天津市南开大学附属中学2024-2025学年九年级上学期第一次月考数学试卷

这是一份天津市南开大学附属中学2024-2025学年九年级上学期第一次月考数学试卷，共14页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、单选题
1．下列方程：①； ②； ③；④； ⑤中，一元二次方程的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
2．已知x1，x2是一元二次方程x2﹣6x﹣5＝0的两个根，则x1+x2的值是（ ）
A．6B．﹣6C．5D．﹣5
3．一元二次方程x2﹣6x﹣5=0配方可变形为（ ）
A．（x﹣3）2=14B．（x﹣3）2=4C．（x+3）2=14D．（x+3）2=4
4．若关于x的方程有一个根为则另一个根为( )
A．-2B．2C．4D．
5．已知关于x的一元二次方程x2+2x﹣（m﹣3）=0有实数根，则m的取值范围是（ ）
A．m＞2B．m＜2C．m≥2D．m≤2
6．若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则一次函数的图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
7．抛物线y=（x+2）2﹣3可以由抛物线y=x2平移得到，则下列平移过程正确的是（ ）
A．先向左平移2个单位，再向上平移3个单位B．先向左平移2个单位，再向下平移3个单位
C．先向右平移2个单位，再向下平移3个单位D．先向右平移2个单位，再向上平移3个单位
8．由二次函数，可知（ ）
A．其图象的开口向下B．其图象的对称轴为直线x＝﹣3
C．其最小值为1D．当x＜3时，y随x的增大而增大
9．若二次函数 在时，y随x增大而减小，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
10．已知二次函数的图象上有三个点，，，则的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
11．为宣传“扫黑除恶”专项行动，社区准备制作一幅宣传版面，喷绘时为了美观，要在矩形图案四周外围增加一圈等宽的白边，已知图案的长为2米，宽为1米，图案面积占整幅宣传版面面积的90%，若设白边的宽为x米，则根据题意可列出方程（ ）
A．90%×（2+x）（1+x）=2×1B．90%×（2+2x）（1+2x）=2×1
C．90%×（2﹣2x）（1﹣2x）=2×1D．（2+2x）（1+2x）=2×1×90%
12．抛物线与x轴交于点，则该抛物线与x轴另一交点的坐标是 （ ）
A．B．C．D．
二、填空题
13．若关于x的方程（a+2）x|a|﹣3x+2=0是一元二次方程，则a的值为 ．
14．当 时二次函数 有最 值为
15．某校去年对实验器材的投资为2万元，预计今、明两年的投资总额为12万元，求该校这两年在器材投资商的平均增长率是多少？ 若设该校这两年在实验器材投资上的平均增长率是x，根据题意可列出的方程
16．已知：，则
17．定义新运算：m,n是实数，m*n=m（2n﹣1），若 m，n是方程 2﹣x+k=0（k＜0）的两根，则 m*m﹣n*n= ．
三、解答题
18．解方程
(1)；
(2)；
(3)（配方法）
(4)．
19．已知关于x的一元二次方程（a+c）x2+2bx+（a﹣c）=0，其中a、b、c分别为△ABC三边的长．
（1）如果x=﹣1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由；
（2）如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由；
（3）如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根．
四、填空题
20．已知关于x的方程x2+（2k+1）x+k2-2=0的两实根的平方和等于11，则k的值为 ．
五、解答题
21．已知抛物线的对称轴为直线，顶点A在直线上，且抛物线经过点．
(1)求抛物线解析式．
(2)求抛物线与x轴、y轴交点坐标．
22．商场某种商品平均每天可销售30件，每件盈利50元． 为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施． 经调查发现，每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出 2件．设每件商品降价x元． 据此规律，请回答：
（1）商场日销售量增加 件，每件商品盈利 元（用含x的代数式表示）；
（2）在上述条件不变、销售正常情况下，每件商品降价多少元时，商场日盈利可达到2100元？
23．如图，矩形中，，，点从点沿边以的速度向点移动，同时点从点沿边以的速度向点移动，当、两点中有一个点到终点时，则另一个点也停止运动．当的面积比的面积大时，求点运动的时间．
参考答案：
1．B
【分析】本题考查的是一元二次方程的定义，熟知只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程是解答此题的关键．据此逐个判断即可．
【详解】解：①是一元二次方程；
②当时，是一元二次方程；
③由得，不是一元二次方程；
④是一元二次方程；
⑤不是整式方程，故不是一元二次方程，
故①④是一元二次方程，共2个，
故选：B．
2．A
【分析】根据韦达定理x1+x2=-即可解题.
【详解】由韦达定理可知x1+x2=-=6
故选A.
【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系,属于简单题,熟悉韦达定理是解题关键.
3．A
【分析】根据配方法解一元二次方程的步骤计算即可.
