浙江省杭州市杭州中学2024-2025学年上学期九年级10月月考数学卷

这是一份浙江省杭州市杭州中学2024-2025学年上学期九年级10月月考数学卷，共21页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．已知的半径为，点在内，则的长可能是（ ）
A．B．C．D．
2．下列事件中，是随机事件的是（ ）
A．任意选择某一电视频道，它正在播放新闻联播
B．三角形任意两边之和大于第三边
C．是实数，
D．在一个装着白球和黑球的袋中摸球，摸出红球
3．有5张仅有编号不同的卡片，编号分别是2，3，4，5，6，从中随机抽取一张，编号是奇数的概率（ ）
A．B．C．D．
4．如图，已知四边形ABCD内接于⊙O，连接OA，OC，若∠AOC＝116°，则∠ADC的度数是（ ）
A．122°B．120°C．117°D．116°
5．二次函数的图象的对称轴是（ ）
A．直线B．直线C．直线D．直线
6．已知点，，在抛物线上，则，，的大小关系是（ ）
A．B．C．D．
7．下列命题中是真命题的是（ ）
A．三点确定一个圆；B．平分弦的直径平分弦所对的弧；
C．相等的弦所对的圆心角相等；D．相等的弧所对的圆心角相等
8．如图，将半径为的沿折叠，恰好经过与垂直的半径的中点，则折痕长为（ ）
A．B．C．D．
9．如图，是的外角的平分线，与的外接圆交于点．若，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
10．已知二次函数y＝a（x﹣2）2+c，当x＝x1时，函数值为y1；当x＝x2时，函数值为y2，若|x1﹣2|＞|x2﹣2|，则下列表达式正确的是（ ）
A．y1+y2＞0B．y1﹣y2＞0C．a（y1﹣y2）＞0D．a（y1+y2）＞0
二、填空题
11．两直角边长分别为 6 和 8 的直角三角形的外接圆直径是 ．
12．将抛物线向右平移1个单位，再向上平移2个单位，所得抛物线的函数表达式是 ．
13．在一个不透明的袋子中装有4个白球，a个红球．这些球除颜色外都相同．若从袋子中随机摸出1个球，摸到红球的概率为，则 ．
14．如图，在中，，将绕点A顺时针旋转得到，且点E恰好落在边上，则的度数是 ．
15．在抛物线和直线的图象上有三点，则的结果是 ．
16．如图，内接于，是的直径，与相交于点M，且，若的半径为， ，则的值为 ．
三、解答题
17．已知抛物线y＝﹣x2+ax+b经过点A（1，0），B（0，﹣4）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求此抛物线的顶点坐标．
18．如图是一块破碎车轮的一部分．
(1)请你帮他找到这个车轮的圆心（保留作图痕迹）；
(2)过圆心O作的垂线，交于点P，若这个圆的半径为，，求的长．
19．已知：如图，在⊙O中，AB＝CD，AB与CD相交于点M，
(1)求证：；
(2)求证：AM＝DM．
20．有A，B两个黑布袋，A布袋中有三个除标号外完全相同的小球，小球上分别标有数字1，2，3，B布袋中有两个除标号外完全相同的小球，小球上分别标有数字1，2．小明先从A布袋中随机取出一个小球，用m表示取出的球上标有的数字，再从B布袋中随机取出一个小球，用n表示取出的球上标有的数字．
(1)若用表示小明取球时m与n的对应值，画出树状图并写出的所有取值；
(2)求点落在直线上的概率．
21．某商场以每件42元的价格购进一批商品，经试销发现，若每件商品售价60元，则每天可卖出50件，若售价每降低2元，则每天可多卖10件，根据相关规定，每件售价60元已达到毛利润上限，不能再涨价，但也不能以低于进价销售，在销售过程中，商场每天还需支付其它费用共200元．
(1)写出每天的销售量y（件）与销售单价m（元）之间的函数关系式，并指出自变量m的取值范围．
(2)商场应把售价定为多少元才能使每天获得的利润最大？最大利润是多少元？
22．如图，是的直径，为上一点，为上一点，且，延长交于，连接．
(1)求证：；
(2)若，，求的长．
23．在直角坐标系中，设函数（，且m，n为实数），
(1)求函数图象的对称轴．
(2)若m，n异号，求证：函数y的图象与x轴有两个不同的交点．
(3)已知当时，对应的函数值分别为p，q，r，若，求证：．
24．如图1，是的直径，点D为下方上一点，点C为的中点，连结．
