天津市滨海新区经济技术开发区第一中学2024-—2025学年九年级上学期第一次月考数学试卷

这是一份天津市滨海新区经济技术开发区第一中学2024-—2025学年九年级上学期第一次月考数学试卷，共27页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、单选题
1．“垃圾分类，利国利民”，在2019年7月1日起上海开始正式实施垃圾分类，到2020年底先行先试的46个重点城市，要基本建成垃圾分类处理系统．以下四类垃圾分类标志的图形，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．可回收物B．有害垃圾C．厨余垃圾D．其他垃圾
2．已知点与点是关于原点O的对称点，则（ ）
A．B．C．D．
3．下列说法中，不正确的是（ ）．
A．直径是最长的弦B．同圆中，所有的半径都相等
C．圆既是轴对称图形又是中心对称图形D．长度相等的弧是等弧
4．下列函数解析式中，一定为二次函数的是（ ）
A．B．C．D．
5．抛物线与x轴的交点个数是( )
A．0B．1C．2D．3
6．不透明的袋子中装有红球1个、绿球1个、白球2个，除颜色外无其他差别．随机摸出一个小球后不放回，再摸出一个球，则两次都摸到白球的概率是（ ）
A．B．C．D．
7．抛物线的顶点坐标是（ ）
A．B．C．D．
8．若是一元二次方程的两个根，则的值是（ ）
A．4B．C．3D．
9．二次函数y＝ax2与一次函数y＝ax+a在同一坐标系中的图象大致为( )
A．B．
C．D．
10．若为二次函数的图象上的三点，则的大小关系是（ ）
A．B．C．D．
11．如图，在中，，将绕点A逆时针旋转得到，使点落在边AB上，连接．则下列结论一定正确的是（ ）
A．B．C．D．
12．如图，二次函数（）的图象与轴正半轴相交于、两点，与轴相交于点，对称轴为直线，且，则下列结论：①；②；③；④；⑤关于的方程（）有一个根为，其中正确的结论个数有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
二、填空题
13．不透明袋子中装有个黄球、个黑球和个红球，这些球除颜色外无其它差别，小明从袋子中随机取出个小球，则它是红球的概率是 ．
14．已知函数的图象，它的图象向 平移 个单位，可以得到抛物线．
15．用一根长为20米的绳子，围成一个矩形，设矩形一边长x米，则面积 ，围成的矩形的最大面积是 ．
16．如图，已知抛物线，则关于的方程的解是 ．

17．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=2，点D为线段AB的中点，将线段BC绕点B顺时针旋转90°，得到线段BE，连接DE，则DE最大值是 ．\

18．在下列网格中，每个小正方形的边长都是1，点均为格点．
（1）的面积是 ．
（2）将绕点C顺时针旋转得，点B的对应点E落在所在的网格线上．请用无刻度直尺画出，并简要说明点的位置是如何找到的 ．

三、解答题
19．解方程：
(1)；
(2)．
20．如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点．
(1)点A坐标为______，点B坐标为______；
(2)抛物线顶点坐标为______．
(3)当x满足______时，；
(4)若二次函数的图象与直线有两个交点，则k的取值范围是______．
21．如图，AB是的弦，垂直于弦于点D．
(1)若，，求的半径．
(2)若，，求的半径．
22．如图，已知正方形的边长为3，E、F分别是AB、边上的点，且，将绕点D按逆时针方向旋转得到．
(1)求证：；
(2)当时，求的长．
23．某水果商店销售一种进价为40元/千克的优质水果，若售价为50元/千克，则一个月可售出500千克；若售价在50元/千克的基础上每涨价1元，则月销售量就减少10千克．
(1)当售价为55元/千克时，每月销售水果______千克．
(2)当每千克水果涨价x元时，每千克的利润为______元，销量为______千克．
(3)当每千克水果售价为多少元时，获得的月利润最大？
24．在平面直角坐标系中，已知O为坐标原点，点，以点A为旋转中心，把顺时针旋转，得．
(1)如图①，当旋转后满足轴时，则点C的坐标______，点D的坐标______．
(2)如图②，当旋转后点C恰好落在x轴正半轴上时，求点D的坐标。
(3)在（2）的条件下，边OB上的一点P旋转后的对应点为，当取得最小值时，求点P的坐标（直接写出结果即可）
25．如图，抛物线与x轴相交于点A、B，与y轴相交于点C，其中，．
(1)求该抛物线的函数表达式；
(2)点P（m，n）（0＜m＜6）在抛物线上，当m取何值时，△PBC的面积最大？并求出△PBC面积的最大值；
(3)在（2）中△PBC面积取最大值的条件下，点M是抛物线的对称轴上一点，在抛物线上确定一点N，使得以A、P、M、N为顶点的四边形是平行四边形，写出所有符合条件的点N的坐标，并写出求解点N的坐标的其中一种情况的过程．
参考答案：
1．B
【分析】由题意根据轴对称图形和中心对称图形的定义对各选项进行判断，即可得出答案．
【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
B、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项符合题意；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
D、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
故选：B.
