四川省新津县兴义中学2019-2020学年八年级（上）月考数学试卷含解析

这是一份四川省新津县兴义中学2019-2020学年八年级（上）月考数学试卷含解析，共25页。试卷主要包含了选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．下列各组数中，相等的是（ ）
A．|﹣5|与﹣5B．﹣2与C．﹣3与﹣D．﹣4与
2．以下列各组数据为边长能组成直角三角形的是（ ）
A．2、3、5B．4、5、6C．6、8、10D．1、1、1
3．的整数部分是（ ）
A．5B．6C．7D．8
4．立方根等于它本身的数是（ ）
A．0和1B．0和±1C．1D．0
5．下列说法正确的有（ ）
①无限小数都是无理数；
②无理数都是带根号的数
③＝a
④实数与数轴上的点是一一对应的
A．3个B．2个C．1个D．0个
6．函数y＝有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x≥0B．x≠4C．x＞4D．x≥0且x≠4
7．一个带盖的长方形盒子的长，宽，高分别是8cm，8cm，12cm，已知蚂蚁想从盒底的A点爬到盒顶的B点，则蚂蚁要爬行的最短行程是（ ）
A．28cmB．4C．4D．20cm
8．如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，D是线段BC上的动点（不含端点B、C）．若线段AD长为正整数，则点D的个数共有（ ）
A．5个B．4个C．3个D．2个
9．如图，矩形ABCD中，AB＝3，AD＝1，AB在数轴上，若以点A为圆心，对角线AC的长为半径作弧交数轴于点M，则点M表示的数为（ ）
A．2B．C．D．
10．△ABC中的三边分别是m2﹣1，2m，m2+1（m＞1），那么（ ）
A．△ABC是直角三角形，且斜边长为m2+1
B．△ABC是直均三角形，且斜边长为2m
C．△ABC是直角三角形，且斜边长为m2﹣1
D．△ABC不是直角三角形
二、填空题（每小题3分，共12分）
11．4的平方根是 ；8的立方根是 ．
12．若+y2﹣4y+4＝0，且x，y的值分别为 ．
13．已知Rt△ABC一直角边为8，斜边为10，则S△ABC＝
14．如图所示，一架梯子AB长2.5米，顶端A靠墙AC上，这时梯子下端B与墙角C距离为0.7米，梯子滑动后停在DE的位置上，测得AE长为0.9米，则梯子底端点B移动的距离为了 米．
三.计算题每小题16分，共16分）
15．计算：
（1）
（2）﹣52
解方程：
（3）2（x+1）2＝8
（4）3（2x﹣1）2＝﹣81
四.解答题（共42分）
16．若x＝，y＝
（1）求x+y的值；
（2）求x2﹣xy+y2的值．
17．等腰三角形△ABC中AB＝AC，三角形的面积为12cm2，且底边上的高为4cm，求△ABC的周长．
18．如图，将一张矩形纸片ABCD折叠，使两个顶点A、C重合，折痕为FG，若AB＝4，BC＝8，求△ABF的面积．
19．阅读与计算：请阅读以下材料，并完成相应的任务．
斐波那契（约1170﹣1250）是意大利数学家，他研究了一列数，这列数非常奇妙，被称为斐波那契数列（按照一定顺序排列着的一列数称为数列）．后来人们在研究它的过程中，发现了许多意想不到的结果，在实际生活中，很多花朵（如梅花、飞燕草、万寿菊等）的瓣数恰是斐波那契数列中的数．斐波那契数列还有很多有趣的性质，在实际生活中也有广泛的应用．
