湖南省长沙市新华都一中学2024-2025学年八年级上学期第一次素质调研数学试题

这是一份湖南省长沙市新华都一中学2024-2025学年八年级上学期第一次素质调研数学试题，共25页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．如图所示标志是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
2．根据图中的数据，可得的度数为（ ）

A．B．C．60°D．
3．如图，是上一点，交于点，，，若，，则的长是( )
A．0.5B．1C．1.5D．2
4．如图，屋顶钢架外框是等腰三角形，其中，工人师傅在焊接立柱时，只用找到的中点D，就可以说明竖梁垂直于横梁了，工人师傅这种操作方法的依据是（ ）
A．等边对等角B．等角对等边
C．垂线段最短D．等腰三角形“三线合一”
5．中，作边上的高，以下作法正确的是（ ）
A．B．
C．D．
6．若一个多边形的内角和为1080°，则这个多边形的边数为（ ）
A．6B．7C．8D．9
7．如图，，点D，E分别在上，补充下列一个条件后，不能判断的是（ ）
A． B． C．D．
8．等腰三角形的一个内角是，则它的顶角的度数为（ ）
A．B．或C．D．或
9．如图，每个小方格的边长为1，A，B两点都在小方格的顶点上，点C也是图中小方格的顶点，并且是等腰三角形，那么点C的个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
10．如图，在△OAB和△OCD中，OA＝OB，OC＝OD，OA＞OC，∠AOB＝∠COD＝40°，连接AC，BD交于点M，连接OM．下列结论：①AC＝BD；②∠AMB＝40°；③OM平分∠BOC；④MO平分∠BMC．其中正确的个数为（ ）
A．①B．①②C．①②③D．①②④
二、填空题
11．点关于y轴对称的点的坐标是 ．
12．如图，用直尺和圆规作一个已知角的等角，在尺规作图时，用到的三角形全等的判定方法是 ．