【点睛】本题考查中心对称图形与轴对称图形的概念，注意掌握判断轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合；判断中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
2．A
【分析】本题主要考查了关于原点对称点的特点，根据关于原点对称的点的横坐标与纵坐标都互为相反数解答．
【详解】解：∵点与点是关于原点O的对称点，
∴，，
∴，
故选：A．
3．D
【分析】根据弦的定义、中心对称图形和轴对称图形定义、等弧定义可得答案．
【详解】解：A、直径是最长的弦，原说法正确，不符合题意；
B、同圆中，所有的半径都相等，原说法正确，不符合题意；
C、圆既是轴对称图形又是中心对称图形，原说法正确，不符合题意；
D、同圆或等圆中长度相等的弧是等弧，原说法错误，符合题意；
故选D．
【点睛】此题主要考查了圆的认识，中心对称图形和轴对称图形的定义，掌握在同圆或等圆中，能重合的弧叫等弧，是解题的关键．
4．A
【分析】根据二次函数的定义逐个判断即可．
【详解】根据二次函数的定义，可得答案．
解：A．是二次函数，故本选项符合题意；
B．是二次函数，故本选项不符合题意；
C．是一次函数，故本选项不符合题意；
D．右边是分式，不是整式，y不是x的二次函数，故本选项不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查了二次函数的定义，能熟记二次函数的定义是解此题的关键，注意：形如（a．b．c为常数，）的函数，叫二次函数．
5．C
【分析】通过的根的判别式，可得到解的个数，于是可判断抛物线与x轴的交点个数．
【详解】解：当y=0时，，
∴
即方程有两个不相等的实数根，
∴断抛物线与x轴有两个交点，
故选C.
【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程，用根的判别式即可判断.
6．B
【分析】先画树状图展示所有12种等可能的结果数，再找出两次都摸到白球的结果数，然后根据概率公式求解．
【详解】画树状图为：

共有12种等可能的结果数，其中两次摸出的球都是的白色的共有2 种，
所以两次都摸到白球的概率是.
故选B．
【点睛】考查了利用树状图法求概率，利用如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=是解题关键．
7．A
【分析】根据抛物线的顶点式所对应的顶点坐标是，可作出选择．
【详解】解：对照抛物线的顶点式可得，，
把，代入顶点坐标公式中，得此抛物线的顶点坐标为，
故选：A．
【点睛】本题考查的是二次函数的基础知识：会根据顶点式写出顶点坐标．需要强调的是：公式要记清楚．顶点式中的m与顶点坐标中的－m是互为相反数的关系．
8．A
【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，根据求出结果即可．
【详解】解：是一元二次方程的两个根，
，
故选：A．
9．C
【分析】根据a的符号分类, 时,在A、B中判断一次函数的图象是否相符, 时,在C、D中进行判断.利用二次函数的图象和一次函数的图象的特点求解.
【详解】①当时,二次函数y＝ax2的开口向上,一次函数y＝ax＋a 的图象经过第一、二、三象限,排除A、B；
②当时,二次函数y＝ax2的开口向下,一次函数y＝ax＋a的图象经过第二、三、四象限,排除D.