斐波那契数列中的第n个数可以用[﹣]表示（其中，n≥1）．这是用无理数表示有理数的一个范例．
任务：请根据以上材料，通过计算求出斐波那契数列中的第1个数和第2个数．
20．如图，C为线段BD上一动点，分别过点B、D作AB⊥BD，ED⊥BD，连接AC、EC，已知AB＝5，DE＝1，BD＝8，设CD＝x
（1）用含x的代数式表示AC+CE的长；
（2）请问点C满足什么条件时，AC+CE的值最小？
（3）根据（2）中的规律和结论，请构图求出代数式+的最小值．
B卷(共50分)
一.填空题（每小题4分，共20分）
21．的平方根是±，3的算平方根是，则a﹣b＝
22．已知最简二次根式与是同类二次根式，且a为正整数，则a＝
23．如图，已知AB＝16，DA⊥AB于点A，CB⊥AB于点B，DA＝10，CB＝2，AB上有一点E使DE+EC最短，那么最短距离为 ．
24．观察下列各式：，，，，…．
请你将猜想到的规律用含自然数n（n≥1）的代数式表示出来是 ．
25．如图，在△ABC中，AB＝AC＝2，点P在BC上；若BC边上有2015个不同的点P1，P2，…
P2018…且相应的有m1＝AP12+BP1•P1C1，m2＝AP22+BP2•P2C2，…，m2018＝AP20182+BP2018•P2018C2018，则m1+m2+…+m2018＝ ．
二、解答题（共30分）
26．已知+（）2＝2000，y＝++，求y﹣x的平方根．
27．四边形ABCD和四边形CEFG均是正方形，连接BG，DE．
（1）试判断BG与DE的关系；
（2）当AB＝3，CE＝2时，求BE2+DG2的值．
28．已知：△ABC是等腰直角三角形，动点P在斜边AB所在的直线上，以PC为直角边作等腰直角三角形PCQ，其中∠PCQ＝90°，探究并解决下列问题：
如图①，若点P在线段AB上，且AC＝，PA＝，则：
①线段PB＝ ，PC＝ ；
②猜想：PA2，PB2，PQ2三者之间的数量关系为 ．
（2）如图②，若点P在AB的延长线上，在（1）中所猜想的结论仍然成立，请你利用图②给出证明过程；
（3）若动点P满足＝4，求的值（提示：请利用备用图进行探求）．
参考答案与试题解析
A卷
一．选择题（共10小题）
1．下列各组数中，相等的是（ ）
A．|﹣5|与﹣5B．﹣2与C．﹣3与﹣D．﹣4与
【分析】根据算术平方根，立方根和绝对值的定义，化简后判断．
【解答】解：A，|﹣5|＝5，不正确；
B，＝﹣2，正确；
C，﹣3，不正确；
D，＝4≠﹣4，不正确．
故选：B．
2．以下列各组数据为边长能组成直角三角形的是（ ）
A．2、3、5B．4、5、6C．6、8、10D．1、1、1
【分析】利用三角形的三边关系定理以及勾股定理的逆定理即可作出判断．
【解答】解：A、∵2+3＝5，
∴不能构成三角形．
故选项错误；
B、42+52＝16+25＝41≠62，
故不能构成直角三角形，故选项错误；
C、62+82＝102，故可以构成直角三角形，故选项正确；
D、是等边三角形，一定不是直角三角形，故选项错误．
故选：C．
3．的整数部分是（ ）
A．5B．6C．7D．8
【分析】估算数的大小解答．
【解答】解：∵6＜＜7，
∴的整数部分是6，
故选：B．
4．立方根等于它本身的数是（ ）
A．0和1B．0和±1C．1D．0
【分析】利用立方根的定义即可求解．
【解答】解：立方根等于它本身的数有：0和±1．
