山东省新泰市弘文中学2024-2025学年高三上学期开学考试数学试题

这是一份山东省新泰市弘文中学2024-2025学年高三上学期开学考试数学试题，共7页。试卷主要包含了曲线与x轴围成区域的面积为，已知为函数的零点,则，下列求导运算正确的是等内容，欢迎下载使用。
A.1B.2C.D.
2．曲线与x轴围成区域的面积为( )
A.B.C.D.
3．定义在上的函数的导函数为,若,且,则不等式的解集为( )
A.B.C.D.
4．已知双曲线的左焦点为,为坐标原点,若在的右支上存在关于轴对称的两点P,Q,使得为正三角形,且,则C的离心率为( )
A.B.C.D.
5．已知为函数的零点,则( )
A.1B.2C.3D.4
6．已知函数及其导函数在定义域均为R且是偶函数,其函数图象为不间断曲线且,则不等式的解集为( )
A.B.C.D.
7．过双曲线的左焦点作直线与它的两条渐近线分别交于A,B两点,且,,O是坐标原点,则双曲线的离心率是( )
A.2B.C.D.3
8．若直线与曲线有公共点，则的取值范围是( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9．下列求导运算正确的是( )
A.B.
C.D.
10．若存在实数b使得方程有四个不等的实根,则mn的值可能为( )
A.B.2025C.0D.-6
11．已知双曲线，过原点的直线，分别交双曲线于A，C和B，D四点（A，B，C，D四点逆时针排列），且两直线斜率之积为，则下列结论正确的是( )
A.四边形一定是平行四边形B.四边形可能为菱形
C.的中点可能为D.的值可能为
三、填空题
12．已知是公差为2的等差数列，且，则________.
13．过直线和的交点,且与直线垂直的直线方程是__________.
四、双空题
14．已知直线，则直线定点坐标为_____，点到直线l的距离的取值范围_____
五、解答题
15．分别根据下列条件求圆的标准方程：
(1)圆心为，且与x轴相切；
(2)过三点,,.
16．分别求符合下列条件的椭圆的标准方程：
(1)过点，且与椭圆有相同的焦点．
(2)经过两点，．
17．已知是各项均为正数的等比数列,,.
(1)求的通项公式;
(2)设,求数列的前n项和.
18．已知以点为圆心的圆与______，过点的动直线l与圆A相交于M，N两点.从①直线相切；②圆关于直线对称.这2个条件中任选一个，补充在上面问题的横线上并回答下列问题.
(1)求圆A的方程；
(2)当时，求直线l的方程.
19．设双曲线（，）的实轴长为，焦点到渐近线的距离为.
（1）求双曲线的方程；
（2）已知直线与双曲线的右支交于M，N两点，且在双曲线的右支上存在点D，使，求t的值及点D的坐标.
参考答案
1．答案：D
解析：由题意知,直线恒过定点,
直线恒过定点,如图所示,
过作的垂线段PH,垂足为H,
那么必有,当且仅当Q与H重合时取等号,
从而PH的最大值为,
即点P到直线距离的最大值是.
故选:D.
2．答案：B
解析：曲线的方程化为,即,
所以这条曲线与x轴围成的区域是一个半径的半圆,其面积为.
故选：B.
3．答案：B
解析：依题意,令,求导得,则在上单调递减,
由,得,不等式,
则或,即或,解得或,
所以不等式的解集为.
故选:B
4．答案：D
解析：设双曲线的焦距为,右焦点为,直线交于点M,连接,
因为为正三角形,,所以M为的中点,所以,
故,易知,所以,,
由双曲线的定义知,
即,得.

故选：D.
5．答案：B
解析：由得,即,即,
因为,所以,所以为方程的根,
令,则,所以在上单调递增,
又,所以,
即,即,
故选：B.
6．答案：C
解析：由,得
则当时,得,
,
则当时,,得函数在上单调递增,
因为,所以,
由于是偶函数,则,
而函数在上单调递增,得,
得,
得,
故选:C.
7．答案：A
解析：由,得双曲线的一条渐近线的倾斜角为,所以,又,得,所以.