所以C选项是正确的.
【点睛】本题主要考查二次函数和一次函数图像的知识，要掌握函数图像与系数的关系，并要学会通过函数图像判断其系数的取值范围是关键.
10．B
【分析】本题主要考查了二次函数的图像和性质，由二次函数的对称轴直线为，开口向上可得出关于对称轴直线的对称点为：， 关于对称轴直线的对称点为：，再结合以及函数图像可得出．
【详解】解：∵二次函数的对称轴直线为，开口向上．
∴关于对称轴直线的对称点为：，
关于对称轴直线的对称点为：，
∵，
∴，
故选：B.
11．D
【分析】先计算出∠BAC＝60°，再根据旋转的性质得到∠C'A B'＝∠CAB＝60°，AB＝A B'，则可判断△ABB'为等边三角形，从而逐个判断选项，即可．
【详解】解：由旋转的性质可知：，故A、B选项错误；
∵∠C＝90°，∠ABC＝30°，
∴∠BAC＝60°，
∵Rt△ABC绕点A逆时针旋转得到Rt△AB'C'，使点C'落在AB上，
∴∠C'A B'＝∠CAB＝60°，AB＝A B'，
∴△ABB'为等边三角形，
∴BB'＝AB．，
故C错误，D正确．
故选D．
【点睛】本题考查了旋转的性质以及等边三角形的判定和性质，熟练掌握对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等，是解题的关键．
12．C
【分析】①先根据抛物线的开口向下可得，再根据对称轴可得，然后根据抛物线与y轴的交点可得，由此即可得；②根据当时，即可得；③根据和即可得；④先根据对称轴可得，再根据当时，即可得；⑤先根据可得方程的一个根为，再利用一元二次方程的根与系数的关系即可得．
【详解】抛物线的开口向下，与y轴的交点位于y轴负半轴，
，
对称轴为直线，
，
，则结论①正确；
由函数图象可知，当时，，
即，则结论②错误；
当时，，即，
，
，
，即，则结论③正确；
由函数图象可知，当时，，
即，
将代入得：，
整理得：，则结论④错误；
，
，
关于的一元二次方程有一个根为，
设另一个根为m，
由一元二次方程的根与系数的关系得：，
解得，
即关于的一元二次方程有一个根为，结论⑤正确；
综上，正确的结论个数有3个，
故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质、二次函数与一元二次方程的联系等知识点，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键．
13．/
【分析】本题考查了随机事件的概率公式，由随机事件概率公式计算即可得出答案，解题关键在于熟练掌握概率公式．
【详解】解：∵不透明袋子中装有个黄球、个黑球和个红球，
∴小明从袋子中随机取出个小球，则它是红球的概率是，
故答案为：．
14． 右 5
【分析】本题主要考查了二次函数图象的平移，先求出两个二次函数的顶点坐标，然后根据顶点的平移，得出答案即可．
【详解】解：∵的顶点坐标为，的顶点坐标为，
又∵向右平移5个单位得到，
∴函数的图象向右平移5个单位，得到抛物线．
故答案为：右；5．
15．
【分析】直接利用矩形面积公式得出y与x之间的关系，再利用二次函数的性质解题即可．
【详解】解：设矩形的一边长为，则另一边长为：，
根据题意可得：
∵
当时，函数最大值为平方米．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了根据实际问题抽象出二次函数关系式，二次函数的性质，正确表示出矩形的边长是解题关键．
16．
【分析】本题主要考查了二次函数与一元二次方程之间的关系，二次函数与x轴交点的横坐标，即为二次函数对应的一元二次方程的解，据此求解即可．
【详解】解：由函数图象可知抛物线与x轴交于，
∴关于的方程的解是，
故答案为：．
17．
【分析】将线段BD绕点B顺时针旋转90°，得到线段BP，连接PE，PD，证明△CBD≌△EBP，可得PE=DB=1，DP=，根据PD+PE≥DE，即可得出DE的最大值．
【详解】如图，将线段BD绕点B顺时针旋转90°，得到线段BP，连接PE， PD，

则DB=PB，∠DBP=90°，
∵将线段BC绕点B顺时针旋转90°，得到线段BE，
∴BC=BE，∠CBE=90°，
∴∠CBD=∠EBP，
∴△CBD≌△EBP（SAS），
∴PE=CD，
∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=2，点D为线段AB的中点，
∴DB=CD=AB=1，
∴PE=1，PB=1，
∴DP=，
∵PD+PE≥DE，
∴DE≤+1，
∴DE最大值为+1，
故答案为+1．
【点睛】本题考查图形的旋转，解题的关键是掌握图形旋转的性质．
18． 12 在所在的网格线上取网格点E、F，使得，，取网格点M，使得，，取网格点N，使得，，连接、，两线交点即为D
【分析】（1）利用网格图可知，，点B到的距离为4，即问题得解；
（2）取网格点E、F、M、N，连接、、，两线交于点D，连接，即可求．
【详解】（1）利用网格图可知，，点B到的距离为4，
即，
故答案为：12；
（2）取网格点E、F、M、N，连接、、，两线交于点D，连接，即可求，作图如下：
，
根据（1）可知，，
根据网格图可知：，，
∴，
∵根据网格图可知：，，，
∴，
∴，解得：，
经检验，是分式方程的解，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
即的边、分别绕C点顺时针旋转的角度相等，其旋转得到的对应边为、，
∴所作的满足要求，
故答案为：在所在的网格线上取网格点E、F，使得，，取网格点M，使得，，取网格点N，使得，，连接、，两线交点即为D．
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例，旋转作图，勾股定理等知识，利用，，找到D点，是解答本题的关键．
19．(1)；
(2)．
【分析】本题主要考查了解一元二次方程．
（1）利用因式分解法求解即可；
（2）利用因式分解，即可求解．
【详解】（1）解：方程分解因式得：，
可得或，
解得：，；
（2）解：方程分解因式得：，
可得或，
解得：，．
20．(1)，
(2)
(3)
(4)
【分析】本题考查的是利用待定系数法求解抛物线的解析式，抛物线与x轴的交点坐标，二次函数的图象与性质，掌握“利用二次函数的图象解决函数的交点问题”是解本题的关键．
（1）把代入抛物线的解析式先求解的值，再令，可得，再解方程即可；
（2）把抛物线化为顶点式，从而可得答案；
（3）根据函数图象，找出轴下方的函数图象，可得答案；
（4）结合（3）中图象解答即可．
【详解】（1）解：∵抛物线与y轴交于点，
∴，
∴抛物线为：，
令， 则，
∴，
解得：，
∴；
故答案为：，；
（2）解：∵，
∴抛物线的顶点坐标为：；
故答案为：；
（3）解：观察图象得，当时，；
故答案为：；
（4）解：由的图象可得：当过抛物线的顶点时，，
此时二次函数的图象与直线有1个交点，
∴二次函数的图象与直线有两个交点，
则k的取值范围是．
故答案为：．
21．(1)的半径为；
(2)的半径为．
【分析】本题考查了垂径定理，解题的关键是掌握垂直于弦的直径平分弦，且平分弦所对的两条弧，以及正确画出辅助线，构造直角三角形求解．
（1）连接，根据垂径定理得出，利用勾股定理求解即可；
（2）连接，根据垂径定理得出，，则，根据勾股定理可得，列出方程求解即可．
【详解】（1）解：连接，
∵，，
∴，
∵，
∴，
即的半径为；
（2）解：连接，
∵，，
∴，
设，
∵，
∴，
根据勾股定理可得：，
即，
解得：，
即的半径为．
22．(1)见解析
(2)
【分析】根据正方形得性质得，，由旋转的性质得，可证明点、、共线，即可利用证明，即可判定相等；
设，即可求得，，和，在中利用勾股定理即可．
【详解】（1）证明：∵四边形为正方形，
∴，，
根据旋转的性质，可知：，
∴，，，
∴，
∴点、、共线，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，，
∴，
∴；
（2）解：设，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴在中，有，
∴，
解得，
即．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质以及勾股定理等知识，掌握旋转的性质是解答本题的关键．
23．(1)450
(2)；
(3)当该优质水果每千克售价为元时，获得的月利润最大．
【分析】此题考查二次函数的应用．