故选：B．
5．下列说法正确的有（ ）
①无限小数都是无理数；
②无理数都是带根号的数
③＝a
④实数与数轴上的点是一一对应的
A．3个B．2个C．1个D．0个
【分析】根据实数的性质作出判断．
【解答】解：①无限不循环小数都是无理数，故错误；
②无理数不都是带根号的数，例如π，故错误；
③＝|a|，故错误；
④实数与数轴上的点是一一对应的，故正确．
故选：C．
6．函数y＝有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x≥0B．x≠4C．x＞4D．x≥0且x≠4
【分析】根据被开方数大于等于0，分母不等于0列式计算即可得解．
【解答】解：由题意，得
x≥0且x﹣4≠0，
解得x≥0且x≠4，
故选：D．
7．一个带盖的长方形盒子的长，宽，高分别是8cm，8cm，12cm，已知蚂蚁想从盒底的A点爬到盒顶的B点，则蚂蚁要爬行的最短行程是（ ）
A．28cmB．4C．4D．20cm
【分析】把立体图形转化为平面图形，利用勾股定理解决问题即可．
【解答】解：有两种情形：
如图1所示：
AB＝＝20（cm），
如图2所示：
AB＝＝4（cm）．
∵20＜4
故爬行的最短路程是20cm．
故选：D．
8．如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，D是线段BC上的动点（不含端点B、C）．若线段AD长为正整数，则点D的个数共有（ ）
A．5个B．4个C．3个D．2个
【分析】首先过A作AE⊥BC，当D与E重合时，AD最短，首先利用等腰三角形的性质可得BE＝EC，进而可得BE的长，利用勾股定理计算出AE长，然后可得AD的取值范围，进而可得答案．
【解答】解：过A作AE⊥BC，
∵AB＝AC，
∴EC＝BE＝BC＝4，
∴AE＝＝3，
∵D是线段BC上的动点（不含端点B、C）．
∴3≤AD＜5，
∴AD＝3或4，
∵线段AD长为正整数，
∴AD的可以有三条，长为4，3，4，
∴点D的个数共有3个，
故选：C．
9．如图，矩形ABCD中，AB＝3，AD＝1，AB在数轴上，若以点A为圆心，对角线AC的长为半径作弧交数轴于点M，则点M表示的数为（ ）
A．2B．C．D．
【分析】首先根据勾股定理计算出AC的长，进而得到AM的长，再根据A点表示﹣1，可得M点表示的数．
【解答】解：AC＝＝＝，
则AM＝，
∵A点表示﹣1，
∴M点表示的数为：﹣1，
故选：C．
10．△ABC中的三边分别是m2﹣1，2m，m2+1（m＞1），那么（ ）
A．△ABC是直角三角形，且斜边长为m2+1
B．△ABC是直均三角形，且斜边长为2m
C．△ABC是直角三角形，且斜边长为m2﹣1
D．△ABC不是直角三角形
【分析】根据勾股定理的逆定理判定即可．
【解答】解：∵△ABC中的三边分别是m2﹣1，2m，m2+1（m＞1），
又∵（m2﹣1）2+（2m）2＝（m2+1）2，
∴△ABC是直角三角形，斜边为m2+1．
故选：A．
二．填空题（共4小题）
11．4的平方根是 ±2 ；8的立方根是 2 ．
【分析】依据平方根立方根的定义回答即可．
【解答】解：∵（±2）2＝4，
∴4的平方根是±2．
∵23＝8，
∴8的立方根是2．
故答案为：±2，2．
12．若+y2﹣4y+4＝0，且x，y的值分别为 2，2 ．
【分析】已知等式左边利用完全平方公式变形后，利用非负数的性质求出x与y的值．
