组织 北京市第五中学通州校区2024—2025学年上学期九年级10月月考数学试卷

这是一份组织 北京市第五中学通州校区2024—2025学年上学期九年级10月月考数学试卷，共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.下列各组长度的线段单位：中，成比例线段的是( )
A. 2，3，4，5B. 1，3，4，10C. 2，4，5，10D. 1，5，3，12
2.下列每个选项的两个图形，不是相似图形的是( )
A. B.
C. D.
3.两地的距离是500米，地图上的距离为10厘米，则这张地图的比例尺为( )
A. 1：50B. 1：500C. 1：5000D. 1：50000
4.与的相似比为1：3，则与的面积比为( )
A. 1：3B. 1：4C. 1：9D. 1：16
5.如图，已知直线，直线m、n分别与直线、、分别交于点A、B、C、D、E、F，若，，则的值为( )
A.
B.
C.
D.
6.下列函数中，是二次函数的是( )
A. B.
C. D.
7.如图，小正方形的边长均为1，则下列图形中的三角形阴影部分与相似的是( )
A. B. C. D.
8.如图，某校数学兴趣小组利用标杆BE测量建筑物的高度，已知标杆BE高，测得，，则建筑物CD的高是( )
A.
B. 17m
C.
D. 18m
二、填空题：本题共9小题，共19分。
9.若，则的值为______.
10.如图，四边形ABCD和相似，已知，，，则______
11.如图，在中，D为AB边上的一点，要使∽成立，还需要添加一个条件为______.
12.已知∽，且面积比为9：4，则与的对应角平分线之比为______.
13.二次函数的一次项系数是______.
14.如图，在中，D、E分别是AB、BC上的点，且，若：：3，则：______.
15.如图所示，在正方形ABCD中，G为CD边中点，连接AG并延长交BC边的延长线于E点，对角线BD交AG于F点．已知，则线段AE的长度为______.
16.数学中，把这个比例称为黄金分割比例.鹦鹉螺曲线的每个半径和后一个半径的比都是黄金比例，是自然界最美的鬼斧神工.如图，P是AB的黄金分割点，若线段AB的长为8cm，则BP的长为______
17.在《数书九章》宋秦九韶中记载了一个测量塔高的问题：如图所示，AB表示塔的高度，CD表示竹竿顶端到地面的高度，EF表示人眼到地面的高度，AB、CD、EF在同一平面内，点A、C、E在一条水平直线上.已知米，米，米，米，人从点F远眺塔顶B，视线恰好经过竹竿的顶端D，可求出塔的高度.根据以上信息，塔的高度为______米.
三、解答题：本题共11小题，共88分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
18.本小题8分
已知线段a、b、c，且若线段a、b、c满足，求的值.
19.本小题8分
如图，AC，BD相交于点O，，求证：∽
20.本小题8分
如图，已知，点E、F在线段BD上，，
求证：∽；
若，，求EF的长．
21.本小题8分
如图，在中，，，D是AC上一点，，，连接AE，求CD的长.
22.本小题8分
如图，在的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，和的顶点都在边长为1的小正方形的格点上.
______
判断与是否相似，若相似，请给出证明；若不相似，请说明理由.
求：
23.本小题8分
如图，用长为18m的篱笆虚线部分，两面靠墙围成矩形的苗圃.
