辽宁省沈阳市第一三四中学教育集团2024—-2025学年上学期第一次月考九年级数学试卷

这是一份辽宁省沈阳市第一三四中学教育集团2024—-2025学年上学期第一次月考九年级数学试卷，共22页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、单选题
1．下列方程是关于的一元二次方程的是（ ）
A．B．C．D．
2．若，则下列等式成立的是（ ）
A．B．C．D．
3．若是方程的一个解，则m的值为（ ）
A．1B．2C．D．
4．某商场进行抽奖活动，每名顾客购物满元可以获得一次抽奖机会．抽奖箱中只有两种卡片：“中奖”和“谢谢惠顾”（两种卡片形状大小相同、质地均匀）．下表是活动进行中的一组统计数据：
根据频率的稳定性，估计抽奖一次就中奖的概率约是（ ）
A．B．C．D．
5．下列各组图形中，一定相似的是（ ）
A．两个正方形B．两个矩形C．两个菱形D．两个平行四边形
6．下列平行四边形中，根据图中所标出的数据，不一定是菱形的是（ ）
A． B． C． D．
7．若关于x的一元二次方程有两个实数根，则k的取值范围是（ ）
A．B．C．且D．且
8．如图，△ABC中，点D、E分别在AB、AC边上，则下列条件中，不一定能使△AED∽△ABC的是（ ）
A．∠2=∠BB．∠1=∠CC．D．
9．《九章算术》“勾股”中记载：今有立木，系索其末，委地三尺．引索却行，去本八尺而索尽，问索长几何？译文：今有一竖立着的木柱，在木柱的上端系有绳索，绳索从木柱上端顺木柱下垂后，堆在地面的部分尚有3尺，牵着绳索（绳索头与地面接触）退行，在距木根部8尺处时绳索用尽．问绳索长是多少？设绳索长为x尺，可列方程为（ ）
A．B．C．D．
10．如图，矩形中，，在轴上．且点的横坐标为，若以点为圆心，对角线的长为半径作弧交轴的正半轴于，则点的坐标为（ ）
A． B． C．D．
二、填空题
11．若，且，则 ．
12．在一个不透明的口袋中装有个红球和若干个白球，它们除颜色外其他完全相同．通过多次摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在附近，则口袋中白球可能有 个．
13．如图所示，矩形是一个花园，长AD为、宽AB为，现要在花园中修建等宽的小道．剩余的地方种植花草，要使种植花草的面积为，那么小道进出口的宽度是 ．
14．为线段的黄金分割点，，若，则的长为 ．
15．如图，正方形的边长为4，点，分别在边，上，且，平分，连接，分别交，于点，．是线段上的一个动点，过点作，垂足为，连接．则的最小值为 ， ．
三、解答题
16．解方程：
(1)；
(2)．
17．某景区检票口有A、B、C、D共4个检票通道．甲、乙两人到该景区游玩，两人分别从4个检票通道中随机选择一个检票．
（1）甲选择A检票通道的概率是 ；
（2）求甲乙两人选择的检票通道恰好相同的概率．
18．列方程解应用题：某工厂一月份的产品产量为 100 万件，由于工厂管理理念更新，管理水平提高，产量逐月提高，三月份的产量提高到144万件，求一至三月该工厂产量的月平均增长率．
19．如图，在中，点D、B、C、E在同一条直线上，且．
(1)求证：；
(2)若，求的长度．
20．年月日，神舟十五号发射升空，中国首次实现空间站三船三舱构型，以及6名航天员同时在轨驻留．某网店为满足航空航天爱好者的需求，特推出了“中国空间站”模型．已经知该模型平均每天可售出个，每个盈利元．为了扩大销售，该网店准备适当降价，经过一段时间测算，每个模型每降低1元，平均每天可以多售出2个．
(1)若每个模型降价4元，平均每天可以售出多少个模型？此时每天获利多少元？
(2)在每个模型盈利不少于元的前提，要使“中国空间站”模型每天获利元，每个模型应降价多少元？
21．如图，在菱形中，点，分别是，的中点，连接并延长，交的延长线于点，连接．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)连接，若，，求的长．
22．如图，在平面直角坐标系中，四边形是菱形，点的坐标为，点在轴的正半轴上，为坐标原点，连接．
(1)求线段CB的长；
(2)如图1，在轴上有一点，设的面积为，菱形的面积为，当时，求点的坐标；
