河南省郑州市外国语中学2024-2025学年九年级上学期第一次月考数学试卷

这是一份河南省郑州市外国语中学2024-2025学年九年级上学期第一次月考数学试卷，共22页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、单选题
1．下列说法不正确的是（ ）
A．有一组邻边相等的平行四边形是菱形B．有一个角是直角的平行四边形是矩形
C．有一组邻边相等，有一个角是直角的平行四边形是正方形D．一组邻边相等的四边形是菱形
2．若方程是一元二次方程，则m的值为（ ）
A．0B．1C．2D．3
3．在掷一枚骰子次的试验中，“偶数朝上”的频数为，则“偶数朝上”的频率为（ ）
A．B．C．D．
4．如图，在中，点D在边上，过点D作，交于点E．若，则的值是（ ）

A．B．C．D．
5．某农机厂四月份生产零件万个，第二季度共生产零件万个．设该厂五、六月份平均每月的增长率为，那么满足的方程是（ ）
A．B．
C．D．
6．如图，五线谱由五条等距离的平行横线组成，同一条直线上的三个点A，B，C都在横线上，若线段，则线段的长是（ ）
A．4B．5C．6D．7
7．用配方法解一元二次方程x2﹣4x﹣3＝0下列变形正确的是（ ）
A．（x﹣2）2＝0B．（x﹣2）2＝7C．（x﹣4）2＝9D．（x﹣2）2＝1
8．如图，在中，，，于点，于点，取的中点，则的周长是（ ）
A．12B．14C．16D．18
9．关于的方程的解是（均为常数，），则方程的解是（ ）
A．B．C．D．无法求解
10．如图，点P是正方形的对角线上一点，于点E，于点F，连接，给出下列四个结论：
①；②；③；④．
其中正确的有（ ）．
A．1个B．2个C．3个D．4个
二、填空题
11．已知，那么 ．
12．某校九年级组织一次辩论赛，规定进行单循环赛（每两班赛一场），共赛了场，该校九年级共有多少个班级参加了辩论赛？设该校九年级共有个班参加了辩论赛，根据题意，可列方程为 ．
13．某数学兴趣小组做“用频率估计概率”的试验时，记录了试验过程并把结果绘制成如下表格，则符合表格数据的试验可能是 ．
①掷一枚质地均匀的硬币，出现反面朝上；
②掷一枚质地均匀的骰子，掷得朝上的点数是3的整数倍；
③在“石头、剪刀、布”游戏中，小明出的是“石头”；
④将一副去掉大、小王的普通扑克牌洗匀后，从中任抽一张扑克牌的花色是红桃．
14．已知等腰三角形的底边长和腰长恰好是方程的两根，则等腰三角形的周长为 ．
15．如图，对折正方形纸片，使与重合，得到折痕，在上选一点P，沿折叠，使点A落在点M处，延长交于点Q，连接，，已知正方形纸片的边长为，当时，的长为 ．
三、解答题
16．解方程：
(1)；
(2)．
17．明明和家人去西安旅游购买了甲、乙、丙、丁四个系列摆件，如图，甲系列有3个摆件，乙系列有1个摆件，丙系列有2个摆件，丁系列有3个摆件，每个系列各带有一个礼品盒（摆件均装入对应的礼品盒内），这四个礼品盒的外观和重量都相同．明明先让妈妈从四个礼品盒中随机选择一个拿走，再让爸爸从剩下的三个中随机选择一个拿走．
(1)妈妈拿走的礼品盒里装有3个摆件的概率是 ；
(2)请用画树状图或列表法，求妈妈和爸爸一共拿走4个摆件的概率．
18．已知关于x的方程
（1）当该方程的一个根为1时，求a的值及该方程的另一根；
（2）求证：不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．
19．如图，四边形的对角线相交于点O，，.若四边形是菱形.求证：四边形是矩形.