设矩形的一边为，面积为，求y关于x的函数关系式；
上述函数是什么函数？
并写出自变量x的取值范围；
当时，所围苗圃的面积是多少？
24.本小题8分
如图，在中，，，，过点C作AB的平行线交的平分线于点D，BD交边AC于点E，求DE的长．
25.本小题8分
如图，已知，，是直角坐标系平面上三点．
把向右平移4个单位再向下平移1个单位，得到，画出平移后的图形；
若内部有一点，则平移后它的对应点的坐标为______；
以原点O为位似中心，将缩小为原来的一半，得到，请在所给的坐标系中作出所有满足条件的图形．
26.本小题8分
如图，在中，，，，点P从点A出发，以的速度沿AB运动；同时，点Q从点B出发，以的速度沿BC运动．当点Q到达点C时，P，Q两点同时停止运动．设点P，Q运动的时间为当与相似时，t的值是多少？
27.本小题8分
在中，，，点D在射线BC上不与点B、C重合，连接AD，将AD绕点D顺时针旋转得到DE，连接
如图1，点D在BC边上．
①依题意补全图1；
②作交AB于点F，若，，求BE的长；
如图2，点D在BC边的延长线上，用等式表示线段AB、BD、BE之间的数量关系直接写出结论
28.本小题8分
定义：如果一个三角形中有一个角是另一个角的2倍，那么我们称这样的三角形为倍角三角形．根据上述定义可知倍角三角形中有一个角是另一个角的2倍，所以我们就可以通过作出其中的2倍角的角平分线，得出一对相似三角形，再利用我们学过的相似三角形的性质解决相关问题．请通过这种方法解答下列问题：
如图1，中，AD是角平分线，且，求证：是倍角三角形；
如图2，已知是倍角三角形，且，，，求AC的长；
如图3，已知中，，，，求AC的长．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：：：10，
，4，5，10成比例线段．
故选：
根据比例线段的定义进行判断．
本题考查了比例线段：对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的比即它们的长度比与另两条线段的比相等，如a：：即，我们就说这四条线段是成比例线段．
2.【答案】D
【解析】解：形状相同，符合相似图形的定义，此选项不符合题意；
B.形状相同，符合相似图形的定义，此选项不符合题意；
C.形状相同，符合相似图形的定义，此选项不符合题意；
D.形状不相同，不符合相似图形的定义，此选项符合题意；
故选：
根据相似图形的定义，对选项进行一一分析，排除错误答案．
本题考查的是相似图形的定义，结合图形，即图形的形状相同，但大小不一定相同的图形是相似图形。
3.【答案】C
【解析】解：米厘米，
比例尺：：
这张地图的比例尺为1：
故选：
根据比例尺=图上距离：实际距离，可直接求得这张地图的比例尺．
考查了比例线段，理解比例尺的概念，表示比例尺的时候，注意统一单位长度．
4.【答案】C
【解析】解：∽，相似比为1：3，
与的面积比为1：9，
故选：
根据相似三角形的面积的比等于相似比的平方解答即可．
本题考查的是相似三角形的性质，掌握相似三角形的面积的比等于相似比的平方是解题的关键．
5.【答案】B
【解析】解：，
，
，，
，
即，
故选：
本题考查了平行线分线段成比例定理，
注意：一组平行线截两条直线，所截的线段对应成比例．
根据平行线分线段成比例定理解答即可．
6.【答案】D
【解析】解：A、当时，不是二次函数，故A错误；
B、可化简为，不是二次函数，故B错误；
C、可化简为，不是二次函数，故C错误；
D、整理后为，故D正确．
故选：
根据二次函数的定义回答即可．
本题主要考查的是二次函数的定义，掌握二次函数的定义是解题的关键．
7.【答案】B
【解析】解：设各个小正方形的边长为1，则已知的三角形的各边分别为，2，，
A、因为三边分别为：，，3，三边不能与已知三角形各边对应成比例，故两三角形不相似；
B、因为三边分别为：1，，，三边与已知三角形的各边对应成比例，故两三角形相似；
C、因为三边分别为：1，，，三边不能与已知三角形各边对应成比例，故两三角形不相似；
D、因为三边分别为：2，，，三边不能与已知三角形各边对应成比例，故两三角形不相似，
故选：
设各小正方形的边长为1，根据勾股定理分别表示出已知阴影三角形的各边长，同理利用勾股定理表示出四个选项中阴影三角形的各边长，利用三边长对应成比例的两三角形相似可得出图中的阴影三角形与已知三角形相似的选项．
