上海师范大学附属金山前京中学2024-—2025学年上学期九年级10月月考数学试卷

这是一份上海师范大学附属金山前京中学2024-—2025学年上学期九年级10月月考数学试卷，共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.如图，已知，BD：：3，那么下列结论中，正确的是( )
A. CD：：5
B. AB：：5
C. AC：：5
D. CE：：5
2.已知点D、E分别在的边AB、AC的反向延长线上，且，如果AD：：4，，那么边BC的长是( )
A. 8B. 10C. 6D. 4
3.如图，已知，AD：：5，，那么CE的长等于( )
A. 2
B. 4
C.
D.
4.已知点P是线段AB的黄金分割点，且，则下列比例式能成立的是( )
A. B. C. D.
5.下列命题中，说法正确的是( )
A. 所有菱形都相似
B. 两边对应成比例且有一组角对应相等的两个三角形相似
C. 三角形的重心到一个顶点的距离，等于它到这个顶点对边距离的两倍
D. 斜边和直角边对应成比例，两个直角三角形相似
6.如图，点E是线段BC的中点，，下列结论中，说法错误的是( )
A. 与相似B. 与相似
C. D.
二、填空题：本题共12小题，每小题4分，共48分。
7.已知，那么的值为______.
8.冬日暖阳，下午4点时分，小明在学恔操场晒太阳，身高米的他，在地面上的影长为2米，则此时高度为9米的旗杆在地面的影长为______米．
9.在比例尺为1：10000的地图上，相距5厘米的两地实际距离为______千米．
10.已知点C是线段AB的黄金分割点，如果，则______.
11.如果两个相似三角形面积之比为3：2，那么这两个三角形的周长之比为______.
12.如图，平行四边形ABCD，F为BC中点，延长AD至E，使DE：：3，连接EF交DC于点G，则：______.
13.点G是的重心，过点G作BC边的平行线与AB边交于点E，与AC边交于点F，则______.
14.已知在矩形ABCD中，，，点P是射线BC上的一个动点，过点P作，交直线CD于点Q，那么当时，CQ的值是______.
15.如图，在中，，，点D在边AC上，，那么AD的长是______.
16.在中，，DE交边AB、AC分别于点D、E，如果与四边形BCED的面积相等，那么AD：DB的值为______.
17.我们把三角形三边上的高产生的三个垂足组成的三角形称为该三角形的垂三角形.已知等腰三角形的腰长为5，底边长为6，则该三角形的垂三角形的周长是______.
18.如图，在中，，，，D是AC的中点，点E在边AB上，将沿DE翻折，使得点A落在点处，当时，则______.
三、解答题：本题共7小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.本小题10分
已知：a：b：：3：
求代数式的值；
如果，求a，b，c的值．
20.本小题10分
如图，已知梯形ABCD中，，的面积等于9，的面积等于6，，求CD的长．
21.本小题10分
已知：在直角梯形ABCD中，，，，连接BD，垂足为
求证：∽；
求线段AE的长．
22.本小题10分
已知：如图，在中，点D在边BC上，，BE与AD、AC分别相交于点F、G，
求证：∽；
联结DG，求证：
23.本小题12分
如图，中，，E是AD边上一点，联结BE，过点D作，垂足为F，且，联结AF、CF，CF与边AD交于点
求证：；
24.本小题12分
我们知道，互相垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系.如果坐标系中两条坐标轴不垂直，那么这样的坐标系称为“斜坐标系”.
如图1，P是斜坐标系xOy中的任意一点，与直角坐标系相类似，过点P分别作两坐标轴的平行线，与x轴、y轴交于点M、N，若M、N在x轴、y轴上分别对应实数a、b，则有序数对叫做点P在斜坐标系xOy中的坐标.
如图2，已知斜坐标系xOy中，，试在该坐标系中作出点，并求点O、A之间的距离；
如图3，在斜坐标系xOy中，已知点、点，是线段BC上的任意一点，试求x、y之间一定满足的一个等量关系式；
若问题中的点P在线段BC的延长线上，其它条件都不变，试判断上述x、y之间的等量关系是否仍然成立，并说明理由.
25.本小题14分
如图，已知中，，，点D是边AB上的动点，过点D作，交边AC于点E，点Q是线段DE上的点，且，连接BQ并延长，交边AC于点设，
求y关于x的函数解析式及x的取值范围；
当是等腰三角形时，求BD的长；
连接CQ，当和互补时，求x的值．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：，
，
，
故选：
根据平行线分线段成比例定理判断即可得到结果．
本题主要考查平行线分线段成比例，掌握平行线分线段所得线段对应成比例是解题的关键．
2.【答案】C
【解析】解：如图，
，
∽，
，
，，
，
，
故选：
本题考查了相似三角形的性质和判定的应用，能推出∽是解此题的关键．
根据相似三角形的判定定理，得出∽，根据相似三角形的性质求出即可．
3.【答案】C
【解析】【解答】
解：，
，即，
，
故选：
【分析】
本题考查了平行线分线段成比例定理．
根据平行线分线段成比例定理得到，即，可计算出BC，然后利用进行计算．
4.【答案】C
【解析】解：根据黄金分割定义，可知AP是AB和BP的比例中项，
即，
故选：
本题考查了黄金分割的知识，解决本题的关键是掌握黄金分割的定义．
根据黄金分割的定义：把线段AB分成两条线段AP和，且使AP是AB和BP的比例中项，叫做把线段AB黄金分割，点P叫做线段AB的黄金分割点.