13．如图 1，已知三角形纸片 ABC，AB=AC，∠A = 50°，将其折叠，如图 2，使点 A 与点 B重合，折痕为 ED，点 E，D 分别在 AB，AC 上，则∠DBC 的大小为 ．
14．如图，在中，平分交于点D，，垂足为E，若，则的长为 ．
15．如图①是某市地铁入口的双闸门，如图②，当它的双翼展开时，双翼边缘的端点A与B之间的距离为10cm，双翼的边缘cm，且与闸机侧立面夹角，求当双翼收起时，两机箱之间的最大宽度为 cm．
16．如图，在中，，、分别是的平分线，经过点O，且，分别交、于点M、N，则的周长是 ．
三、解答题
17．计算：．
18．（1）解不等式组：
（2）解方程组：
19．先化简，再求值：，其中，．
20．如图，已知，，．
(1)作关于轴对称的；
(2)写出点______，______，______的坐标；
(3)的面积______．
21．如图，点、、、在同一条直线上，，，
(1)求证：；
(2)若，，求的度数．
22．某文具店购进、两种文具进行销售.若每个种文具的进价比每个种文具的进价少2元，且用900元正好可以购进50个种文具和50个种文具，
（1）求每个种文具和种文具的进价分别为多少元？
（2）若该文具店购进种文具的数量比购进种文具的数量的3倍还少5个，购进两种文具的总数量不超过95个，每个种文具的销售价格为12元，每个种文具的销售价格为15元，则将购进的、两种文具全部售出后，可使总利润超过371元，通过计算求出该文具店购进、两种文具有哪几种方案？
23．如图，在等腰中，，为的中点，，垂足为，过点作交的延长线于点，连接．
(1)求证：．
(2)连接，试判断的形状，并说明理由．
24．在平面直角坐标系中，对于点Px,y和数，将点称为点的“-关联点”，例如，点的“3-关联点”为．
(1)若点是点的“1-关联点”，则点的坐标为 ；
(2)，的“-关联点”分别是点，，且点在轴上，的面积为1，求和的值；
(3)点，，以为边在直线的下方作正方形，点，，的“-关联点”分别为，，，若与正方形的边有公共点，直接写出的取值范围．
25．如图，点Aa,0、，且a、b满足．
(1)如图1，求的面积；
(2)如图2，点D从点O出发以每秒1个单位的速度沿y轴正方向运动，点E从点A出发，以每秒2个单位的速度沿x轴负方向运动，设运动时间为t，当时，求t的取值范围：
(3)如图3，点C在线段上，（不与A、B重合）移动，，且，猜想线段之间的数量关系并证明你的结论．
参考答案：
1．A
【分析】本题主要考查了轴对称图形的识别，根据轴对称图形的定义进行逐一判断即可：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就叫做对称轴．
【详解】解：A、是轴对称图形，故此选项符合题意；
B、不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
C、不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
D、不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
故选：A．
2．B
【分析】本题主要考查三角形外角定理，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和计算即可．
【详解】解：∵，，
∴．
故选：B．
3．B
【分析】根据平行线的性质，得出，，根据全等三角形的判定，得出，根据全等三角形的性质，得出，根据，，即可求线段的长．
【详解】∵，
∴，，
在和中，
∴，
∴，
∵，
∴.
故选B．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，平行线的性质的应用，能判定是解此题的关键．
4．D
【分析】本题考查等腰三角形的性质，熟知等腰三角形“三线合一”性质是解答的关键．
根据等腰三角形的性质解答即可．
【详解】解：∵，
∴是等腰三角形，
∵，
∴，
故工人师傅这种操作方法的依据是等腰三角形“三线合一”，
故选：D．
5．C
【分析】本题主要考查了三角形的高．熟练掌握三角形高的定义．是解决本题的关键．从三角形的一个顶点向它对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高．
根据三角形高的定义逐一判断即得．
【详解】∵作边上的高，是过点B向边所在的直线作的垂线段，
∴作法正确的如图所示：
故选：C．
6．C
【详解】解：设这个多边形的边数为n，由n边形的内角和等于180°（n﹣2），
可得方程180°（n﹣2）=1080°，
解得：n=8．
故选C．
【点睛】本题考查了多边形的内角和公式，解题的关键是根据题意列出一元一次方程．
7．D
【分析】本题考查全等三角形的判定，根据三角形全等的判定方法一一判断即可．
【详解】解：A、∵，，，根据即可证明．
B、∵，，，根据即可证明．
C、∵，∴，∵，，根据即可证明．
D、∵，，，不能判定．
故选：D．
8．D
【分析】等腰三角形的一个内角是，则该角可能是底角，也可能是顶角，注意分类计算．
【详解】解：分两种情况：
当70°的角是底角时，则顶角度数为；
当70°的角是顶角时，则顶角为．
综上所述，这个等腰三角形的顶角度数为或，
故选：D．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理；若题目中没有明确顶角或底角的度数，解题时要注意分情况进行讨论，这是十分重要的，也是解答问题的关键．
9．C
【分析】本题主要考查了网格中画等腰三角形，分为腰和为底边两种情况，分别求出符合题意的点C的个数即可得到答案．
【详解】解：如图所示，当为腰时，有符合题意，
当为底边时，有符合题意，
∴点C的个数为3个，
故选：C．
10．D
【分析】由证明得出，，①正确；
由全等三角形的性质得出，由三角形的外角性质得：，得出，②正确；
作于，于，如图所示：则，由证明，得出，由角平分线的判定方法得出平分，④正确；
由，得出当时，才平分，假设，由得出，由平分得出，推出，得，而，所以，而，故③错误；即可得出结论．
【详解】解：，
，
即，
在和中，
，
，
，，①正确；
，
由三角形的外角性质得：，
，②正确；
作于，于，如图2所示：
则，
在和中，
，
，
，
平分，④正确；
，
当时，才平分，
假设
，
，
平分，
，
在和中，
，
，
，
与矛盾，
③错误；
综上所述，正确的是①②④；
故选：D．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的外角性质，角平分线的判定等知识，熟悉相关性质是解题的关键．
11．
【分析】根据关于y轴对称的点“横坐标互为相反数，纵坐标不变”，即可得出答案．
【详解】解：点关于y轴对称的点的坐标是，
故答案为：．
【点睛】本题考查关于y轴对称的点的坐标特征，掌握关于y轴对称的点的坐标变化规律是正确解答的关键．
12．
【分析】连接、，从作图可知，根据证，根据全等三角形的对应角相等推出即可；
【详解】解：连接、，
从作图可知，
在和中
，
∴
∴（全等三角形的对应角相等）；
故答案为：．

【点睛】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：注意：不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角；也考查了作图-基本作图．
13．
【分析】根据等边对等角的性质，及三角形内角和为180°，解得，再由折叠性质，解得，最后根据角度的和差解题即可．
【详解】AB=AC，∠A = 50°，
折叠，折痕为 ED，
故答案为：．
【点睛】本题考查折叠问题，其中涉及等腰三角形的性质、三角形内角和180°等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
14．4
【分析】此题考查角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等，据此得到，由此求出的长，掌握角平分线的性质定理是解题的关键．
【详解】解：∵平分交于点D，，
∴，
∵
∴，
故答案为：4．
15．65
【分析】过点A作于点E，过点B作于点F，根据含30度角的直角三角形的性质即可求出与的长度，然后求出的长度即可得出答案．
【详解】解：过点A作于点E，过点B作于点F，
∵，，
∴，
由对称性可知：，
∴通过闸机的物体最大宽度为cm，
故答案为：65 cm．
【点睛】本题考查解直角三角形，解题的关键是熟练运用含30度的直角直角三角形的性质，本题属于基础题型．
16．16
【分析】本题主要考查了平行线的性质，等角对等边，角平分线的定义，根据、分别是、的平分线，且，推出可得出，，进而得到，，则可得的周长为，据此即可求得答案．
【详解】解：∵、分别是、的平分线，
，，
∵，
，，
，，
，，
∵，，
的周长为：