(1)求证：平分．
(2)如图2，延长相交于点E，
①求证：．
②若，，求的半径．
参考答案：
1．D
【分析】本题考查点与圆的位置关系，根据点在圆内，点到圆心的距离小于圆的半径进行判断．解题的关键是掌握点与圆的位置关系：设的半径为，点到圆心的距离，则有：点在圆外；点在圆上；点在圆内．
【详解】解：∵的半径为，点在内，
∴，
即的长可能是．
故选：D．
2．A
【详解】解：选项A属于随机事件，所以A对；
选项B属于必然事件,所以B不满足题意；
选项C属于必然事件，所以C不满足题意；
选项D属于不可能事件，所以D不满足题意；
故选A．
3．B
【分析】本题考查简单概率公式求概率，根据题中所给数据，找出奇数有3，5共2个，代入概率公式求解即可得到答案，熟记简单概率公式是解决问题的关键．
【详解】解：在2，3，4，5，6中，奇数为3，5共2个，
编号是奇数的概率为，
故选：B．
4．A
【分析】先根据圆周角定理得到∠B，然后根据根据圆内接四边形的性质得到结论．
【详解】解：∵∠AOC＝116°，
∴∠B＝∠AOC＝58°，
∴∠ADC＝180°﹣∠B＝122°，
故选：A．
【点睛】本题考查了圆周角定理和圆内接四边形的性质，解题关键是熟练运用圆周角的定理进行角的推导计算．
5．C
【分析】由交点式得到函数图象与轴的交点坐标，然后利用对称性得到对称轴，
【详解】解：，
函数图象与轴的交点坐标为，，
函数图象的对称轴为直线，
故选：．
【点睛】本题考查了二次函数的性质和图象，会由交点式得到函数图象与轴的交点坐标是解题的关键．
6．D
【分析】先配方得到抛物线的对称轴为直线，根据二次函数的性质，通过三点与对称轴距离的远近来比较函数值的大小．
【详解】解：∵，
∴抛物线的开口向上，对称轴为直线，
∵点，，，在抛物线上，而点到对称轴的距离最远，在对称轴上，
∴．
故选：D．
【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．
7．D
【分析】根据确定圆的条件，垂径定理，弧、弦、圆心角的关系即可判断．
【详解】解：、三点确定一个圆，是假命题，应该是不在同一直线上三点确定一个圆；
、平分弦的直径平分弦所对的弧，是假命题，条件是此弦非直径；
、在同圆或等圆中，等弦所对的圆心角对应相等，故此命题是假命题
、相等的弧所对的圆心角相等，真命题．
故选：．
【点睛】本题考查命题与定理、确定圆的条件，圆心角、弧、弦的关系，解题的关键是熟练掌握基本知识．
8．B
【分析】本题考查了垂径定理，折叠的性质以及勾股定理，在遇到直径与弦垂直时，常常利用垂径定理得出直径平分弦，进而由圆的半径，弦心距及弦的一半构造直角三角形来解决问题，故延长并连接作出辅助线是本题的关键．延长交于点，交于，由与垂直，根据垂径定理得到为的中点，连接，构造直角三角形，根据折叠的性质得出，即可求出的长，根据勾股定理求出的长，进而得出的长即可得答案．
【详解】解：如图，延长交于点，交于，
∵，
∴，
∵恰好经过与垂直的半径的中点，的半径为，
∴，
∵将半径为的沿折叠，
∴，
∴，
∴，
∴．
故选：B．
9．B
【分析】此题主要考查了角平分线的定义以及圆内接四边形的性质，正确得出是解题关键．直接利用角平分线的定义结合圆内接四边形的性质得出，根据三角形内角和定理即可得的答案．
【详解】解：是的外角的平分线，
，
，，
，
，
，
，
，
．
故选：B．
10．C
【分析】分a＞0和a＜0两种情况根据二次函数的对称性确定出y1与y2的大小关系，然后对各选项分析判断即可得解．
【详解】解：①a＞0时，二次函数图象开口向上，
∵|x1﹣2|＞|x2﹣2|，
∴y1＞y2，
无法确定y1+y2的正负情况，
a（y1﹣y2）＞0，
②a＜0时，二次函数图象开口向下，
∵|x1﹣2|＞|x2﹣2|，
∴y1＜y2，
无法确定y1+y2的正负情况，
a（y1﹣y2）＞0，
综上所述，表达式正确的是a（y1﹣y2）＞0．
故选：C．
【点睛】本题主要考查二次函数的性质，利用了二次函数的对称性，关键要掌握根据二次项系数a的正负分情况讨论．
11．10
【分析】根据勾股定理求出三角形的斜边长，根据圆周角定理解答．
【详解】由勾股定理得，直角三角形的斜边长＝＝10，
由圆周角定理得，这个直角三角形的外接圆直径为 10，
故答案为10．
【点睛】本题考查的是三角形的外接圆与外心，掌握圆周角定理，勾股定理是解题的关键．
