2024七年级数学上册第3章勾股定理综合素质评价试卷（附答案鲁教版五四制）

这是一份2024七年级数学上册第3章勾股定理综合素质评价试卷（附答案鲁教版五四制），共9页。

第三章综合素质评价一、选择题(每题3分，共36分)1．[新考向数学文化]勾股定理是“人类最伟大的十个科学发现之一”．我国汉代的数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出了对勾股定理的证明，他用来证明勾股定理的图案被称为“赵爽弦图”．2002年在北京召开的国际数学家大会的会标的设计基础就是“赵爽弦图”．下列图案中是“赵爽弦图”的是(　　) A B C D2．在直角三角形中，若两直角边长分别为6和8，则斜边长为(　　)A．7 B．8 C．9 D．103．在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别是a，b，c，若∠A＋∠C＝90°，则下列等式中成立的是(　　)A．a2＋b2＝c2 B．b2＋c2＝a2 C．a2＋c2＝b2 D．2c2－a2＝b24．[2024·枣庄台儿庄区月考]下列各组数是勾股数的是(　　)A．3，4，7 B．1．5，2，2．5 C．5，12，13 D．1，3，55．如图，分别以直角三角形的三边为一边向外作正方形A，B，C．已知SA＝64，SB＝225，那么正方形C的边长是(　　)(第5题)A．15 B．16 C．17 D．186．[新考向身边的数学]海面上有一艘快艇欲驶向正东方向24km远的A处，快艇的速度为50km/h，由于水流原因，半小时后快艇到达位于A处正南方向的B处，则此时快艇与A处的距离为(　　)A．25km B．24km C．7km D．1km7．在△ABC中，若∠B＝38°，BC2－AC2＝AB2，则∠C的度数为(　　)A．38° B．52° C．62° D．90°8．如图，在4×4的正方形网格中，点A，B，C都在格点上，则∠ABC＝(　　)(第8题)A．30° B．40° C．45° D．60°9．如图是一个长方体盒子，其长、宽、高分别为4，2，9，将一根细线的两头绕盒子的侧面分别绑在点A，B处，不计线头，细线的最短长度为(　　)(第9题)A．12 B．15 C．18 D．2110． [新考向折叠法]如图，将边长为8cm的正方形纸片ABCD折叠，使点D落在BC边的中点E处，点A落在点F处，折痕为MN，则线段CN的长是(　　)(第10题)A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm11．已知在Rt△ABC中，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边，∠C＝90°，若a＋b＝14，c＝10，则Rt△ABC的面积是(　　)A．24 B．36 C．48 D．6012．已知直角三角形的三边a，b，c满足c＞a＞b，分别以a，b，c为边作三个正方形，把两个较小的正方形放置在最大的正方形内，如图，设三个正方形无重叠部分的面积为S1，均重叠部分的面积为S2，则(　　)(第12题)A．S1＞S2 B．S1＜S2C．S1＝S2 D．S1，S2大小无法确定二、填空题(每题3分，共18分)13．[2023·枣庄月考]在Rt△ABC中，斜边AB＝2，则AB2＋AC2＋BC2＝　　　　．14．[新考向身边的数学]一架飞机在空中水平飞行，某一时刻刚好飞到一个男孩头顶的正上方4000m处，过了10s，该飞机距离这个男孩头顶5000m，则该飞机平均每小时飞行　　　　km．15．若△ABC的三边a，b，c满足(a－3)2＋｜5－c｜＝－(b－4)2，则△ABC的形状为　　　　．16．[情景题生活应用]在高5m，长13m的一段台阶上铺上地毯，台阶的剖面图如图所示，则地毯的长度至少是　　　　m．(第16题)17．如图所示，这个长方体的宽AN＝5cm，长ND＝10cm，CD上的点B距地面的高度BD＝8cm．地面上A处的一只蚂蚁要爬到B处寻找食物，需要爬行的最短路程是　　　　cm．