故答案为：16．
17．
【分析】原式第一项利用有理数的乘方法则计算，第二项利用算术平方根定义计算，第三项利用绝对值的性质计算，最后一项利用立方根定义计算，再算加减法，即可得到结果；
【详解】解：
．
【点睛】此题考查了实数的运算，有理数的乘方，绝对值的性质，立方根和算术平方根，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
18．（1）；（2）
【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，解一元一次不等式组：
（1）先求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集即可；
（2）利用加减消元法解方程组即可．
【详解】解：（1）
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴不等式组的解集为；
（2）
得：，解得，
把代入①得：，解得，
∴原方程组的解为．
19．
【分析】本题考查了整式的化简求值，掌握去括号法则、合并同类项法则是解决本题的关键．
先利用去括号法则、合并同类项法则化简整式，再代入求值．
【详解】解：
．
当时，
原式．
20．(1)见解析
(2)，，
(3)7
【分析】本题主要考查了轴对称变换以及三角形面积求法，正确得出对应点位置是解题关键．
（1）直接利用关于x轴对称点的性质得出对应点位置进而得出答案；
（2）根据图形得出坐标即可；
（3）利用所在长方形形面积减去周围三角形面积进而得出答案．
【详解】（1）解：如图，即为所求，
；
（2）解：，，．
故答案为：，，；
（3）解：．
故答案为：7．
21．(1)见解析
(2)
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，熟练地掌握全等三角形的判定和性质是解决本题的关键.
（1）先证明，再结合已知条件可得结论；
（2）证明，再结合三角形的内角和定理可得结论.
【详解】（1）证明：∵
∴，即
∵，
∴
（2）∵，，
∴，
∵，
∴
22．（1）每个种文具的进价为8元，每个种文具的进价为10元；（2）该五金商店有两种进货方案：①购进种文具67个，种文具24个；②购进种文具70个，种文具25个.
【分析】（1）设每个种文具的进价为元，每个种文具的进价为元，根据“每个种文具的进价比每个种文具的进价少2元，且用900元正好可以购进50个种文具和50个种文具”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设购进种文具个，则购进种文具个，根据购进两种文具的总数量不超过95个且销售两种文具的总利润超过371元，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围，再结合m为整数即可得出各进货方案．
【详解】解：（1）设每个种文具的进价为元，每个种文具的进价为元，依题意，得：
解得：.
答：每个种文具的进价为8元，每个种文具的进价为10元；
（2）设购进种文具个，则购进种文具个，依题意，得：

解得：.
∵为整数，
∴或25，或70，
∴该五金商店有两种进货方案：①购进种文具67个，种文具24个；②购进种文具70个，种文具25个.
故答案为（1）每个种文具的进价为8元，每个种文具的进价为10元；（2）该五金商店有两种进货方案：①购进种文具67个，种文具24个；②购进种文具70个，种文具25个.
【点睛】本题考查二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组．
23．(1)见解析
(2)为等腰直角三角形；理由见解析
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质及等腰三角形性质和判定．
（1）欲求证，先证明，需证明，利用三角形全等，易证．
（2）要判断的形状，看其边有无关系．根据（1）的推导，易证，从而判断其形状．
【详解】（1）证明：在等腰直角中，
，
，
∵，
，
，
∵，
，
，
，
又为的中点，
，
即，
在和中，
，
．
．
，
，
即．
（2）解：是等腰三角形，理由为：
连接，如图所示，
由（1）知：，
，
是等腰直角三角形，且是的平分线，
垂直平分，
，
，
，
是等腰三角形．
24．(1)
(2)，或，
(3)或
【分析】本题以新定义题型为背景，考查了坐标与图形、一元一次不等式等知识点，掌握数形结合的数学思想是解决第三问的关键．
（1）根据定义即可求解；
（2）根据定义得，，结合点在轴上得；由的面积等于即可求解；
（3）根据题意作出正方形得到正方形的边界，根据定义得，，，结合与正方形的边有公共点即可求解．
【详解】（1）解：∵点是点的“1-关联点”，
∴点的坐标为
故答案为：
（2）解：∵，的“-关联点”分别是点，，
∴，
∵点在轴上，
∴
∴
∵的面积为1，
∴，
即：，
解得：或
此时，或
（3）解：由题意作出正方形，点，，，如图所示：
可知：，
∵点，，的“-关联点”分别为，，，
∴，，，
∵与正方形的边有公共点，
∴或，
解得：或
25．(1)
(2)或；
(3)
【分析】（1）根据非负数的性质可求出a、b的值，再求出的值，根据三角形的面积公式即可求解；
（2）先求出，再分两种情况，当点E在上时和当点E在的延长线上时，利用运动表示出，进而表示出和的面积，根据即可得出结论；
（3）由题意可知，在中，利用勾股定理即可得出结论．
【详解】（1）解：，
，，
，
即、，
；
（2）由（1）知，，
，，
由运动知，，
当点E在上时，即时，则，
，
，
，
，
，
即；
当点E在的延长线上时，即，则，
，
，
，
，
，
即或；
（3）猜想，证明如下：
，
，
在中，，
，
由（1）可知，
，
．
【点睛】本题是几何变换综合题，主要考查了非负数的性质、坐标与图形、勾股定理、三角形的面积公式及动点问题，利用数形结合和分类讨论的思想解决问题．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
A
B
B
D
C
C
D
D
C
D