5.【答案】D
【解析】解：A、所有的菱形不都相似，故错误，不符合题意；
B、两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，故错误，不符合题意；
C、三角形的重心到一个顶点的距离等于它到对边中点距离的两倍，故错误，不符合题意；
D、斜边和直角边对应成比例的两个直角三角形是相似的，故正确，符合题意；
故选：
本题考查了命题与定义的知识，解题的关键是了解菱形的定义、相似三角形的判定方法、三角形的重心的性质等知识．
利用菱形的定义、相似三角形的判定方法、三角形的重心的性质等知识分别判断后即可确定正确的选项．
6.【答案】D
【解析】解：，，
，
，
∽，
，
点E是线段BC的中点，则，
，
，
，
∽，
，
故选项A，B，C正确，D错误.
故选：
本题考查相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题．
证明∽，∽，可得结论．
7.【答案】
【解析】解：，
，
故答案为：
本题考查比例的基本性质，根据已知得到是解题关键．
由已知可得，代入所求的代数式可得答案．
8.【答案】12
【解析】解：设旗杆的影长x米，根据题意得：
，
解得：
故答案为：
在同一时刻物高和影长成正比，即在同一时刻的两个物体，影子，经过物体顶部的太阳光线构成的两个直角三角形相似解答即可．
本题考查了相似三角形的应用，只要是把实际问题抽象到相似三角形中，利用相似三角形的相似比，列出方程，通过解方程求出旗杆的影长，体现了方程的思想．
9.【答案】
【解析】解：根据比例尺=图上距离：实际距离，
设两地实际距离为x厘米，得1：：x，
相距5厘米的两地的实际距离是厘米千米
故答案为：
本题考查了比例线段，能够根据比例尺正确进行计算，注意单位的转换．
比例尺=图上距离：实际距离，根据题意列出等式即可得出实际的距离．
10.【答案】或
【解析】解：点C是线段AB的黄金分割点，
当时，，
，
，
当时，，
，
，
综上所述：或，
故答案为：或
分、两种情况，根据黄金比值计算即可．
本题考查的是黄金分割的概念，掌握黄金比值是、灵活运用分情况讨论思想是解题的关键．
11.【答案】：
【解析】解：两个相似三角形的面积之比为3：2，
它们的周长比为：，
故答案为：：
已知了两个相似三角形的面积比，即可得到它们的相似比，由于相似三角形的面积比等于相似比的平方，由此得解．
此题考查的是相似三角形的性质：熟练掌握相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方是关键．
12.【答案】
【解析】解：设，
：：3，
，
四边形ABCD是平行四边形，
，，
点F是BC的中点，
，
，
∽，
故答案为：
本题主要考查了相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质，中点的定义，熟练掌握相似三角形的判定和性质定理是解本题的关键．
先设出，进而得出，再用平行四边形的性质得出，进而求出CF，最后用相似三角形的性质即可得出结论．
13.【答案】
【解析】解：连接AG并延长交BC于点D，
，
，
是的重心，
，
故答案为：
本题考查三角形重心定理，熟练掌握三角形重心定理，灵活应用平行线的性质是解题的关键．
连接AG并延长交BC于点D，由，可得，又由G是的重心，可得，可得
14.【答案】
【解析】解：如图，
，，
，
，
在矩形ABCD中，，
，
，
，
又，
∽，
，
，
故答案为：
本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，掌握相似三角形的性质是本题的关键．
通过证明∽，可得，即可求解．
15.【答案】
【解析】解：，
，
，
，
，
，
∽，
，
又，，，
即，
，
故答案为：
本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用；在运用相似三角形的性质时，灵活利用相似比进行几何计算，也考查了等腰三角形的性质．
利用等腰三角形的性质得到，，则，于是可判断∽，然后利用相似比计算出CD的长，最后计算AD即可．
16.【答案】
【解析】解：，
∽，
，
与四边形BCED的面积相等，
，
，
故答案为：
本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用；在运用相似三角形的性质时，灵活利用相似比进行几何计算．
先证明∽，利用相似三角形的性质得到，则，然后利用比例的性质得到的值．
17.【答案】
【解析】解：如图：
，，，
，
，，
设，由勾股定理得
，
∽，
，
，
的周长，
故答案为：
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可得DF与BC的关系，DE与BC的关系，根据相似三角形的性质，可得EF的长，根据三角形的周长，可得答案．
本题考查了相似三角形的判定与性质，先求出DE、DE的长，再根据相似三角形的性质，求出EF的长，最后求出三角形的周长．
18.【答案】
【解析】【分析】
本题考查翻折变换，相似三角形的判定和性质，勾股定理，等腰直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考填空题中的压轴题．
如图，作于F，连接想办法求出AE，利用等腰直角三角形的性质求出即可．
【解答】
解：如图，作于F，连接
在中，，
，，
∽，
，
，
，，
，
，
由翻折不变性可知：，
，
，
故答案为：
19.【答案】解：：b：：3：5，
可设，，，
；
，
，
解得
则，
，

