浙江省杭州外国语学校2024-2025学年九年级上学期月考数学试卷（10月份）

这是一份浙江省杭州外国语学校2024-2025学年九年级上学期月考数学试卷（10月份），共30页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．若，则（ ）
A．B．C．2D．5
2．在平面内的半径为，点到圆心O的距离为，则点P与的位置关系为（ ）
A．圆内B．圆外C．圆上D．无法确定
3．下列事件是必然事件的是（ ）
A．在足球赛中，弱队战胜强队
B．校园排球比赛，九年级一班获得冠军
C．从煮熟的鸡蛋里孵出小鸡
D．6月1日是儿童节
4．将抛物线的图象先向左平移1个单位，再向上平移2个单位，得到的抛物线的解析式是（ ）
A．B．
C．D．
5．函数与在同一坐标上的图像大致是（ ）
A．B．C．D．
6．如图，在中，F是上一点，交于点E，的延长线交的延长线于点G，，，则的长为（ ）

A．4B．6C．8D．10
7．已知二次函数自变量x与函数值y之间满足下列数量关系：
那么的值为（ ）
A．4B．6C．10D．14
8．从﹣3，﹣2，﹣1，0，1这五个数中，随机取出一个数，记为a，若a使得关于x的不等式组无解，且关于x的分式方程有整数解的概率为（ ）
A．B．C．D．
9．如图，在四边形中，，，，，三个动点，，同时分别沿，，的方向以的速度匀速运动，运动过程中的面积与运动时间 的函数图象大致是（ ）
A．B．C．D．
10．如图，在矩形中，，动点N从A出发，沿边向点D匀速运动，动点M从B出发，沿边向点C匀速运动，连接．动点N，M同时出发，点N运动速度为，点M的运动速度为，且．当点M到达C时，M，N两点同时停止运动．在运动过程中，将四边形沿翻折，得到四边形．若在某一时刻，点B的对应点恰好与的中点重合，则的值是（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
11．从“”中随机抽取一个字母，抽中字母h的概率为 ．
12．若函数是关于x的二次函数，则a的值为 ．
13．如图，正方形内接于，点、在上，点、分别在和边上，且边上的高，，则正方形的边长为 ．
三、解答题
14．已知：如图，是的直径，弦交于E点，，求的长．
四、单选题
15．二次函数的部分图象如图所示，图象过点，对称轴为直线，抛物线与y轴交点在和之间（不与重合）．下列结论：①；②；③；④当时，；⑤a的取值范围为．其中正确结论有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
五、解答题
16．如图，在平面直角坐标系中，、、是上的三个点，、、．

(1)直接写出圆心的坐标： ；
(2)求的半径．
17．某中学积极落实国家“双减”教育政策，决定增设“厨艺”“绘画”“陶艺”“街舞”等四门校本课程以提升课后服务质量，为了解学生对这四门课程的选修情况（要求必须选修—门且只能选修一门），学校从七年级学生中随机抽取部分学生进行问卷调查，并根据调查数据绘制了如下两幅不完整的统计图：
请结合上述信息，解答下列问题：
(1)共有_____名学生参与了本次问卷调查；“厨艺”在扇形统计图中所对应的圆心角是_____度？
(2)补全调查结果条形统计图；
(3)小刚和小毅分别从“厨艺”“绘画”“陶艺”“街舞”等四门校本课程中任选一门，请用列表法或画树状图法求出两人恰好选到同一门课程的概率．
18．如图，抛物线与x轴交于点A，与y轴交于点B，直线的解析式为．
(1)请直接写出：抛物线的解析式 ，直线的解析式 ；
(2)当时，的取值范围是 ；
(3)当时，x的取值范围是 ．
19．如图，在正方形中，E是边上的点，点F在边上，且．
(1)求证：；
(2)若，延长交的延长线于点G，求的长．
20．如图，是的直径，弦与相交于点E，．
(1)求证：；
(2)若的半径为4，，求的长．
21．某商场以每件30元的价格购进一种商品，规定这种商品每件售价不低于进价，又不高于55元，经市场调查发现：该商品每天的销售量（件）与每件售价（元）之间满足一次函数的关系．
(1)当每件售价35元时，每天的利润是多少元？
(2)该商场销售这种商品要想每天获得600元的利润，每件商品的售价应定为多少元？
(3)求商场销售这种商品每天获取的最大利润．
22．如图，在直角坐标系中，二次函数的图象与x轴相交于点和点，与y轴交于点C．
(1)求的值；
(2)若点P是抛物线段上的一点，当的面积最大时求出点P的坐标，并求出面积的最大值；
