角形全等，在证明边相等或角相等时，常常构造三角形全等来解决问题．
20．（8分）（1）如图①，在线段上找点，连结，使平分的面积．
（2）如图②，在线段上找点，连结，使．
（3）如图③，已知线段，是的边上的高，直接写出 3 ．
【分析】（2）根据三角形的中线平分三角形的面积得：延长边上的中线与的交点即为所求；
（2）根据得：边长上高的延长线与的交点即为所求；
（3）根据可知：方格中小正方形的边长为1，然后根据勾股定理即可求出．
【解答】（1）设的中点为，作射线交于点，
则点为所求作的点，如图1所示．
理由如下：
点为的中点，
，
和等底同高，
和的面积相等，
平分的面积，
即平分的面积．
（2）过点作，垂足为，的延长线交于点，
则点为所求的点，如图②所示．
（3）．理由如下，如图③所示：
，
方格中小正方形的边长为1，
，
又，
，
．
故答案为：3．
【点评】此题主要考查了利用方格纸进行作图，勾股定理的应用，解答此题的关键是正确掌握方格纸的特征，理解勾股定理，及三角形的中线平分三角形的面积．
21．（8分）如图，在中，，点为的中点，边的垂直平分线交，，于点，，，连接．
（1）求证：为等腰三角形；
（2）若，求的度数．
【分析】（1）连接，如图，利用等腰三角形的性质得到，则垂直平分，根据线段垂直平分线的性质得到，，所以，从而得到结论；
（2）利用等腰三角形的性质得到平分，则，再利用得到，接着根据互余计算出，然后根据三角形外角性质计算的度数．
【解答】（1）证明：连接，如图，
，点为的中点，
，
垂直平分，
，
垂直平分，
，
，
为等腰三角形；
（2）解：，，
平分，
，
，
，
，
，
．
【点评】本题考查了等腰三角形的判定与性质：等腰三角形提供了好多相等的线段和相等的角，判定三角形是等腰三角形是证明线段相等、角相等的重要手段．也考查了线段垂直平分线的性质．
22．（10分）在中，，，．回答下列问题：
（1）由勾股定理，易知 10 ；
（2）如图1，用尺规作图的方法作直线交边于，则线段与线段满足的关系是 ，线段的长为 ；
（3）如图2，用尺规作图的方法作射线交边于，则线段的长为 ．
【分析】（1）由勾股定理可得出答案；
（2）证出，设，则，由勾股定理可得出答案；
（3）由作图可知，平分，过点作于点，求出，设，则，由勾股定理可得出答案．
【解答】解：（1），，，
，
故答案为：10；
（2）由作图可知，直线是的垂直平分线，
，
设，则，
在中，，
，
，
，
故答案为：，；
（3）由作图可知，平分，
过点作于点，
，
在和中，
，
，
，
，
设，则，
，
，
．
故答案为：3．
【点评】本题考查了勾股定理，线段垂直平分线的性质，角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
23．（10分）某茶叶店准备从茶农处采购甲、乙两种不同品质的茶叶，已知采购2斤甲型茶叶和1斤乙型茶叶共需要1100元，采购3斤甲型茶叶和2斤乙型茶叶共需要1800元．
（1）甲、乙两种型号的茶叶每斤分别是多少元？
（2）该茶叶店准备用不超过10200元的资金采购甲、乙两种型号的茶叶共30斤，其中购进甲种型号的茶叶的斤数不少于购进乙种茶叶的，采购的斤数需为整数，那么该茶店有哪几种采购方案？
【分析】（1）设甲型号的茶叶每斤是元，乙型号的茶叶每斤是元，根据采购2斤甲型茶叶和1斤乙型茶叶共需要1100元，采购3斤甲型茶叶和2斤乙型茶叶共需要1800元，列出方程组，求解即可；
（2）设采购甲型号的茶叶斤，则采购乙型号的茶叶斤，根据该茶叶店准备用不超过10200元的资金采购甲、乙两种型号的茶叶共30斤，其中购进甲种型号的茶叶的斤数不少于购进乙种茶叶的，列出一元一次不等式组，解不等式组，即可解决问题．
【解答】解：（1）设甲型号的茶叶每斤是元，乙型号的茶叶每斤是元，
由题意得：，
解得：，
答：甲型号的茶叶每斤是400元，乙型号的茶叶每斤是300元；
（2）设采购甲型号的茶叶斤，则采购乙型号的茶叶斤，
由题意得：，
解得：，
为正整数，
，11，12，
该茶店有3种采购方案：
①采购甲型号的茶叶10斤，乙型号的茶叶20斤；
②采购甲型号的茶叶11斤，乙型号的茶叶19斤；
③采购甲型号的茶叶12斤，乙型号的茶叶18斤．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找出数量关系，正确列出一元一次不等式组．
24．（12分）如图，△是等腰直角三角形，是中点，．
（1）求证：△△；
（2）若平分，求证：；
（3）如图2，若是中点，求证：．
【分析】（1）证出，根据可证明△△；
（2）证明△△，得出，证明△△，得出，，由（1）知△△，得出，则可得出结论；
（3）过点作，交的延长线于点，证明△△，得出，．证明△△，得出，由勾股定理证出，则可得出结论．
【解答】（1）证明：△是等腰直角三角形，
，，
为的中点，
，，
，
，
，
，
，
△△；
（2）证明：平分，
，
，，
△△，
，
垂直平分，
，
，
△△，
，
，
，
由（1）知△△，
，
；
（3）证明：过点作，交的延长线于点，
，，，
△△，
，．
为的中点，
，
，
，
，
△△，
，
，
在△中，，
，
．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理等知识，熟练掌握以上知识是解题的关键．