【解析】本题考查了比例的性质，利用“设k法”求解更简便．
根据比例设，，，然后代入比例式进行计算即可得解；
先设，，，然后将其代入，即可求得a、b、c的值．
20.【答案】解：，
，…分
的面积等于9，的面积等于6，
，分
，
，

【解析】根据的面积等于9，的面积等于6，可知OB：OD的值，再根据平行线分线段成比例即可求解．
本题主要考查了平行线分线段成比例和等高三角形的面积的比等于对应底边的比的性质，熟练掌握性质是解题的关键．
21.【答案】证明：，
，
，
，
，
，
，
∽；
解：，又，
，
，
由∽，
得，
，，
，
，

【解析】由等腰三角形的性质可知，由可知，，由此可得，又，即可证∽；
由等腰三角形的性质可知，，根据∽，利用相似比求BE，在中，利用勾股定理求
本题考查了相似三角形的判定与性质．关键是要懂得找相似三角形，利用相似三角形的性质及勾股定理解题．
22.【答案】证明：
，
，
∽，
，
，
，
，
，
∽；
∽，
，
，
∽，
，
，
，
，
，

【解析】通过证明∽，可得，由平行线的性质可得，且，可证∽；
由相似三角形的性质可得，且，可证∽，可得，由平行线分线段成比例可得，可得结论．
本题考查了相似三角形的判定和性质，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，属于中考常考题型．
23.【答案】证明：，，
，
，，
，
，
，
，又，
∽，
；
∽，
，
，
，
，
，，
∽，
，
，又，
∽，
，
，
，
，又，
∽，
，即
【解析】证明∽，根据相似三角形的性质证明结论；
证明∽，得到，得到∽，根据相似三角形的性质得到，证明∽，根据相似三角形的性质证明结论．
本题考查的是相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
24.【答案】解：作轴，AM与x轴交于点M，轴，AN与y轴交于点N，
则四边形AMON为平行四边形，且，
是菱形，
平分，
又，
，
是等边三角形，
；
过点P分别作两坐标轴的平行线，与x轴、y轴交于点M、N，
则 ，，
由，得，即；
由，得，即；
，
即
当点P在线段BC的延长线上时，上述结论仍然成立．理由如下：这时 ，，
与类似，，
又
，即
【解析】作轴，AM与x轴交于点M，轴，AN与y轴交于点N，构建菱形AMON，然后根据菱形的性质以及等边三角形的判定与性质来求OA的长度；
过点P分别作两坐标轴的平行线，与x轴、y轴交于点M、N，则 ，；根据平行线截线段成比例分别列出关于x、y的比例式、；再由线段间的和差关系求得知；
当点P在线段BC的延长线上时，上述结论仍然成立．理由如下：这时 ，，证明过程同
本题综合考查了平行线截线段成比例、平行四边形的判定与性质以及等边三角形的判定与性质．解答本题时，是通过作辅助线构建平行四边形或菱形解答问题的．
25.【答案】解：如图所示，过点D作，交BP于F，则
根据，可得
，
又，
，
，，，
，
，即，
，x的取值范围：；
，
∽，
当为等腰三角形时，也为等腰三角形，
①当时，∽，
，即，
解得，
，
解得；
②当时，，
，
解得；
③当时，点P与点A重合，不合题意；
，
，
又和互补，
，
，
，
四边形BCED是等腰梯形，
，
，
又，
，
∽，
，即，
，，
，
，即，
解得
【解析】过点D作，交BP于F，根据平行线分线段成比例定理，可得，，，进而根据，求得，x的取值范围为：；
当为等腰三角形时，也为等腰三角形，分三种情况讨论：①当时，②当时，③当时，分别求得BD的长即可；
先根据已知条件判定四边形BCED是等腰梯形，判定∽，得出，即，再根据，得出，即，求得x的值即可．
本题属于三角形综合题，主要考查了相似三角形的判定与性质，等腰梯形的判定与性质的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造相似三角形，运用相似三角形的对应边成比例进行求解．在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用．