(3)点F是抛物线上的动点，作交x轴于点E，是否存在点F，使得以A、C、E、F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请写出所有符合条件的点F的坐标；若不存在，请说明理由．
23．阅读以下材料：
【问题情境】如图1，在正方形中，为边上一点，为延长线上一点，且．
（1）与之间有怎样的数量和位置关系？请说明理由．
【类比迁移】
（2）如图2，在矩形中是边上一点，将沿翻折得到，延长交延长线于点．线段与具有怎样的数量和位置关系？请证明你的猜想；
【拓展提升】
（3）如图3，在菱形中，是上一点，绕点顺时针旋转得，绕点顺时针旋转得，当时，求四边形的面积．
x
2
4
7
y
20.17
20.17
1
参考答案：
1．B
【分析】本题主要考查了比例的基本性质，熟练掌握比例的基本性质是解题的关键．
【详解】解：两边都除以，得
，
故选：B．
2．A
【分析】本题考查了点与圆的位置关系：设的半径为，点P到圆心的距离，点P在圆内，根据点与圆的位置关系直接作出判断．
【详解】∵的半径为，点到圆心O的距离为，
即点到圆心O的距离小于圆的半径，
∴点在内，
故选：A．
3．D
【分析】本题考查了必然事件，熟练掌握必然事件的定义是解此题的关键．根据一定会发生的事件是必然事件逐项判断即可得出答案．
【详解】解：A．在足球赛中，弱队战胜强队是随机事件，故此选项不符合题意；
B．校园排球比赛，九年级一班获得冠军是随机事件，故此选项不符合题意；
C．从煮熟的鸡蛋里孵出小鸡是不可能事件，故此选项不符合题意；
D．6月1日是儿童节是必然事件，故此选项符合题意；
故选：D．
4．A
【分析】本题考查了二次函数图象的平移，熟练掌握其平移规律是解题的关键．利用函数图象的平移规律即可求解．
【详解】将抛物线的图象先向左平移1个单位，再向上平移2个单位，
得到的抛物线的解析式是．
故选：A．
5．D
【分析】本题可先由一次函数y=-a（x+a）图象得到字母系数的正负，再与二次函数y=-a的图象相比较看是否一致．
【详解】解：A、由一次函数的图象可知a＜0，由二次函数的图象可知a＜0，两者相吻合；又函数y=-a(x+a)＝=-ax-的常数项-一定小于零，函数y=-a（x+a）与y轴一定相交于负半轴；故此选项不符合题意；
B、由一次函数的图象可知a＜0，由二次函数的图象可知a＞0，两者相矛盾，故此选项不符合题意；
C、由一次函数的图象可知a＞0，由二次函数的图象可知a＜0，两者相矛盾，故此选项不符合题意；
D、由一次函数的图象可知a＞0，由二次函数的图象可知a＞0，两者相吻合，
又函数y=-a（x+a）=-ax-的常数项-一定小于零，函数y=-a（x+a）与y轴一定相交于负半轴，故此选项符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查一次函数与二次函数与系数的确关系，数形结合思想就是：由函数图象确定函数解析式各项系数的性质符号，由函数解析式各项系数的性质符号画出函数图象的大致形状．
6．C
【分析】由平行四边形的性质可得，，设为x可得，解之即可．
【详解】∵四边形为平行四边形，
∴，，
∴，，
设为x，
∵，，
∴，，
∴，，
∴，
即，
得，
∴．
故选：C．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，平行线分线段成比例的性质，熟练掌握其性质是解题的关键．
7．B
【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．也考查了二次函数的性质，关键是根据抛物线的对称性质求得对称轴方程．
把，；，可确定抛物线的对称轴为直线，利用抛物线的对称性得到时，，即，然后利用整体代入的方法计算的值．
【详解】解：，；，，
抛物线的对称轴为，
，
∴，
与时的函数值相等，
时，，即，
．
故选：B．
8．A
【分析】先解不等式组，再根据不等式组无解，分式方程有整数解即可得解．
【详解】解：，
由①得，x≤a，
由②得，x＞，
可见，x取-3，-2，-1，0时，不等式组无解；
解分式方程得，
x=，
当a取-3，-1，1时，分式方程有整数解，
当a取-1时，分式方程x=2是增根．
综上，a取-3时，符合题意，P=．
故选A．
【点睛】本题考查简单事件的概率、不等式组以及分式方程，能求解分式方程是解题的关键．
9．B
【分析】此题考查了动点函数图象，分别求出和时的函数解析式，进行判断即可.