（1）根据销售量的规律：500减去减少的数量即可求出答案；
（2）涨价元时，销售量为千克，利润为元；
（3）设月销售利润为元，每千克水果售价为元，根据题意列函数关系式，再根据顶点式函数关系式的性质解答即可．
【详解】（1）解：当售价为元/千克时，每月销售量为千克；
故答案为：450；
（2）解：涨价元时，销售量为千克，
涨价元后的利润可表示为元即元，
故答案为：；；
（3）解：设月销售利润为元，每千克水果售价为元，
由题意，得，
即，
配方，得，
，
当时，有最大值，
当该优质水果每千克售价为元时，获得的月利润最大．
24．(1)，
(2)（）
(3)
【分析】（1）作轴于H．只要证明四边形是矩形，利用矩形的性质即可解决问题；
（2）作轴于M．在中，求出即可解决问题；
（3）连接，，作点关于轴的对称点，连接交轴于，连接，由题意，推出，根据两点之间线段最短，可知当点P与点重合时，的值最小．只要求出直线的解析式即可解决问题．
【详解】（1）解：如图1，过点C作轴于H，
∵，，
∴，，
由旋转的性质，可得，
∴，，，
又∵轴，
∴，
∴四边形为矩形，
∴，，
∴点C的坐标为，点D的坐标；
故答案为：，；
（2）如图2，过点D作轴于M，
由面积知，
在中，由勾股定理得 AB，
∴，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴点D的坐标为（）；
（3）如图3，连接，，作点关于轴的对称点，连接交轴于，连接，
当点在点位置时，、、在同一条直线上，取得最小值，
由题意可得，
根据轴对称的性质可得，
∴，
∵，D的坐标为（），
∴设直线的解析式为，
则，
解得，
∴直线的解析式为，
当时，，
∴点的坐标为．
【点睛】本题考查了轴对称−最短路线问题、勾股定理解直角三角形，两点之间线段最短等知识，解题的关键是会利用两点之间线段最短解决最短路径问题，学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．
25．(1)
(2)3，
(3)，，
【分析】（1）根据待定系数法求解即可；
（2）过点P作轴，交CB于点H，过点C作，得，从而得到，根据为等腰直角三角形，再结合二次函数的解析式，将换算为，最后结合二次函数的图形性质即可得到△PBC面积的最大值；
（3）根据不同的情况展开讨论，通过全等三角形的性质计算出点N的横坐标，再根据二次函数的解析式计算出纵坐标即可．
【详解】（1）解：∵过点，，
∴ ，
解方程组得，
∴该抛物线的函数表达式为：；
（2）解：如下图所示，过点P作轴，交CB于点H，过点C作，垂足为E，
∵，，，
∴
∵，
∴,
∴为等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
，
∴当时，最大，且最大值为；
（3）解：∵当时，，
∴点，
∵，
∴抛物线的对称轴为，
当时，，
解得，
∴点，
∴，
如下图所示，当四边形AMPN为平行四边形时，作PF垂直对称轴，垂足为F，过点N作轴，垂足为E，
由题意得，
∵，
∴NF、AM、MF、NP构成的四边形为平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵ ，
∴，
∴，
∴，
设点，
∴，，
∴点；
如下图所示，当四边形AMNP为平行四边形时，作NE垂直对称轴，垂足为E，过点P作轴，垂足为F，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
设点，
∴，，
∴点；
如下图所示，当四边形ANMP为平行四边形时，作PF垂直对称轴，垂足为F，过点N作轴，垂足为E，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
设点，
∴，，
∴点；
故符合条件的点N的坐标为：，，．
【点睛】本题考查二次函数，解题的关键是通过待定系数法求出二次函数的解析式，灵活运用二次函数的顶点式，掌握将三角形面积的最值转换成二次函数最值的方法，根据平行四边形的多种情况展开讨论，此题属于典型题．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
B
A
D
A
C
B
A
A
C
B
题号
11
12








答案
D
C