此题考查了相似三角形的判定以及勾股定理的运用；相似三角形的判定方法有：1、两对对应角相等的两三角形相似；2、两边对应成比例且夹角相等的两三角形相似；3、三边长对应成比例的两三角形相似；4、相似三角形的定义．本题利用的是方法
8.【答案】A
【解析】解：，，
，
∽，
，
，，，
，
，
解得，，
即建筑物CD的高是，
故选：
根据题意和图形，利用三角形相似，可以计算出CD的长，从而可以解答本题．
本题考查相似三角形的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
9.【答案】
【解析】解：，
，
，
故答案为：
先利用比例的性质得，再根据即可得出答案．
此题主要考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解决问题的关键．
10.【答案】80
【解析】解：四边形ABCD和相似，，，
，，
，
，
故答案为：
根据相似图形的性质得出，，即可解答．
本题考查了相似图形的性质，解题的关键是掌握相似图形对应角相等．
11.【答案】或或
【解析】解：，，
∽，
故添加条件即可求得∽
同理可得：或或可以得出∽；
故答案为：或或
根据相似三角形对应角相等，可得，故添加条件即可求得∽，即可解题．
此题考查了相似三角形对应角相等的性质，相似三角形的证明，添加条件并求证∽是解题的关键．
12.【答案】3：2
【解析】解：∽，且面积比为9：4，
与的相似比为3：2，
与的对应角平分线之比为3：
故答案为：3：
根据相似三角形性质先求出相似比，然后进一步即可得出对应角平分线之比．
本题主要考查了相似三角形相似比的性质，熟练掌握相关概念是解题关键．
13.【答案】
【解析】解：二次函数的一次项系数是，
故答案为：
根据二次函数的一般式即可求解．
本题考查了二次函数的定义，掌握二次函数的一般式是解题的关键．
14.【答案】1：6
【解析】解：过点D作于点F；
，
为、的公共高，
，
：：3，
：：3；若设，则；
，
∽，
，
，而，
，
：：6，
故答案为1：
如图，作辅助线；证明，得到；证明∽，得到，由，求得，即可解决问题．
该题主要考查了相似三角形的判定及其性质、三角形的面积公式等几何知识点及其应用问题；解题的关键是灵活运用相似三角形的判定及其性质、三角形的面积公式等来分析、判断、解答．
15.【答案】12
【解析】解：四边形ABCD为正方形，
，，
，，
∽，
，
，
，，
为的中位线，
故答案是：
本题考查了相似三角形的判定与性质、正方形的性质以及三角形的中位线，利用相似三角形的性质求出AF的长度是解题的关键．
根据正方形的性质可得出，进而可得出∽，根据相似三角形的性质可得出，结合可求出AF、AG的长度，由、可得出CG为的中位线，再利用三角形中位线的性质可求出AE的长度，此题得解．
16.【答案】
【解析】解：点P是AB的黄金分割点，线段AB的长为8cm，
，
，
故答案为：
根据黄金分割的定义进行计算即可解答．
本题考查了黄金分割的比例线段，熟练掌握黄金分割的定义是解题的关键．
17.【答案】
【解析】解：过点F作，垂足为G，延长FG交AB于点H，
由题意得：，米，米，米，
，
米，
米，
，
∽，
，
，
，
米，
塔的高度为米，
故答案为：
过点F作，垂足为G，延长FG交AB于点H，根据题意可得：，米，米，米，从而可得，米，然后证明A字模型相似三角形，∽，从而利用相似三角形的性质求出BH的长，最后利用线段的和差关系进行计算，即可解答．
本题考查了相似三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
18.【答案】解：设，
所以，，，
，
，
解此方程得，
则，，，
则
【解析】本题考查了比例的性质，设，则，，，求出k的值，进而得出a、b、c的值，即可解答．
此题主要考查了比例的性质，根据已知得出，，进而得出k的值是解题关键．
19.【答案】证明：，BD交于点O，
，
，
∽
【解析】根据对顶角相等可得，然后结合证明即可．
此题考查相似三角形的判定，解答本题的关键是根据有两组角对应相等的两个三角形相似解答．
20.【答案】证明：，
，
，，
：：，
∽；
解：，，
，
，

【解析】由，可得，又由，，即可证得：∽；
由，，即可求得BE的长，继而求得答案．
此题考查了相似三角形的判定与性质．注意掌握有两边对应成比例且夹角相等三角形相似是关键．
21.【答案】解：，