(第17题)18．[2023·济南期末]如图，已知在△ABC中，∠ABC＝30°，BC＝2，以AC为边向外作等边三角形ACD，连接BD交AC于点E，其中BD＝3，则AB的长为　　　　．(第18题)三、解答题(共66分)19．(8分)在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝5，AB＝BC＋1，求Rt△ABC的面积．20．(8分)[情景题生活应用]将穿好彩旗的旗杆竖直固定在操场上，此时旗杆的高度为400cm，彩旗完全展开时的尺寸是如图①所示的长方形，其中∠B＝90°，AB＝90cm，BC＝120cm，在无风的天气里，彩旗自然下垂，如图②所示．求彩旗自然下垂时最低处离地面的高度h．21．(8分)[2023·泰安期中新考向数学文化]《西江月》中描述：平地秋千未起，踏板一尺离地，送行二步恰竿齐，五尺板高离地…．翻译成现代文为：如图，秋千OA静止的时候，踏板离地高一尺(AC＝1尺)，将它往前推进两步(EA'＝10尺)，此时踏板升高离地五尺(A'D＝5尺)，求秋千绳索OA的长度．22．(10分)[2023·济南济阳区月考新考向知识情境化]如图，学校的长方形操场ADCE的边上有一块空地(阴影部分)需要绿化，连接AC，测出AD＝4，AC＝5，BC＝12，AB＝13，求需要绿化部分的面积．23．(10分)[2023·枣庄薛城区月考情景题生活应用]如图，某社区在相邻两楼之间修建一个上面是以AB为直径的半圆，下面是长方形的仿古通道，已知AD＝2．3米，CD＝2米．现有一辆卡车装满家具后，高2．5米，宽1．6米，请问这辆送家具的卡车能否通过这个通道？请说出你的理由．24．(10分)如图，在△ABC中，D是边BC的中点，E是边AC的中点，连接AD，BE．(1)若CD＝8，CE＝6，AB＝20，试说明：∠C＝90°；(2)若∠C＝90°，AD＝13，AE＝6，求△ABC的面积．25．(12分)一个直立的火柴盒在桌面上倒下，启迪人们发现了勾股定理的一种新的证明方法．如图，火柴盒的一个侧面ABCD(是一个长方形)倒下到AB'C'D'的位置，连接AC，AC'，CC'，设AB＝a，BC＝b，AC＝c．(1)试用与a，b有关的代数式表示梯形BCC'D'的面积；(2)试用与a，b，c有关的代数式分别表示△ABC，△AD'C'，△AC'C的面积；(3)由(1)和(2)的结论证明勾股定理：a2＋b2＝c2．答案一、1． B　2． D　3． C　4． C　5． C　6． C　7． B　8． C9． B　【点拨】将长方体盒子的侧面展开，如图所示，连接AB'，则AB'的长即为所用的最短细线长，由题意知AA'＝4＋2＋4＋2＝12，A'B'＝AB＝9，由勾股定理得AB'2＝AA'2＋A'B'2＝122＋92＝225，则AB'＝15，即细线的最短长度为15．10． A　【点拨】由折叠知DN＝EN．设CN＝xcm，则EN＝(8－x)cm，由题意知EC＝12BC＝4cm．在Rt△ECN中，EN2＝EC2＋CN2，即(8－x)2＝42＋x2，解得x＝3，即CN＝3cm．故选A．11． A　【点拨】在Rt△ABC中，c2＝a2＋b2＝100．因为a＋b＝14，所以(a＋b)2＝196，即a2＋b2＋2ab＝196，所以ab＝48，所以S△ABC＝12ab＝12×48＝24．12． C　【点拨】因为直角三角形的三边a，b，c满足c＞a＞b，所以该直角三角形的斜边为c，所以c2＝a2＋b2，由题意知S1＝c2－a2－b2＋b(a＋b－c)＝ab＋b2－bc，S2＝b(a＋b－c)＝ab＋b2－bc，所以S1＝S2，故选C．二、13．814．1080　【点拨】如图，由题意知AB＝4000m，AC＝5000m，∠B＝90°．在Rt△ABC中，BC2＝AC2－AB2＝50002－40002＝9000000，所以BC＝3000m，所以该飞机平均每小时飞行3000×1100010×13600＝1080(km)．15．直角三角形16．