【解答】解：∵+y2﹣4y+4＝+（y﹣2）2＝0，
∴x﹣y＝0，y﹣2＝0，
解得：x＝y＝2，
故答案为：2，2．
13．已知Rt△ABC一直角边为8，斜边为10，则S△ABC＝ 24
【分析】已知一直角边的长及周长，则可以设另一直角边为未知数，根据勾股定理可求得其值，再根据三角形的面积公式即可求得其面积．
【解答】解：由题意知，Rt△ABC的另一直角边长为：＝6，
所以 S△ABC＝×8×6＝24．
故答案是：24．
14．如图所示，一架梯子AB长2.5米，顶端A靠墙AC上，这时梯子下端B与墙角C距离为0.7米，梯子滑动后停在DE的位置上，测得AE长为0.9米，则梯子底端点B移动的距离为了 1.3 米．
【分析】由题意知，AB＝DE＝2.5米，CB＝0.7米，BD＝2.4米，则在直角△ABC中，根据AB，BC可以求AC，在直角△CDE中，可以求CE，则BD＝DC﹣BD即为题目要求的距离．
【解答】解：在直角△ABC中，已知AB＝2.5米，BC＝0.7米，
∴AC＝＝＝2.4米，
在直角△CDE中，已知CE＝CE+EA＝2.4米，DE＝AB＝2.5米，AE＝0.9米，
∴CE＝AC﹣AE＝1.5米，
∴CD＝＝＝2米，
∴BD＝2米﹣0.7米＝1.3米
故答案为：1.3．
三．解答题
15．计算：
（1）
（2）﹣52
解方程：
（3）2（x+1）2＝8
（4）3（2x﹣1）2＝﹣81
【分析】计算（1）先化简二次根式，再计算加减可得；
（2）先计算乘法，再计算加法可得答案；
解方程：（1）（2）利用直接开平方法求解可得．
【解答】解：计算（1）原式＝2﹣6+＝﹣6；
（2）原式＝﹣52+2＝﹣50；
解方程：（1）（x+1）2＝4，
则x+1＝2或x+1＝﹣2，
解得x＝1或x＝﹣1；
（2）（2x﹣1）2＝﹣27＜0，
则此方程无实数根．
16．若x＝，y＝
（1）求x+y的值；
（2）求x2﹣xy+y2的值．
【分析】先将x、y进行化简，然后分别代入（1）x+y与（2）x2﹣xy+y2计算．
【解答】解：x＝＝，y＝＝
（1）x+y＝＝2；
（2）x2﹣xy+y2
＝（x﹣y）2+xy
＝（）2+（）（）
＝4+1
＝5．
17．等腰三角形△ABC中AB＝AC，三角形的面积为12cm2，且底边上的高为4cm，求△ABC的周长．
【分析】由三角形的面积公式求得BD＝6，然后在直角△ABD中由勾股定理求得AB的长度，易得答案．
【解答】解：如图，作BC边上的高线AD，则AD＝4cm，
∵△ABC的面积为12cm2，
∴BC•AD＝12，即×BC×4＝12．则BC＝6．
∵AB＝AC，
∴BD＝CD＝BC＝3．
在直角△ABD中，由勾股定理得到：AB＝＝＝5．
则△ABC的周长＝2AB+BC＝10+6＝16．即△ABC的周长是16．
18．如图，将一张矩形纸片ABCD折叠，使两个顶点A、C重合，折痕为FG，若AB＝4，BC＝8，求△ABF的面积．
【分析】根据折叠的性质和垂直平分线的性质求出AF＝CF，根据勾股定理得出关于CF的方程，求出CF，得出BF，再根据面积公式求出即可．
【解答】解：∵将一矩形纸片ABCD折叠，使两个顶点A，C重合，折痕为FG，
∴FG是AC的垂直平分线，
∴AF＝CF，
设AF＝FC＝x，
在Rt△ABF中，由勾股定理得：AB2+BF2＝AF2，
即42+（8﹣x）2＝x2，
解得：x＝5，
即CF＝5，BF＝8﹣5＝3，
∴△ABF的面积为×3×4＝6．