【详解】解：当时，如图，
∵三个动点同速，
∴三个动点路程相同，
∴，
∵
∴，
∴
当时，如图，
此时
∴，
∴，
∴
∴结合两个函数判断B符合题意，
故选：B
10．B
【分析】如图，设交于点，设，利用勾股定理求出（用表示），再利用相似三角形的性质求出（用表示），可得结论．
【详解】解：如图，设交于点，设，
，
可以假设，，
四边形是矩形，
，，，
点是的中点，
，
由翻折的性质可知，，，，，
在中，，
，
，
，，
，，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
设，则，
，
，
，
，
故选：B．
【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，矩形的性质，折叠的性质，勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，学会利用参数解决问题，属于中考填空题中的压轴题．
11．
【分析】本题主要考查了简单的概率计算，概率公式：概率所求情况数与总情况数之比；直接利用概率计算公式求解即可．
【详解】解：从“”中随机抽取一个字母，共有8种等可能的结果，其中抽中字母h的结果有2种，
∴抽中字母h的概率为，
故答案为：．
12．1
【分析】本题主要考查了二次函数的定义，一般地，形如（其中a、b、c是常数，且）的函数叫做二次函数，据此求解即可．
【详解】解：∵函数是关于x的二次函数，
∴，
∴，
故答案为；1．
13．
【分析】此题考查的是正方形的性质、相似三角形的判定与性质等，熟练掌握相关知识是解决问题的关键．易知，的长等于正方形的边长，正方形的边长即的长，已知和的长，可用表示出来，利用相似三角形的性质即可得解．
【详解】解：设正方形的边长为，则，．
四边形是正方形，
．
．
又，
．
∵四边形是正方形，
∴，
∵，
∴四边形是矩形，
∴,
，，，，
，
解得．
故答案为：．
14．
【分析】此题考查了垂径定理、勾股定理、含度角直角三角形的性质等知识．作于点M，连接，则，先求出，在中，由求得，则．
【详解】解：作于点M，连接，则，
∵，
∴，
∴，
∵中，，
∴，
在中，
∵，即，解得，
∴．
答：的长为．
15．B
【分析】根据抛物线的开口方向、与轴的交点、对称轴可判断①；由抛物线与轴的交点及抛物线的对称性可判断②，对称轴为直线，即可判断③；由抛物线与轴有两个交点，且对称轴为直线，即可判断④．由抛物线与y轴交点在和之间（不与重合）．判断⑤；本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数，二次项系数决定抛物线的开口方向和大小：当时，抛物线向上开口；当时，抛物线向下开口；一次项系数和二次项系数共同决定对称轴的位置：当与同号时（即，对称轴在轴左；当与异号时（即，对称轴在轴右；常数项决定抛物线与轴交点位置：抛物线与轴交于．
【详解】解：∵二次函数的部分图象如图所示，
∴开口向下，
∵图象过点，对称轴为直线，
∴
∴
∵抛物线与y轴交点在和之间（不与重合）．
∴
∴
故①错误；
∵
∴
故③正确；
∵如图：
则图象过点，抛物线开口向下
把代入
∴
∴
故②错误；
∵则图象过点，对称轴为直线
∴抛物线与轴的另一个交点为
∵抛物线开口向下
∴当时，
故④正确的；
把代入，
得
∵
∴
∴
∵
∴
故⑤正确的
故选：B．
16．(1)
(2)的半径为
【分析】本题考查圆的知识，解题的关键是掌握圆的基本性质，勾股定理的运用．
（1）连接，，作直线，的垂直平分线，其交点即为圆心；
（2）根据勾股定理求解即可．
【详解】（1）连接，，作直线，的垂直平分线，其交点即为圆心
∴圆心的坐标为：2,0，

（2）连接，
∵，，
∴，，
∴，
∴的半径为．
17．(1)50，；
(2)见详解；
(3)
【分析】（1）用“街舞”的人数除以占比得到总人数；用“厨艺”的人数除以总人数再乘以即可求解；
（2）先求出选择陶艺的人数，然后即可补全条形统计图．
（3）用列表法求得概率即可求解．
【详解】（1）解：（人），
共有50名学生参与了本次问卷调查．
，
“厨艺”在扇形统计图中所对应的圆心角是．
（2）选择陶艺的人数有：（人），
补全条形统计图如下：
（3）列表如下：
一共有16中可能，小刚和小毅恰好选到同一门课程的情况有4种，
∴小刚和小毅恰好选到同一门课程的情况的概率有：
【点睛】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，用列表法或画树状图法求概率；列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果数，概率=所求情况数与总情况数之比．能对图表信息进行具体分析和熟练掌握概率公式．
18．(1)
(2)
(3)或
【分析】本题主要考查了待定系数法求一次函数，二次函数的关系式，二次函数图象的性质，
（1）先设顶点式，再将顶点坐标代入，并将点代入可得答案.然后令，求出点B，再根据待定系数法求出直线的关系式；
（2）当时求出y，再结合顶点坐标得出函数最大值，即可得出答案；
（3）分三种情况讨论，可得答案．
【详解】（1）设二次函数的关系式为，
∵抛物线的顶点为，
∴二次函数的关系式为．
∵抛物线经过点，
∴二次函数的关系式为，
解得，
∴二次函数的关系式为．
当时，，
∴点．
∵直线经过点A，B，
∴，