12．
【分析】根据二次函数的平移规律即可解答．
【详解】解：将抛物线向右平移1个单位，再向上平移2个单位，所得抛物线的函数表达式是，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了二次函数的平移，解题的关键是掌握二次函数的平移规律：左加右减，上加下减．
13．12
【分析】本题主要考查概率公式，分式方程．根据摸到红球的概率为，利用概率公式建立关于的方程，解之可得．
【详解】解：根据题意，得：，
解得，
经检验：是分式方程的解，
故答案为：12．
14．/37度
【分析】首先根据旋转的性质得到，，然后根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理得到，最后根据三角形内角和定理和旋转的性质即可求出．
【详解】∵将绕点A顺时针旋转得到，
∴，，
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】此题考查了旋转的性质，三角形内角和定理，等腰三角形的性质等知识点，解题的关键是熟练掌握以上知识点．
15．
【分析】根据三点纵坐标相同，可得有两点在抛物线上，设为，根据抛物线解析式得出对称轴为直线，可得，根据在直线上得出，计算即可得答案．本题考查了二次函数的对称性和一次函数图象上点的坐标特征，根据二次函数的对称性得出是解题关键．
【详解】解：∵三点的纵坐标相同，
∴有两点在抛物线上，设为，
∵抛物线解析式为，
∴对称轴为直线，
∴，
∵在直线上，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
16．24
【分析】过O作于E，连接，，，根据垂径定理求出，根据勾股定理求出，则可判断是等腰直角三角形，求出的度数，根据等腰三角形三线合一的性质求出的度数，根据圆周角定理求出的度数，根据垂径定理和线段垂直平分线的性质可判定是等腰直角三角形，可求出，，然后根据勾股定理求解即可．
【详解】解：过O作于E，连接，，，
∴，
∵的半径为，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵直径，
∴平分，
∴，
∴，
∴，
∴
，
故答案为：24．
【点睛】本题考查了垂径定理，圆周角定理，勾股定理，等腰三角形的判定与性质等知识，熟练掌握垂径定理，证出是解题的关键．
17．（1）y＝﹣x2+5x﹣4；（2）抛物线的顶点坐标为（，）．
【分析】（1）把A，B两点代入计算即可；
（2）把函数解析式转化为顶点式计算即可；
【详解】（1）根据题意得到：，
解得，
因而抛物线的解析式是：y＝﹣x2+5x﹣4．
（2）∵y＝﹣x2+5x﹣4＝﹣（x﹣）2+，
∴抛物线的顶点坐标为（，）．
【点睛】本题主要考查了求二次函数的解析式和二次函数顶点式，准确分析计算是解题的关键．
18．(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了过不在同一直线上的三个点的圆的作法，垂径定理，勾股定理，熟练掌握相关知识是解答本题的关键．
（1）在上取点C，经过A、B两点的圆的圆心一定在线段的垂直平分线上，并且经过B、C两点的圆的圆心一定在线段的垂直平分线上，两条垂直平分线相交于点O，则，所以以点O为圆心，线段的长为半径作圆，便可得到经过A、B、C三点的圆；
（2）根据垂径定理可得，根据勾股定理可得，由此即得答案．
【详解】（1）如图，圆心O即为所求；
（2）连结，
，
，
这个圆的半径为，
，
由勾股定理得， ，
．
19．(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）由在⊙O中，AB=CD，根据弦与弧的关系，可证得，继而可证得；
（2）首先连接AC，BD，易证得△ACM≌△DBM，继而证得AM=DM．
【详解】（1）∵在⊙O中，AB＝CD，
∴，
∴，
∴；
（2）连接AC，BD，
∵，
∴AC＝BD，
在△ACM和△DBM中，
，
∴△ACM≌△DBM（ASA），
∴AM＝DM．
【点睛】此题考查了弦与弧的关系、圆周角定理以及全等三角形的判定与性质．注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．
20．(1)画图见解析，，，，，，；