(3)如图2，为轴上一点，连接AD，动点从点出发，以个单位秒的速度沿方向运动，秒后，动点从点出发，以个单位秒的速度沿折线方向运动，设点运动时间为秒，是否存在实数，使得以、、为顶点的三角形与相似？若存在，直接写出相应的值；若不存在，请说明理由．
23．（1）如图1，已知正方形纸片，将正方形纸片沿过点A的直线折叠，使点B 落在正方形的内部，点B的对应点为点M，折痕为，延长交于点F，连接，求的度数；
（2）如图2，将正方形纸片沿继续折叠，点C的对应点为点N．当点N恰好落在折痕上，则
① ；
②若 线段 ；
（3）如图3，在矩形中，，点E、F 分别在边上，将矩形沿 折叠，点B落在M处，点D 落在G处，点A、M、G恰好在同一直线上，若 ，求的长．

抽奖次数
1000
抽到“中奖”卡片的次数
中奖的频率
参考答案：
1．A
【分析】本题主要考查了一元二次方程定义，关键是掌握判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住：化简后的方程：含有“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”．根据只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程进行判断即可．
【详解】解：A、是关于的一元二次方程，故符合题意；
B、是二元一次方程，不是关于的一元二次方程，故不合题意；
C、是一元一次方程，不是一元二次方程，故不合题意；
D、中是分式，不是整式，因此不是一元二次方程，故不合题意．
故选：A．
2．D
【分析】本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键．
利用比例的性质逐一判断即可．
【详解】解：A．因为，所以，故A不符合题意；
B．因为，所以，，故B不符合题意；
C．因为，所以，，故C不符合题意；
D．因为，所以，故D符合题意；
故选D．
3．D
【分析】本题考查一元二次方程的解，将方程的解代入方程中求解即可．理解方程的解满足方程是解答的关键．
【详解】解：∵是方程的一个解，
∴，解得，
故选：D．
4．C
【分析】本题考查了利用频率估计概率；
利用频率估计概率求解即可．
【详解】解：根据频率的稳定性，估计抽奖一次就中奖的概率约是，
故选：C．
5．A
【分析】根据相似图形的概念逐项进行判断即可．
【详解】解：A、任意两个正方形的对应角相等，对应边的比也相等，故一定相似，故此选项符合题意；
B、任意两个矩形对应角相等，但对应边的比不一定相等，故不一定相似，此选项不符合题意，
C、任意两个菱形的对应边的比相等，但对应角不一定相等，故不一定相似，此选项不符合题意；
D、任意两个平行四边形对应边的比不一定相等，对应角也不一定相等，故不一定相似，此选项不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查的是相似图形的概念，掌握对应角相等，对应边的比相等的多边形，叫做相似多边形是解题的关键．
6．C
【分析】根据菱形的判定方法逐一进行判断即可．
【详解】解：A、根据等角对等边可得平行四边形的两条邻边相等，即可得到平行四边形为菱形，不符合题意；
B、根据三角形的内角和定理，得到平行四边形的对角线互相垂直，即可得到平行四边形为菱形，不符合题意；
C、根据同旁内角互补，两直线平行，不能得到平行四边形是菱形，符合题意；
D、根据平行四边形的对边平行，两直线平行，内错角相等，以及等角对等边可得平行四边形的两条邻边相等，即可得到平行四边形为菱形，不符合题意；

故选C．
【点睛】本题考查菱形的判定．熟练掌握菱形的判定方法，是解题的关键．
7．D
【分析】根据一元二次方程的定义及根的判别式即可解答．
【详解】解：∵为一元二次方程，
∴，
∵该一元二次方程有两个实数根，
∴，
解得，
∴且，
故选：D．
【点睛】本题考查了一元二次方程的定义及根的判别式，解题的关键是熟知当判别式的值大于0时，方程有两个不相等的实数根，同时要满足二次项的系数不能是0．
8．D
【详解】解：∵∠A=∠A，
A．若添加∠2=∠B，可利用两角法判定△AED∽△ABC，故本选项不符合题意；
B．若添加∠1=∠C，可利用两角法判定△AED∽△ABC，故本选项不符合题意；
C．若添加，可利用两边及其夹角法判定△AED∽△ABC，故本选项不符合题意；
D．若添加，不能判定△AED∽△ABC，故本选项符合题意；