17　【点拨】由题意知这段台阶的水平长度的平方为132－52＝122，故水平长度为12m，由平移可知地毯的长度等于台阶的高度和水平长度的和，所以地毯的长度为12＋5＝17(m)．17．17　【点拨】如图所示，连接AB，则AB的长即为A处到B处的最短路程．在Rt△ABD中，因为AD＝AN＋DN＝5＋10＝15(cm)，BD＝8cm，所以AB2＝AD2＋BD2＝152＋82＝172，所以AB＝17cm．所以需要爬行的最短路程是17cm．18．5　【点拨】如图，以AB为边向外作等边三角形ABF，连接CF，因为△ABF，△ACD是等边三角形，所以AF＝AB＝FB，AC＝AD，∠FBA＝∠FAB＝∠CAD＝60°，所以∠FAB＋∠BAC＝∠CAD＋∠BAC，即∠FAC＝∠BAD．在△ACF和△ADB中，FA＝BA，∠FAC＝∠BAD，AC＝AD，所以△ACF≌△ADB(SAS)，所以FC＝BD＝3，因为∠ABC＝30°，所以∠FBC＝∠FBA＋∠ABC＝90°．根据勾股定理得FB＝FC2－BC2＝5，所以AB＝5．三、19．【解】设BC＝x，则AB＝x＋1．因为在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，所以AB2＝AC2＋BC2，所以(x＋1)2＝52＋x2，解得x＝12，即BC＝12，所以S△ABC＝12AC·BC＝12×5×12＝30．20．【解】易知彩旗自然下垂时最低处离地面的高度h就是旗杆的高度减去彩旗的对角线的长，连接AC，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝90cm，BC＝120cm，所以AC2＝AB2＋BC2＝902＋1202＝1502，所以AC＝150cm，所以h＝400－150＝250(cm)．21．【解】设OA＝OA'＝x尺，由题意知EC＝A'D＝5尺，AC＝1尺，所以EA＝EC－AC＝5－1＝4(尺)，OE＝OA－AE＝(x－4)尺，在Rt△OEA'中，OE＝(x－4)尺，OA'＝x尺，EA'＝10尺，根据勾股定理得x2＝(x－4)2＋102，整理得8x＝116，解得x＝14．5．答：秋千绳索OA的长度为14．5尺．22．【解】在Rt△ACD中，AD＝4，AC＝5，则由勾股定理可得CD＝3．在△ABC中，AC＝5，BC＝12，AB＝13，所以AC2＋BC2＝25＋144＝169，AB2＝132＝169，所以AC2＋BC2＝AB2，所以∠ACB＝90°，所以需要绿化部分的面积＝S△ABC－S△ACD＝12×5×12－12×3×4＝24．答：需要绿化部分的面积为24．23．【解】这辆卡车能通过这个通道．理由：因为卡车宽1．6米，所以要求卡车能否通过，只需比较距通道中轴线0．8米处的通道高度与车高即可．如图，在Rt△OEF中，由勾股定理得EF2＝OE2－OF2＝12－0．82＝0．36，所以EF＝0．6米．所以EH＝EF＋FH＝0．6＋2．3＝2．9(米)．因为2．9＞2．5，所以这辆卡车能通过这个通道．24．【解】(1)因为在△ABC中，D是边BC的中点，E是边AC的中点，CD＝8，CE＝6，所以CB＝2CD＝16，CA＝2CE＝12，易知CB2＋CA2＝162＋122＝400，AB2＝202＝400，所以CB2＋CA2＝AB2，所以∠C＝90°．(2)因为在△ABC中，E为边AC的中点，AE＝6，所以AC＝2AE＝12，在Rt△ACD中，∠C＝90°，AD＝13，AC＝12，由勾股定理可得CD2＋AC2＝AD2，所以CD＝5，所以CB＝2CD＝10，所以S△ABC＝12AC·CB＝12×12×10＝60．25．【解】(1)梯形BCC'D'的面积＝12(a＋b)2．(2)由题意知∠CAD＝∠C'AD'，∠CAC'＝∠CAD＋∠B'AC'，∠B'AC'＋∠C'AD'＝90°，所以∠CAC'＝90°，所以△ACC'为直角三角形．易知S△ACC'＝12c2，S△ABC＝S△AD'C'＝12ab．(3)由题图可知S梯形BCC'D'＝S△ACC'＋S△ABC＋S△AD'C'，所以12(a＋b)2＝12c2＋2×12ab．整理得a2＋b2＝c2．