解得，
∴直线的关系式为；
故答案为：，；
（2）当时，，
当时，函数值y随着x的增大而增大，最大值为4，当时，函数值y随着x的增大而减小，
∴．
故答案为：；
（3）当时，当时，，
∴当时，；
当时，．
所以当时，x的取值范围是或．
19．(1)见详解
(2)15
【分析】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定与性质，能够正确找到相似三角形是解决本题的关键．
（1）利用“一线三直角”即可证明；
（2）由，求出和的长，利用求出的长度，再由求出的长度，即可求出的长．
【详解】（1）解： 四边形为正方形，
，
，
，
，
∴；
（2）解：四边形为正方形，
，，
，
，
设，
∵，
，
即，
解得：，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
20．(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了圆的概念及性质的应用，垂径定理及勾股定理的应用是解题关键．
（1）由得，再证明，从而证明出，据此可证明结论成立；
（2）根据勾股定理得出，再由垂径定理得出的长即可．
【详解】（1）解：，
，
，
，
，
，
∴，
，
；
（2）解：，，
，
，
，
，
，
．
21．(1)350元
(2)40元
(3)800元
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，解一元二次方程，二次函数的最值问题，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
（1）先求出销量，然后利用每天的利润每件的销售利润每天的销售量，即可求出答案；
（2）利用每天的利润每件的销售利润每天的销售量，得到关于的一元二次方程，解方程，即可得出答案，注意舍弃不符题意的答案；
（3）根据题意，设每天的利润为，利用每天的利润每件的销售利润每天的销售量，得到，求得最大值即可得到答案．
【详解】（1）解：当时，
（元）
答：当每件售价35元时，每天的利润是350元．
（2）解：根据题意得：
整理得：
解得：，（不符合题意，舍去）．
答：每件商品的售价应定为40元．
（3）解：根据题意，设每天的利润为：
当时，有最大值800，即这种商品每天获取的最大利润为800元．
答：商场销售这种商品每天获取的最大利润为800元．
22．(1)
(2)，此时
(3)存在，或或
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）方法一：连接，，通过表示出函数关系，利用函数的性质进行求解；方法二：作于Q，交于点D，，求得函数关系式，进行求解即可；
（3）分两种情况，当四边形为平行四边形时或当四边形为平行四边形时，利用平行四边形的性质进行求解即可．
【详解】（1）解：把点和点代入，
得，
解得，
∴；
（2）解：当时，，
∴，
∴，
方法一：如图1，
连接，
设点，
∴，
∴
，
∴当时，，此时；
方法二：如图2，
作于Q，交于点D，设解析式为：
∵，则，解得
∴直线的解析式为：，
∴，
∴，
∴，
∴当时，，此时；
（3）解：如图3，
当四边形为平行四边形时，，
∵抛物线对称轴为直线：，
∴点的坐标：
如图4，当四边形为平行四边形时，，
作于G，
∵，
∴，
又，
∴，
∴，
当时，，
∴，，
∴，，
综上所述：或或．
【点睛】此题考查了二次函数的综合应用，涉及了二次函数与面积问题，二次函数与特殊的平行四边形，解题的关键是熟练掌握相关基础知识．
23．（1），理由见解析（2），理由见解析（3）
【分析】（1）延长交于点，证明，得出，在利用三角形内角和定理证明出，即可解答；
（2）延长交于，由折叠得，点与点关于对称，得出，再证明，得出；
（3）连接并延长交于点，交于，过作于，交的延长线于，证明出，得到，再证明，利用相似比求出，再求出，利用对角线互相垂直的四边形面积公式即可解答此问．
【详解】解：（1），理由如下，如图1，
延长交于点，
四边形为正方形，
，
，
，
，
在和中，
，
，即；
（2），理由如图下，如图2，延长交于，
由折叠得，点与点关于对称，
，即
，
在和中，
，即；
（3）如图3，连接并延长交于点，交于，过作于，交的延长线于，
由旋转得，，
，
在和中，
∵
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，即，
，
，
．
【点睛】本题考查了四边形的综合，矩形性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、旋转对称性质及勾股定理等知识，正确作出辅助线是本题的解题关键．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
B
A
D
A
D
C
B
A
B
B
题号
15









答案
B









厨艺
绘画
陶艺
街舞
厨艺
(厨艺， 厨艺)
(绘画， 厨艺)
(陶艺， 厨艺)
(街舞， 厨艺)
绘画
(厨艺， 绘画)
(绘画， 绘画)
(陶艺， 绘画)
(街舞， 绘画)
陶艺
(厨艺， 陶艺)
(绘画， 陶艺)
(陶艺， 陶艺)
(街舞， 陶艺)
街舞
(厨艺， 街舞)
(绘画， 街舞)
(陶艺， 街舞)
(街舞， 街舞)