(2)
【分析】（1）首先根据题意画出树状图，然后由树状图即求得所有等可能的结果；
（2）根据树状图，即可求得点落在直线上的概率．
【详解】（1）
解：画树状图得：

则的所有取值为：，，，，，；
（2）∵直线上的点的横纵坐标相等，
∴，在直线上，
∴点落在直线上的概率为：．
【点睛】本题考查的是用画树状图法求概率、正比例函数的知识．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏地列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．注意概率=所求情况数与总情况数之比．
21．(1)
(2)商场应把售价定为56元才能使每天获得的利润最大，最大利润是780元
【分析】（1）根据“销售量原销售量因价格下降而增加的销量”可列函数解析式，由“每件售价60元已达到毛利润上限，不能再涨价，但也不能以低于进价销售”可知m的取值范围；
（2）设商场每天获得的利润为W，根据“总利润单件利润每天销量每天支付的其他费用”可得函数解析式，将其配方成顶点式可知最大值．
【详解】（1）解：∵售价每降低2元，则每天可多卖10件，
∴售价每降低1元，则每天可多卖5件，
∴
；
（2）解：设商场每天获得的利润为W，
则
，
∵，
∴当时，，
答：商场应把售价定为56元才能使每天获得的利润最大，最大利润是780元．
【点睛】本题考查了一次函数以及二次函数的应用，理解题意找到题目蕴含的相等关系并熟练掌握二次函数的性质是解决本题的关键．
22．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）根据圆周角定理得到，则，再利用等腰三角形的性质和三角形内角和得到，从而得到结论；
（2）如图，连接、，利用（1）的结论和圆周角定理得到，，可得，然后利用勾股定理计算的长即可．
【详解】（1）解：∵是的直径，为上一点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，即，
∴．
（2）解：如图，连接、，
∵，由（1）可知，
∴，
∵和是所对的圆周角和圆心角，
∴，
∵和是所对的圆周角和圆心角，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了圆周角定理及其推论，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，勾股定理．熟练掌握圆周角定理及其推论是解题的关键．
23．(1)
(2)见解析
(3)见解析
【分析】（1）把代入函数关系式，再利用解方程组求出a，b即可解题；
（2）令，再有，由m，n异号，可知一元二次方程有两个实数根，即函数y的图象与x轴有两个不同的交点；
（3）把代入表示出p，q，r，再利用，解题即可．
【详解】（1）解：∵函数（，且m，n为实数），
函数图象的对称轴为；
（2）证明：令，则，
即，
m，n异号，
∴，
一元二次方程有两个不相等的实数根，即函数y的图象与x轴有两个不同的交点；
（3）证明：由题可知
，
．
【点睛】本题考查二次函数解析式，顶点坐标，一元二次方程根的情况，整式的加减，熟练掌握数形结合的思想是解题的关键．
24．(1)见详解
(2)①见详解；②的半径为5
【分析】（1）由点C为的中点，得，所以，由垂径定理得，即可根据等腰三角形的“三线合一”证明平分；
（2）由是的直径，得，由，得；
（3）连接，则，由，，由平行线的性质得，则，所以，而，则，所以，设的半径为r，则，，由勾股定理得，求出符合题意的r值即可．
【详解】（1）证明：点C为的中点，
，
，
平分；
（2）①证明：是的直径，
，
，
，
；
②如图2，连接，则，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
设的半径为r，则，
，
，
，
，
整理得，
解得（不符合题意，舍去），
的半径为5．
【点睛】本题考查了垂径定理、直径所对的圆周角是直角、等腰三角形的判定、平行线的判定与性质、等腰三角形的“三线合一”、勾股定理、一元二次方程的解法等知识，此题综合性强，难度较大．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
D
A
B
A
C
D
D
B
B
C