19．阅读与计算：请阅读以下材料，并完成相应的任务．
斐波那契（约1170﹣1250）是意大利数学家，他研究了一列数，这列数非常奇妙，被称为斐波那契数列（按照一定顺序排列着的一列数称为数列）．后来人们在研究它的过程中，发现了许多意想不到的结果，在实际生活中，很多花朵（如梅花、飞燕草、万寿菊等）的瓣数恰是斐波那契数列中的数．斐波那契数列还有很多有趣的性质，在实际生活中也有广泛的应用．
斐波那契数列中的第n个数可以用[﹣]表示（其中，n≥1）．这是用无理数表示有理数的一个范例．
任务：请根据以上材料，通过计算求出斐波那契数列中的第1个数和第2个数．
【分析】分别把1、2代入式子化简求得答案即可．
【解答】解：第1个数，当n＝1时，
[﹣]
＝（﹣）
＝×
＝1．
第2个数，当n＝2时，
[﹣]
＝[（）2﹣（）2]
＝×（+）（﹣）
＝×1×
＝1．
20．如图，C为线段BD上一动点，分别过点B、D作AB⊥BD，ED⊥BD，连接AC、EC，已知AB＝5，DE＝1，BD＝8，设CD＝x
（1）用含x的代数式表示AC+CE的长；
（2）请问点C满足什么条件时，AC+CE的值最小？
（3）根据（2）中的规律和结论，请构图求出代数式+的最小值．
【分析】（1）由于△ABC和△CDE都是直角三角形，故AC，CE可由勾股定理求得；
（2）若点C不在AE的连线上，根据三角形中任意两边之和＞第三边知，AC+CE＞AE，故当A、C、E三点共线时，AC+CE的值最小；
（3）由（1）（2）的结果可作BD＝12，过点B作AB⊥BD，过点D作ED⊥BD，使AB＝2，ED＝3，连接AE交BD于点C，则AE的长即为代数式+的最小值，然后构造矩形AFDB，Rt△AFE，利用矩形的直角三角形的性质可求得AE的值．
【解答】解：（1）AC+CE＝+；
（2）当A、C、E三点共线时，AC+CE的值最小；
（3）如右图所示，作BD＝12，过点B作AB⊥BD，过点D作ED⊥BD，使AB＝2，ED＝3，
连接AE交BD于点C，设BC＝x，则AE的长即为代数+的最小值．
过点A作AF∥BD交ED的延长线于点F，得矩形ABDF，
则AB＝DF＝2，AF＝BD＝12，EF＝ED+DF＝3+2＝5，
所以AE＝＝＝13，
即+的最小值为13．
故代数式+的最小值为13．
B卷
一．填空题（共5小题）
21．的平方根是±，3的算平方根是，则a﹣b＝ 8
【分析】根据平方根与算术平方根的意义求出a、b的值，然后代入计算．
【解答】解：∵的平方根是±，3的算平方根是，
∴＝3，＝，
∴a＝9，b＝1，
∴a﹣b＝9﹣1＝8，
故答案为8．
22．已知最简二次根式与是同类二次根式，且a为正整数，则a＝ 5
【分析】根据题意，它们的被开方数相同，列出方程求解．
【解答】解：∵＝2，最简二次根式与是同类二次根式，
∴7﹣a＝2，
解得a＝5．
故答案是：5．
23．如图，已知AB＝16，DA⊥AB于点A，CB⊥AB于点B，DA＝10，CB＝2，AB上有一点E使DE+EC最短，那么最短距离为 20 ．
【分析】作点C关于AB的对称点R，连接DR交AB于P，连接PC，此时ED+EC的值最小，利用勾股定理求出DR即可．
【解答】解：作点C关于AB的对称点R，连接DR交AB于P，连接PC，此时ED+EC的值最小．
作DT⊥BC交BC的延长线于T．则四边形ADTB是矩形，
∴AD＝BT＝10，AB＝DT＝16，