【详解】解：移项得：x2-6x=5，
两边同时加上9得：x2-6x+9=14，
即（x-3）2=14，
故选A．
【点睛】本题考查配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法的步骤是关键.
4．D
【分析】将x=2代入方程求出参数m,再重新解方程即可.
【详解】∵方程x2+mx﹣6=0有一个根为2．
将x=2代入方程得,m=1,
∴原方程为x2+x﹣6=0
解得：x1=-3,x2=2
∴方程另一个根是-3,
故选D,
【点睛】本题考查了一元二次方程的求解,属于简单题,代入求m的值是解题关键.
5．C
【分析】一元二次方程有实根,即△,解不等式即可.
【详解】∵x2+2x﹣（m﹣3）=0有实数根，
∴△=4-4·（m-3）
解得：m≥2,
故选C.
【点睛】本题考查了一元二次方程根的个数问题,属于简单题,会求△是解题关键.
6．B
【详解】解：∵方程有两个不相等的实数根，
∴，
解得：，即异号，
当时，一次函数的图象过一三四象限，
当时，一次函数的图象过一二四象限，
故选：B．
7．B
【详解】解：将的图象向左平移2个单位后得函数的函数图象，
将的图象向下平移3个单位得到的函数图象，
∴平移过程为：先向左平移2个单位，再向下平移3个单位．
故选：B．
8．C
【分析】由解析式可知a＞0，对称轴为x=3，最小值为0，在对称轴的左侧y随x的增大而减小，可得出答案．
【详解】由二次函数，可知：
A：∵a＞0，其图象的开口向上，故此选项错误；
B．∵其图象的对称轴为直线x＝3，故此选项错误；
C．其最小值为1，故此选项正确；
D．当x＜3时，y随x的增大而减小，故此选项错误．
故选：C．
【点睛】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的开口方向、对称轴、顶点坐标、最大值及对称轴两侧的增减性是解题的关键．属于基础题目．
9．C
【分析】本题考查的是二次函数的性质，熟知二次函数的增减性是解答此题的关键．先利用二次函数的性质求出抛物线的对称轴为直线，则当时，的值随值的增大而减小，由于时，的值随值的增大而减小，于是得到．
【详解】解：抛物线的对称轴为直线，
，
抛物线开口向上，
当时，的值随值的增大而减小，
而时，的值随值的增大而减小，
，
故选：．
10．D
【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征．据抛物线的对称性，增减性，即可得出的大小关系．
【详解】解：二次函数的图象开口向上，对称轴直线为，
∴当时，函数值随的增大而增大，
关于对称轴的对称点为，
∵
∴，
故选：D．
11．B
【分析】设白边的宽为x米，则整幅宣传版面的长为（2+2x）米、宽为（1+2x）米，然后根据矩形的面积公式列出方程即可.
【详解】设白边的宽为x米，则整幅宣传版面的长为（2+2x）米、宽为（1+2x）米，
根据题意得：90%（2+2x）（1+2x）=2×1．
故选B．
【点睛】本题主要考查一元二次方程的面积问题，需要注意的是图案加上四周的白边才构成了宣传版面.
12．B
【分析】本题考查二次函数的图象与性质，根据二次函数的对称性求解即可．
【详解】解：由题意，抛物线的对称轴为直线，
∵抛物线与x轴交于点，
∴该抛物线与x轴另一交点的坐标是，
故选：B．
13．2．
【分析】根据一元二次方程的定义即可解题.
【详解】∵方程（a+2）x|a|﹣3x+2=0是一元二次方程，
∴a+20,且|a|=2,
解得：a=2.
【点睛】本题考查了一元二次方程的定义,属于简单题,熟悉一元二次方程的定义是解题关键.
14． 大
【分析】本题考查二次函数的性质，本题的关键是要知道二次函数的性质：当a大于时，开口向上，在顶点取最小值，当a小于时，开口向下，在顶点取最大值，从而我们得到答案．
【详解】解：∵二次函数的顶点坐标为，
又∵，函数图象开口向下，
故当时，函数有最大值，此最值是．
故答案为：，大，．
15．
【分析】本题考查列一元二次方程解决实际问题．设该校这两年在实验器材投资上的平均增长率是x，则今年的投资额为万元，明年的投资额为万元，根据“预计今、明两年的投资总额为12万元”即可列出方程．
【详解】解：设设该校这两年在实验器材投资上的平均增长率是x，根据题意，得
．
故答案为：
16．5
【分析】本题考查平方的非负性，解一元二次方程，掌握换元法是解题的关键．设，则已知的式子可化为，求解后根据进行取舍，即可解答．
【详解】解：设，
∵，
∴，
即，
解得：，，
∵，
∴，
∴，即．
故答案为：5
17．0．
【分析】根据新定义将m*m﹣n*n整理成常用运算,将m、n分别代入方程2x2﹣x+k=0中,观察整理出2m2-m=-k,2n2-n=-k,即可解题.