20．一款服装每件进价为80元，销售价为120元时，每天可售出20件，为了扩大销售量，增加利润，经市场调查发现，如果每件服装降价1元，那么平均每天可多售出2件．
(1)设每件衣服降价x元，则每天销售量增加______件，每件商品盈利________元（用含x的代数式表示）；
(2)在让利于顾客的情况下，每件服装降价多少元时，商家平均每天能盈利1200元；
(3)商家能达到平均每天盈利1500元吗？请说明你的理由．
21．如图，在中，，，，点D从点C出发沿方向以的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿方向以的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D，E运动的时间是．过点D作于点F，连接．
(1)求证：四边形为平行四边形；
(2)①当四边形为菱形时，求t的值；
②当 s时，四边形为矩形；
(3)当为直角三角形时，求t的值．
22．在正方形中，E是边上一点（点E不与点B，C重合），，与正方形的外角的平分线交于点F．
(1)如图1，若点E是的中点，猜想与的数量关系是 ；证明此猜想时，可取的中点P，连接．根据此图形易证．则判断的依据是 ．
(2)点E在边上运动．
①如图2，（1）中的猜想是否仍然成立？请说明理由．
②如图3，连接，，若正方形的边长为1，直接写出的周长c取值范围．
试验总次数
100
200
300
500
800
1000
2000
3000
频率
0.365
0.328
0.330
0.334
0.336
0.332
0.333
0.333
参考答案：
1．D
【分析】本题考查矩形、菱形、正方形的判定，关键是掌握矩形、菱形、正方形的判定方法．由矩形、菱形、正方形的判定方法，即可判断．
【详解】解：A、有一组邻边相等的平行四边形是菱形，正确，故A不符合题意；
B、有一个角是直角的平行四边形是矩形，正确，故B不符合题意；
C、有一组邻边相等，有一个角是直角的平行四边形是正方形，正确，故C不符合题意；
D、一组邻边相等的平行四边形是菱形，原说法不正确，故D符合题意．
故选：D．
2．D
【分析】本题考查了一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是2的整式方程，叫一元二次方程．
根据一元二次方程的定义得出，再求出a即可．
【详解】解：∵方程是一元二次方程，
∴，
解得：，
故选：D．
3．C
【分析】利用频率频数总次数，进行计算即可解答．本题考查了频数与频率，熟练掌握频率频数总次数是解题的关键．
【详解】解：由题意得：
，
“偶数朝上”的频率为，
故选：C．
4．A
【分析】利用平行线分线段成比例定理的推论得出，即可求解．
【详解】解：∵中，，
∴，
∵
∴，
故选：A．
【点睛】本题考查平行线分线段成比例定理的推论，解题关键是牢记“平行于三角形一边的直线截其它两边（或两边的延长线）所得对应线段成比例”．
5．B
【分析】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，由该农机厂四月份的产量及五、六月份平均每月的增长率，可得出该农机厂五月份生产零件万个，六月份生产零件万个，再结合该农机厂第二季度共生产零件万个，即可得出关于的一元二次方程，此题得解．找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
【详解】解：∵该农机厂四月份生产零件万个，五、六月份平均每月的增长率为，
∴该农机厂五月份生产零件万个，六月份生产零件万个，
根据题意得：，
故选：B．
6．C
【分析】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．过点A作平行横线的垂线，交点B所在的平行横线于D，交点C所在的平行横线于E，根据平行线分线段成比例定理列出比例式，计算即可．
【详解】解：过点A作平行横线的垂线，交点B所在的平行横线于D，交点C所在的平行横线于E，
则，即，
解得：，
故选：C．
7．B
【分析】先把常数项移到方程右侧，再把方程两边加上4，然后把方程左边写成完全平方形式即可．
【详解】x2﹣4x＝3，
x2﹣4x+4＝7，
（x﹣2）2＝7．
故选B．
【点睛】本题考查了解一元二次方程﹣配方法，熟练运用配方法是解决问题的关键．
8．B
【分析】本题直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，三角形的中位线定理．根据等腰三角形三线合一的性质可得是的中线，然后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，，然后判断出是的中位线，根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得，然后根据三角形的周长公式列式计算即可得解．
【详解】解：，
是的中线，
，是的中点，
，，
是的中线，是的中点，
是的中位线，
，
的周长．
故选：B．
9．B
【分析】可以把方程看作关于的一元二次方程，从而，，即可求解．
【详解】解：根据题意得：方程看作关于的一元二次方程，
关于的方程的解是，
∴关于的一元二次方程的解为，，