在Rt△DTR中，∵∠T＝90°，DT＝16，RT＝12，
∴DR＝＝＝20，
∴DE+EC的最小值为20，
故答案为20．
24．观察下列各式：，，，，…．
请你将猜想到的规律用含自然数n（n≥1）的代数式表示出来是 ＝（2n+1） ．
【分析】分别观察前面的几组数据，先观察根号下的整数可得依次是4，8、12，16…，分数依次是，，…，结果部分根号外面的数依次是3、5、7、9…从而可得出规律．
【解答】解：观察各式可得出规律：＝（2n+1）．
故答案为：＝（2n+1）．
25．如图，在△ABC中，AB＝AC＝2，点P在BC上；若BC边上有2015个不同的点P1，P2，…
P2018…且相应的有m1＝AP12+BP1•P1C1，m2＝AP22+BP2•P2C2，…，m2018＝AP20182+BP2018•P2018C2018，则m1+m2+…+m2018＝ 8072 ．
【分析】根据勾股定理，可得AB2＝AD2+BD2，AP12＝AD2+P1D2，根据平方差公式，可得AB2﹣AP12＝BD2﹣P1D2＝（BD+P1D）（BD﹣P1D）＝P1C•BP1，根据等式的性质，可得m2＝AB2＝AP22+BP2•P2C＝4，根据有理数的运算，可得答案．
【解答】解：如图所示：
过点A作AD⊥BC于D，
∵AB＝AC，
∴BD＝CD．
在Rt△ABD中，AB2＝AD2+BD2①
在Rt△APD中，AP12＝AD2+P1D2②
①﹣②得：AB2﹣AP12＝BD2﹣P1D2＝（BD+P1D）（BD﹣P1D）＝P1C•BP1，
∴m1＝AB2＝AP12+BP1•P1C＝4，
同理：m2＝AB2＝AP22+BP2•P2C＝4，
m3＝AB2＝AP32+BP3•P3C
…
m1+m2+…+m2018＝4×2018＝8072，
故答案为：8072．
二．解答题（共4小题）
26．已知+（）2＝2000，y＝++，求y﹣x的平方根．
【分析】先根据被开方数大于等于0列不等式求出x的取值范围，再根据二次根式的性质去掉根号，然后解方程求出x的值，根据被开方数大于等于0列不等式求出m的值，然后求出y的值，最后根据平方根的定义解答．
【解答】解：由题意得，998﹣x≥0，
解得x≤998，
所以，1000﹣x+998﹣x＝2000，
解得x＝﹣1，
由题意得，m﹣1≥0且1﹣m≥0，
解得m≥1且m≤1，
所以，m＝1，
y＝＝3，
所以，y﹣x＝3﹣（﹣1）＝3+1＝4，
∵（±2）2＝4，
∴4的平方根是±2，
即y﹣x的平方根是±2．
27．四边形ABCD和四边形CEFG均是正方形，连接BG，DE．
（1）试判断BG与DE的关系；
（2）当AB＝3，CE＝2时，求BE2+DG2的值．
【分析】（1）证明Rt△BCG≌Rt△DCE即可说明BG和DE的位置关系和数量关系；
（2）根据正方形的性质以及线段和差可求BE＝5，DG＝1，则BE2+DG2的值可求．
【解答】解：（1）延长BG交DE于H点，
∵四边形ABCD是正方形，四边形CEFG是正方形，
∴DC＝BC，CG＝CE，∠BCG＝∠DCE＝90°，
∴Rt△BCG≌Rt△DCE（HL）．
∴BG＝DE，∠GBC＝∠EDC．
∵∠BGC+∠GBC＝90°，∠BGC＝∠DGH，
∴∠DGH+∠EDC＝90°，
∴∠DHG＝90°．
∴BG⊥DE．
∴BG与DE的关系是BG＝DE且BG⊥DE；
（2）∵四边形ABCD是正方形，
∴BC＝AB＝DC＝3，
∴BE＝BC+CE＝3+2＝5．