【详解】由题可知m*m﹣n*n=(2m2-m)-(2n2-n),
∵m，n是方程2x2﹣x+k=0（k＜0）的两根，将m,n代入得,
2m2-m+k=0, 2n2-n+k=0,
∴2m2-m=-k,2n2-n=-k
∴m*m﹣n*n=(2m2-m)-(2n2-n)=-k+k=0
【点睛】本题考查了新定义运算和一元二次方程的解,正确理解题意,将新定义运算化为常用运算是解题关键.
18．(1)，
(2)，
(3)，
(4)，
【分析】本题主要考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．
（1）用因式分解法解一元二次方程即可；
（2）用因式分解法解一元二次方程即可；
（3）用配方法解一元二次方程即可；
（4）先将方程化为一般形式，然后再用因式分解法解一元二次方程即可．
【详解】（1）解：，
因式分解得：，
∴或，
解得：，．
（2）解：，
因式分解得：，
∴或，
解得：，．
（3）解：，
二次项系数化为1得：，
配方得：，
即，
开平方得：，
解得：，．
（4）解: ，
化为一般形式为：，
因式分解得：，
∴或，
解得：，．
19．(1) △ABC是等腰三角形；(2)△ABC是直角三角形；(3) x1=0，x2=﹣1．
【分析】（1）直接将x=﹣1代入得出关于a，b的等式，进而得出a=b，即可判断△ABC的形状；
（2）利用根的判别式进而得出关于a，b，c的等式，进而判断△ABC的形状；
（3）利用△ABC是等边三角形，则a=b=c，进而代入方程求出即可．
【详解】（1）△ABC是等腰三角形；
理由：∵x=﹣1是方程的根，
∴（a+c）×（﹣1）2﹣2b+（a﹣c）=0，
∴a+c﹣2b+a﹣c=0，
∴a﹣b=0，
∴a=b，
∴△ABC是等腰三角形；
（2）∵方程有两个相等的实数根，
∴（2b）2﹣4（a+c）（a﹣c）=0，
∴4b2﹣4a2+4c2=0，
∴a2=b2+c2，
∴△ABC是直角三角形；
（3）当△ABC是等边三角形，∴（a+c）x2+2bx+（a﹣c）=0，可整理为：
2ax2+2ax=0，
∴x2+x=0，
解得：x1=0，x2=﹣1．
20．k=1
【分析】由题意设方程x2+（2k+1）x+k2-2=0两根为x1，x2，得x1+x2=-（2k+1），x1·x2=k2-2，然后再根据两实根的平方和等于11，从而解出k值．
【详解】解：设方程x2+（2k+1）x+k2-2=0两根为x1，x2
得x1+x2=-（2k+1），x1x2=k2-2，
△=（2k+1）2-4×（k2-2）=4k+9＞0，
∴k＞，
∵x12+x22=11，
∴（x1+x2）2-2x1x2=11，
∴（2k+1）2-2（k2-2）=11，
解得k=1或-3；
∵k＞，
故答案为k=1．
21．(1)抛物线的解析式为：；
(2)抛物线与x轴的交点坐标为，，与y轴的交点坐标为．
【分析】本题考查的是待定系数法求函数解析式，抛物线和坐标轴的交点坐标．
（1）用待定系数法即可求得抛物线的解析式；
（2）令和，分别解方程，即可求解．
【详解】（1）解：∵顶点A在直线上，且对称轴为直线，
∴，
∴设抛物线的解析式为，
将代入上式得：，解得：，
故抛物线的解析式为：；
（2）解：令，，
令，即，
解得：，，
∴抛物线与x轴的交点坐标为，，与y轴的交点坐标为．
22．（1） 2x，，（2）每件商品降价20元，商场日盈利可达2100元．
【详解】（1） 2x，．
(2)解：由题意，得(30＋2x)(50－x)＝2 100
解之得x1＝15，x2＝20．
∵该商场为尽快减少库存，降价越多越吸引顾客．
∴x＝20．
答：每件商品降价20元，商场日盈利可达2 100元．
23．当的面积比的面积大时，点经过了秒．
【分析】设运动时间为秒，根据题意，列方程求解即可．
【详解】解：设当的面积比的面积大时，点运动了秒．
根据题意得：，
化简得：，
解得：，
∵当时，，
∴舍去．
答：当的面积比的面积大时，点经过了秒．
【点睛】此题考查了一元二次方程的应用，涉及了三角形面积的计算，理解题意找到等量关系列出方程是解题的关键．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
B
A
A
D
C
B
B
C
C
D
题号
11
12








答案
B
B