故选D．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定，解答本题的关键是熟练掌握相似三角形的判定定理．
9．D
【分析】本题主要考查勾股定理的应用．设绳索长为x尺，根据勾股定理列出方程，求解即可得出答案．
【详解】解：设绳索长为x尺，可列方程为
．
故选：D
10．C
【分析】根据矩形的性质得出，由题意可知：，再根据点坐标进而可以解决问题；
【详解】解：∵四边形是矩形，
∴
由题意可知：
∵点的横坐标为
∴点的横坐标为
∵点在轴上
∴点的坐标为
故选：C．
【点睛】本题考查了矩形的性质、平面直角坐标系内点的坐标特征；熟练掌握矩形的对角线相等是解题的关键．
11．6
【分析】本题考查了比例的性质，利用了等比性质．根据等比性质，可得答案．
【详解】解：，
由等比性质，得，
所以．
故答案为：6．
12．9
【分析】本题考查了运用频率估算概率的计算方法，解分式方程，掌握频率的计算方法是解题的关键．
根据题意设有白球个，根据频率的计算方法列分式方程求解即可．
【详解】解：设白球有个，
∴，
解得，，
检验，当，原分式方程有意义，
∴口袋中白球可能有个，
故答案为： ．
13．/米
【分析】本题考查一元二次方程的应用，设小道进出口的宽度为x米，根据题意建立一元二次方程，解方程，即可求解．
【详解】解：设小道进出口的宽度为x米，
依题意得，
整理，得．
解得，．
∵(不合题意，舍去)，
∴x=2．
答：小道进出口的宽度应为2米，
故答案为：．
14．/
【分析】本题考查的是黄金分割的概念，熟记黄金比值为 是解题的关键．根据黄金比值为计算即可．
【详解】解：是线段的黄金分割点，且，，
，
，
故答案为：．
15．
【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质等知识．证明，则，再证明，则，得到垂直平分，连接与交于点，交于点，连接，由垂直平分，证明，证明当点与点重合时，的值最小，此时，即的最小值是的长，由，即可得到的最小值为，证明，，则．
【详解】解：四边形是正方形，
，，
，
，
即，
在和中，，
，
，
，
，
，
，
，
平分，
，
又为公共边，
，
，
又，
∴垂直平分，
连接与交于点，交于点，连接，
四边形是正方形，
，
即，
垂直平分，
，
当点与点重合时，的值最小，此时，即的最小值是的长，
正方形的边长为4，
，
，
即的最小值为，
垂直平分，
，
又，
，
故答案为：；．
16．(1)，
(2)，
【分析】本题考查了一元二次方程的解法，根据方程的特点选用适当的方法是解题的关键．
（1）利用配方法解方程即可；
（2）移项后，提取公因式分解因式解方程即可．
【详解】（1）解：
移项，得，
配方，得，
即，
∴，
解得，．
（2）解：，
移项，得，
因式分解，得，
∴或，
解得，．
17．（1）；（2）.
【分析】（1）直接利用概率公式求解；
（2）通过列表展示所有9种等可能结果，再找出通道不同的结果数，然后根据概率公式求解．
【详解】（1）解：一名游客经过此检票口时，选择A通道通过的概率=，
故答案为:；
（2）解：列表如下：
共有16种可能结果，并且它们的出现是等可能的，“甲、乙两人选择相同检票通道”记为事件E，它的发生有4种可能：（A，A）、（B，B）、（C，C）、（D，D）
∴P（E）＝＝．
【点睛】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．
18．20%
【分析】根据题意可以列出相应的方程，从而可以求得该厂一至三月份的月平均增长率．
【详解】解：设一至三月产量的月平均增长率为x，根据题意列方程，得
．
解得．
不合题意，舍去．
∴ x = 0.2 = 20%．
答：该工厂一至三月产量的月平均增长率为20%．
【点睛】本题考查一元二次方程的应用，解答此类问题的关键是明确题意．列出相应的方程．
19．(1)见详解
(2)
【分析】本题考查了相似三角形的性质与判定，等边对等角：
（1）由等边对等角，得，结合，即可作答；
（2）因为相似，所以，直接代数计算，即可作答．
【详解】（1）解：∵
∴，
∴，
∵，
∴；
（2）解：∵
∴
∵，
∴
解得
20．(1)平均每天可以售出个模型，此时每天获利元．
(2)要使“中国空间站”模型每天获利元，每个模型应降价元..