∵四边形CEFG是正方形，
∴CG＝CE＝2，
∴DG＝DC﹣CG＝3﹣2＝1．
∴BE2+DG2＝25+1＝26．
28．已知：△ABC是等腰直角三角形，动点P在斜边AB所在的直线上，以PC为直角边作等腰直角三角形PCQ，其中∠PCQ＝90°，探究并解决下列问题：
如图①，若点P在线段AB上，且AC＝，PA＝，则：
①线段PB＝ ，PC＝ ；
②猜想：PA2，PB2，PQ2三者之间的数量关系为 PA2+PB2＝PQ2 ．
（2）如图②，若点P在AB的延长线上，在（1）中所猜想的结论仍然成立，请你利用图②给出证明过程；
（3）若动点P满足＝4，求的值（提示：请利用备用图进行探求）．
【分析】（1）①在等腰直角三角形ACB中，由勾股定理先求得AB的长，然后根据PA的长，可求得PB的长，再利用SAS证明△APC≌△BQC，得出BQ＝AP＝，∠CBQ＝∠A＝45°，那么△PBQ为直角三角形，依据勾股定理求出PQ＝．那么PC＝；
②由①知△PBQ为直角三角形，据此可得PB2+BQ2＝PQ2，结合BQ＝AP可得答案；
（2）过点C作CD⊥AB，垂足为D，则AP＝（AD+PD）＝（DC+PD），PB＝（DP﹣BD）＝（PD﹣DC），可证明AP2+BP2＝2PC2，因为在Rt△PCQ中，PQ2＝2CP2，所以可得出AP2+BP2＝PQ2的结论；
（3）分点P在线段AB和线段AB延长线上这两种情况，设PA＝4x，PB＝x，据此表示出AB、CD、BD的长，继而利用勾股定理求出PC的长度，根据等腰直角三角形的性质表示出PQ、AC的长度，从而得出答案．
【解答】解：（1）①如图①．连接BQ，
∵△ABC是等腰直角三角形，AC＝，
∴AB＝＝＝2，
∵PA＝，
∴PB＝，
∵△ABC和△PCQ均为等腰直角三角形，
∴AC＝BC，∠ACP＝∠BCQ，PC＝CQ，
∴△APC≌△BQC（SAS）．
∴BQ＝AP＝，∠CBQ＝∠A＝45°．
∴△PBQ为直角三角形．
∴PQ＝．
∴PC＝PQ＝．
故答案为：，；
②由①知△PBQ为直角三角形，
∴PB2+BQ2＝PQ2，
又∵BQ＝AP，
∴PA2+PB2＝PQ2，
故答案为：PA2+PB2＝PQ2．
（2）（1）中所猜想的结论仍然成立，
如图②：过点C作CD⊥AB，垂足为D．
∵△ACB为等腰直角三角形，CD⊥AB，
∴CD＝AD＝DB．
∵AP2＝（AD+PD）2＝（DC+PD）2＝CD2+2DC•PD+PD2，
PB2＝（DP﹣BD）2＝（PD﹣DC）2＝DC2﹣2DC•PD+PD2，
∴AP2+BP2＝2CD2+2PD2，
∵在Rt△PCD中，由勾股定理可知：PC2＝DC2+PD2，
∴AP2+BP2＝2PC2．
∵△CPQ为等腰直角三角形，
∴2PC2＝PQ2．
∴AP2+BP2＝PQ2；
（3）如图③：过点C作CD⊥AB，垂足为D．
①当点P在线段AB上时，
∵＝4，
∴设PA＝4x，PB＝x，
则AB＝5x，AD＝CD＝AB＝x，
∴PD＝PA﹣AD＝4x﹣x＝x，
∴PC＝＝＝x，
∵△ABC和△PCQ均为等腰直角三角形，
∴PQ＝PC＝x，AC＝AB＝x，
∴＝＝；
②如图④，当点P位于AB延长线上时．
设PA＝4x，PB＝x，
则AB＝3x，
∴AD＝BD＝CD＝AB＝x，
则PD＝PB+BD＝x，
∴PC＝＝＝x，
∵△ABC和△PCQ均为等腰直角三角形，
∴PQ＝PC＝x，AC＝AB＝x，
∴＝＝；
综上，的值为或．