，
，
∽，
，
，，，
，

【解析】根据两角对应相等的两三角形相似即可证明∽，根据相似三角形对应边成比例将，，，代入计算即可．
本题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握定理是解题的关键．
22.【答案】135
【解析】解：，，
，
，
故答案为：135；
与相似，
理由：由同理可得，
，
，，
，
，
∽；
，
：
先求出，即可解答；
先得出，再得出，即可求证；
分别求出与的面积，即可解答．
本题考查了勾股定理，相似三角形的判定和性质，熟练掌握勾股定理，相似三角形的判定和性质定理是解题的关键．
23.【答案】解：由已知，矩形的另一边长为，
则，
即；
是二次函数；
根据实际意义，得，
解得：，
自变量x的取值范围为；
把代入，
得，
答：当时，所围苗圃的面积是
【解析】篱笆只有两边，且其和为18，设一边为x，则另一边为，根据公式表示面积求解即可；
根据二次函数定义可得答案；
根据实际意义，矩形边长应大于0，列不等式组求解即可；
把代入解析式计算即可．
本题考查了函数关系式，函数的概念和函数自变量的取值范围，根据题意求出二次函数解析式是解题的关键．
24.【答案】解：，，，
，
平分，
，
，
，
，
，
，
∽，
，
，
在中，，
，

【解析】先利用勾股定理计算出，再证明得到，接着证明∽，则，利用比例的性质可计算出CE，则利用勾股定理可计算出BE，然后利用比例性质求出DE的长．
本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形，灵活运用相似三角形的性质表示线段之间的关系．
25.【答案】如图所示，即为所求；
；
如图所示，即为所求．
【解析】解：见答案；
向右平移4个单位再向下平移1个单位，得到，
点的对应点的坐标为，
故答案为：；
见答案.
【分析】根据向右平移4个单位再向下平移1个单位得到，画出平移后的图形即可；
根据向右平移4个单位再向下平移1个单位，可知横坐标增加4，纵坐标减小1；
根据以原点O为位似中心，将缩小为原来的一半，得到即可．
本题主要考查了位似变换以及平移变换，解题时注意：①画一个图形的位似图形时，位似中心的选择是任意的，这个点可以在图形的内部或外部或在图形上，对于具体问题要考虑画图方便且符合要求．②由于位似中心选择的任意性，因此作已知图形的位似图形的结果是不唯一的．
26.【答案】解：根据题意可得，，
当∽时，，
即，
解得；
当∽时，，
即，
解得
综上所述，当与相似时，t的值是或
【解析】【分析】
分两种情况进行讨论，由相似三角形的性质列出方程，即可求解．
【点评】
本题主要考查了相似三角形的判定与性质，利用分类讨论的思想解决问题是解题的关键．
27.【答案】解：①补全图形，如图1所示．
②如图1②，
由题意可知，
，
，，
≌
在和中，
，，
，
即

【解析】【分析】
本题考查了作图-旋转变换，全等三角形的判定与性质，关键是根据题意证明三角形全等，同时涉及勾股定理，等腰直角三角形的性质的知识点．
①根据题意画出图形即可；
②根据SAS证明≌，根据全等三角形的性质得到在和中，根据勾股定理得到，再根据线段的和差关系得到，即
根据AAS证明≌，根据全等三角形的性质得到再根据等腰直角三角形的性质得到，，根据等量关系即可得到
【解答】
见答案；
见答案；
解：如图，过点E作，垂足为F，
由题意得，，，
，
，
又，
≌，
，，
，
，，
，
，
28.【答案】证明：是的角平分线，
，
，
，
，
∽，
，
，
是倍角三角形；
解：如图2，作的角平分线AD，则，
，
，
，
∽，
，
，，
，
，
，
，
；
解：如图3，过点A作的三等分角，AD，AE，分别交BC于点D，E，
则，
，
，
，
∽，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，，
∽，
，
，
，
，

【解析】根据相似三角形的判定和性质得出，进而解答即可；
作的角平分线AD，根据相似三角形的判定和性质得出，进而解答即可；
过点A作的三等分角，AD，AE，分别交BC于点D，E，根据相似三角形的判定和性质得出，进而解答即可．
本题考查相似三角形的综合问题，考查了“倍角三角形”的定义、相似三角形的判定与性质等知识点，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．