【分析】（1）根据降价，求出降价后得每件利润和每天得销量，即可求出利润；
（2）设每个模型降价x元，则每件利润 元，平均每天可以售出个模型，根据利润可列方程和不等式，解方程即可.
【详解】（1）解：依题意得：
降价4元后每件利润：（元），
降价4元后销量：（个），
降价4元后每天获利：（元），
答：每个模型降价4元，平均每天可以售出个模型，此时每天获利元．
（2）解：设每个模型降价x元，
则每件利润 元，平均每天可以售出个模型，
依题意得：
即：，
解得，，
因为每个模型盈利不少于元，
所以
即，
故，
答：要使“中国空间站”模型每天获利元，每个模型应降价元.
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用——盈利问题，根据销售问题列出方程并正确求解是解题的关键.
21．(1)见解析
(2)
【分析】（1）连接，再根据菱形的性质得出，根据对边分别平行证明是平行四边形即可．
（2）过点作，再根据直角三角形的性质和勾股定理解答即可．
【详解】（1）证明：点，分别是，的中点，
是的中位线，
，则，
四边形是菱形，
，则，
四边形是平行四边形；
（2）解：取的中点，连接，
，
，
四边形是菱形，
，
是等边三角形，
，
，
在中，，
．
四边形是平行四边形，
，
，
在中，根据勾股定理得，．
【点睛】本题考查了菱形性质，勾股定理，等边三角形的判定与性质，关键是根据菱形的性质和平行四边形的判定以及直角三角形的性质解题．
22．(1)
(2)或
(3)存在，或s
【分析】（1）利用勾股定理求出菱形的边长，求出点的坐标，即可理由待定系数法解决问题；
（2）设点的坐标为，分别表示出，代入解答即可；
（3）因为是直角三角形，所以中，必须一个角等于90°，显然只有或．分别画出图形构建方程即可解决问题．
【详解】（1）解:四边形是菱形，
，
，
，
；
（2），，
，
如图中，设点的坐标为，交轴于点，
∴，，
当时，，
解得：或，
或；
（3）存在实数，使得以、、为顶点的三角形与相似；理由如下：
是直角三角形，
中，必须一个角等于90°，显然只有或．
①当时，
，，，
连接，当时，有，
，
若，则有，
又，
，
此时，，即，
即，
；
当时，，连接．
若，
则有，
又，
，
此时，，
即，
(不合题意，舍去)．
若，则，
此时，，
即，
解得：．
综上所述，的值为2或．
【点睛】本题考查的是一次函数的综合应用，面积的计算、三角形相似，勾股定理，解直角三角形等，解题的关键是求有关动点问题时要注意分析题意分情况讨论结果．
23．（4）45度；（2）①60度；②；（3）
【分析】（1）由正方形的性质得，再由折叠的性质得，再说明点F在的角平分线上，即，最后根据角的和差即可解答；
（2）①由折叠的性质和平角的定义即可解答；②先根据①可得，由直角三角形含的性质可得和的长，进而可得和的长，由三角函数可得的长即可；
（3）由可得，再证是的中位线可得，然后再证是正方形，可得、，再利用勾股定理可求的长，进而求得，最后再根据线段的和差即可解答．
【详解】解：（1）∵四边形是正方形，
，，
由折叠得： ，，
∴，
∴点F在的角平分线上，即，
∴；
（2）①如图2，由折叠得：，，
∴，
∵，
．
故答案为：60．
②∵四边形是正方形，
，
，
，
，
，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，解得：．
故答案为：．
（3）如图3，延长交于点P，过点P作于N，

∵，
∴，
∵将矩形纸片沿、折叠，点B落在M处，点D 落在G处，
，，，，
∴，
∴垂直平分，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
在和中，，
，
∴，，
∴，
∴，
∴是的中位线，
∴，
，，
∴四边形是矩形，
又，
∴四边形是正方形，
，
，
∵，
∴，解得：，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质、翻折变换的性质、全等三角形的判定与性质、矩形的性质和判定、含角的直角三角形的性质、三角中位线等知识，熟练掌握正方形的性质和翻折变换的性质是解题的关键．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
A
D
D
C
A
C
D
D
D
C
A
B
C
D
A
（A，A）
（A，B）
（A，C）
（A，D）
B
（B，A）
（B，B）
（B，C）
（B，D）
C
（C，A）
（C，B）
（C，C）
（C，D）
D
（D，A）
（D，B）
（D，C）
（D，D）