8．答案：A
解析：将曲线整理可得,,
因此曲线表示的是以为圆心，半径为2的下半圆，
若直线与曲线有公共点，如下图所示：
当直线在直线m的位置，即时，直线与曲线有一个公共点；
当直线在直线n的位置，即直线与曲线相切，
此时，解得，（舍）；
只有直线位于两直线m,n之间时，满足题意，即.
故选：A
9．答案：CD
解析：对于A选项,,A错误;
对于B选项,,B错误;
对于C选项,,C正确;
对于D选项,,D正确.
故选:CD.
10．答案：AD
解析：令,则,
令,且该函数至少存在三个变号零点,且,
当时,
在,上,,即递增,
在上,,即递减,
若,则,知至多有一个变号零点;
故;
当时,
在,上,,即递增,
在上,,即递减,
若,则,知至多有一个变号零点;
故;
当时,,即在定义域上递增,
此时,至多有一个变号零点,不符合题意;
综上,只能为负数.
故选：AD
11．答案：AD
解析：由双曲线的中心对称性可知，点A，B分别关于原点与C，D对称，故，，
所以四边形一定是平行四边形，而直线，斜率之积为，则与不垂直，所以四边形不可能为菱形，A正确，B错误；
设，，则，，
两式作差得，
若的中点为，可得，
代入上式，求得，故的方程为，
联立方程组，整理得，可得,，
则，此时，故C错误；
当点A位于第一象限，点B位于第二象限，
设直线的斜率为k，则直线的斜率为，结合双曲线渐近线，
易知，，可得，
又因为，所以的取值范围为；
当点A位于第四象限，点B位于第一象限，同理，可得的取值范围为.
综上的取值范围为，所以D正确.
故选：AD.
12．答案：24
解析：是公差为2的等差数列，则，解得，
故.
故答案为：24.
13．答案：
解析：联立,解得,故直线的交点坐标为,
设与直线垂直的直线方程是.将交点的坐标代入该方程,得,解得.所以所求直线方程为.故答案为:
14．答案：；
解析：直线，当时，，所以定点坐标为.
当直线l过P时，距离为0，
当直线l与垂直时，距离最大，且最大值为，
所以点到直线l的距离的取值范围是.
故答案为：；.
15．答案：(1)；
(2)
解析：（1）因为圆与x轴相切，且圆心为，
所以圆的半径为，
所以以为圆心，为半径的圆的标准方程为.
（2）不妨设圆的方程为，
由题意将，，代入圆的方程得，
解方程组得，，，
所以过三点，，的圆的方程为，
将其化为标准形式得.
16．答案：(1)
(2)
解析：(1)因为所求的椭圆与椭圆的焦点相同，所以其焦点在x轴上，且．
设所求椭圆的标准方程为．
因为所求椭圆过点，所以有①
又，②
由①②解得．
故所求椭圆的标准方程为．
(2)设椭圆方程为，且，在椭圆上，
所以，则椭圆方程.
17．答案：(1);
(2).
解析：(1)因为数列是各项均为正数的等比数列,,,
所以令数列的公比为q,,,
所以,解得(舍去)或4,
所以数列是首项为2、公比为4的等比数列,.
(2)因为,所以,,,
所以数列是首项为1、公差为2的等差数列,.
18．答案：(1)；
(2)或
解析：（1）选①：因为圆A与直线相切，
所以圆A的半径为，
因此圆A的方程为；
选②：因为圆A与圆关于直线对称，
所以两个圆的半径相等，因此圆A的半径为，
所以圆A的方程为.
（2）两种选择圆A的方程都是，
当过点的动直线l不存在斜率时，直线方程为，
把代入中，得，
显然，符合题意，
当过点的动直线l存在斜率时，设为k，
直线方程为，
圆心到该直线的距离为：，
因为，所以有，
即方程为：
综上所述：直线l的方程为或.
19．答案：（1）
（2），点D的坐标为
解析：（1）由题意知，所以该双曲线的一条渐近线的方程为，
即，所以，
又，解得，所以双曲线的方程为.
（2）设，，，则，.
将直线方程与双曲线方程联立得，，
则，.
又点D在双曲线的右支上，所以解得
由，得，
所以，点D的坐标为.