解得，
故选：B．
【点睛】本题考查了用换元法解一元二次方程，找出两方程之间的关系是解题的关键．
10．D
【分析】过作于点，根据正方形对角线的性质及题中的已知条件，证明后即可证明①；③；在此基础上，根据正方形的对角线平分对角的性质，在中，，在中，，在中，，从而即可得出结论．
【详解】解：过作于点，延长到上于一点，
∵四边形是正方形，
∴，
∵，
∴四边是矩形，四边形是矩形，
∴，
∴
在中，，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，故①正确，，
∴，故③正确，
∴，
∵，
∴，即，故②正确，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵在中，，
在中，，
在中，，
∴，故④正确，
故选：D．
【点睛】本题考查了正方形的性质，矩形的判定及性质，全等三角形的判定及性质，垂直的判定，等腰三角形的性质，勾股定理的运用．本题难度较大，综合性较强，在解答时要认真审题．
11．
【分析】根据题意可设，，其中，代入进行分式的化简即可得到答案，此题考查了分式的化简，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴可设，，其中，
∴，
故答案为：．
12．
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，由题意得知个班要与各班进行比赛，结合单循环赛即可列出方程．
【详解】解：由题意得：个班要与各班进行比赛，
∵进行单循环赛（每两班赛一场），
∴，
故答案为：
13．②③/③②
【分析】本题考查了概率的知识，熟练应用根据频率估计概率是解题的关键．根据图中信息得出，实验结果在附近波动，即其概率，判断各项中的概率即可．
【详解】解：①掷一枚质地均匀的硬币，出现反面朝上得概率为，不符合题意；
②掷一枚质地均匀的骰子，掷得朝上的点数是3的整数倍的概率为，符合题意；
③在“石头、剪刀、布”游戏中，小明出的是“石头”的概率为，符合题意；
④将一副去掉大、小王的普通扑克牌洗匀后，从中任抽一张扑克牌的花色是红桃的概率为，不符合题意；
故答案为：②③．
14．10
【分析】本题考查了解一元二次方程因式分解：因式分解法就是利用因式分解求出方程解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．也考查了等腰三角形的义，三角形三边的关系．先利用因式分解法解方程得到，，再利用三角形三的关系得到等腰三角形的腰为4，底边长为2，然后计算它的周长．
【详解】解：
，
或，
所以，，
因为，
所以等腰三角形的腰为4，底边长为2，
所以三角形的周长为．
故答案为：10．
15．或
【分析】由折叠及正方形的性质得到，，再由“”易证；分当点在线段上和当点在线段上两种情况，再根据折叠的性质和勾股定理即可求解．
【详解】解：∵在正方形中，
∴，，
根据折叠的性质可得：，
∴，，
∴在和中，
，
∴，
∴，
由折叠的性质可得：，，
当点在线段上时，
∵，
∴，，，
∵，
∴，
∴，
当点在线段上时，
∵，
∴，，，
∵，
∴，
∴，
综上所述，的长为或，
故答案为：或．
【点睛】本题考查了正方形的性质，翻折运动，全等三角形的判定与性质，勾股定理，掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
16．(1)
(2)
【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握直接开平方法，因式分解法，配方法和公式法是解题的关键．
（1）利用配方法求解即可；
（2）利用因式分解法求解即可．
【详解】（1）解：
或
∴；
（2）解：
或
∴．
17．(1)
(2)
【分析】本题考查列表法与树状图法求概率以及用概率公式直接求概率，
（1）根据概率公式直接求概率即可．
（2）画出所有等可能的结果数以及妈妈和爸爸一共拿走4个摆件的的结果数，再利用概率公式可得出答案．
【详解】（1）解：根据题意有4个四个礼品盒，其中有3个摆件的礼品盒有2个，
∴妈妈拿走的礼品盒里装有3个摆件的概率是：，
故答案为：．
（2）画树状图如下：
由图可得，共有12种等可能的结果，其中妈妈和爸爸一共拿走4个摆件的情况有4种，
妈妈和爸爸一共拿走4个摆件的概率．
18．（1），；（2）证明见解析
【分析】（1）根据一元二次方程根与系数的关系列方程组求解即可；
（2）要证方程都有两个不相等的实数根，只要证明根的判别式大于0即可．
【详解】解：（1）设方程的另一根为x1，
∵该方程的一个根为1，
∴，
解得．
∴a的值为，该方程的另一根为．
（2）∵，
∴不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．
【点睛】
本题考查了根的判别式和根与系数的关系，注意：如果x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a、b、c为常数，a≠0）的两个根，则x1+x2，x1•x2，要记牢公式，灵活运用．
19．见解析
【分析】本题考查了矩形的判定，根据菱形的性质，平行四边形的判定，运用对角线相等的平行四边形是矩形证明即可.
【详解】证明：∵四边形是菱形，
∴，
∵，，
∴四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
∴平行四边形是矩形.
20．(1)，
(2)20元
(3)不能，理由见解析
【分析】（1）设每件衣服降价x元，根据题意列出代数式即可；
（2）设每件服装降价x元，则每件的销售利润为元，平均每天的销售量为件，根据题意列出一元二次方程求解即可；
（3）设每件服装降价y元，则每件的销售利润为元，平均每天的销售量为件，根据题意列出一元二次方程，然后依据判别式求解即可.
【详解】（1）设每件衣服降价x元，则每天销售量增加件，每件商品盈利元．
故答案为：，；
（2）设每件服装降价x元，则每件的销售利润为元，平均每天的销售量为件，
依题意得：，
整理得：，
解得：．
又∵需要让利于顾客，
∴．
答：每件服装降价20元时，能让利于顾客并且商家平均每天能赢利1200元；
（3）商家不能达到平均每天盈利1500元，理由如下：
设每件服装降价y元，则每件的销售利润为元，平均每天的销售量为件，
依题意得：，
整理得：．
∵，
∴此方程无解，
即不可能每天盈利1500元．
【点睛】此题考查了一元二次方程的实际应用，解题的关键是正确分析题目中的等量关系．
21．(1)详见解析
(2)①；②
(3)或
【分析】（1）由题意得，再由含角的直角三角形的性质得，得到，然后证，即可得出结论；
（2）①由，得四边形为菱形，得，进而求得t的值；②时，四边形为矩形，得到，再证，得，即可得出结论．
（3）分两种情况，根据直角三角形的性质列出算式，计算即可．
【详解】（1）由题意可知，
∵，
∴
∴．
∵，
∴．
又∵，
∴，
∴四边形为平行四边形．
（2）①∵，
∴．
∵，
∴四边形为平行四边形，
∴要使平行四边形为菱形，则需，
即，
解得，
∴当时，四边形为菱形，
②要使四边形为矩形，则，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，
即，
解得．
即当时，四边形DEBF为矩形，
故答案为：．
（3）①当时，
∵四边形为平行四边形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
∵，
∴，
解得．
②当时，
∵，
∴四边形为矩形．
在中，，
∴，
∴，即，
解得，
③当时，点E与点B重合，点D与点A重合，此种情况不存在△DEF．
综上所述，当或时，为直角三角形．
【点睛】本题考查了矩形的判定、平行四边形的判定与性质、菱形的判定、含30°角的直角三角形的性质等知识，熟练掌握矩形的判定和平行四边形的判定与性质是解题的关键．
22．(1)，
(2)①成立，理由见解析；②
【分析】（1）取的中点P，连接．先证，再证，，然后由证，即可得出结论；
（2）①在上取一点P，使，连接PE，证明，即可得出结论；
②过D作交于点H，连接、，证明是等腰直角三角形，则点H与D关于对称，得，，当A、F、H三点共线时，最短，当A、D、F三点共线，最长即可得出结论．
【详解】（1）如图1，取的中点P．

则，
∵点E是的中点，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，，
∴，，，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
故答案为：，；
（2）①成立，理由如下：
如图2，在上取一点P，使，连接，

则，
由（1）得：，
∵，，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴；
②如图3，过D作交于点H，连接、，

∵，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴点H与D关于对称，
∴，
∴，
当A、F、H三点共线时，最短，即最短，
此时， ，
在中，由勾股定理得：，
此时；
当点E与点C重合，即A、D、F三点共线，最长，
此时，
∴，
则；
∴的周长c的取值范围是．
【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、直角三角形的性质以及勾股定理等知识，熟练掌握正方形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
D
D
C
A
B
C
B
B
B
D