河南省郑州市第四高级中学2024-2025学年高一上学期9月月考数学试卷.

这是一份河南省郑州市第四高级中学2024-2025学年高一上学期9月月考数学试卷.，共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．下列关系中：①，②，③，④正确的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
2．若，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．若不等式对于一切．恒成立，则a的最小值是（ ）
A．0 B． C． D．
4．集合的关系是（ ）
A． B． C． D．
5．已知，则的最小值为（ ）
A． B．0 C．1 D．
6．已知，且函数与值域相同，则a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
7．如图，中，，点P是斜边AB上任意一点，过点P作垂足为P，交边AC（或边CB）于点Q，设，的面积为y，则y与x之间的函数图象大致是（ ）
A． B． C． D．
8．设，若是的最小值，则a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题（本题共3小题，每小题6分、共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9．已知函数，则（ ）
A． B．
C．的最小值为 D．的图象与x轴有1个交点
10．下面命题正确的是（ ）
A．“”是“”的必要不充分条件
B．“”是“一元二次方程有一正一负两个实根”的充要条件
C．“”是“”的必要不充分条件
D．设，则“”是“且”的充分不必要条件
11．对于集合，给出如下结论，其中正确的结论是（ ）
A．如果，那么
B．若，对于任意的，则
C．如果，那么
D．如果，那么
三、填空题（每题5分，共计15分）
12．已知函数的定义域为，则的定义域为________．
13．若函数在上单调递增，则实数a的取值范围是________．
14．设，若时，均有成立，则实数a的取值集合为________．
四、解答题（本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15．（13分）已知集合．
（1）若集合，且，求a的值；
（2）若集合，且，求a的取值范围．
16．（15分）已知函数对任意x满足：，二次函数满足：且．
（1）求，的解析式；
（2）若，解关于x的不等式．
17．（15分）函数的定义域为，对于，且当 ．
（1）证明：为减函数；
（2）若，求不等式的解集．
18．（17分）登封市某乡镇响应“绿水青山就是金山银山”的号召，因地制宜的将该镇打造成“生态水果特色小镇”经调研发现：某珍稀水果树的单株产量W（单位：千克）与施用肥料x（单位：千克）满足关系：．肥料成本投入为10x元，其它成本投入（如培育管理，施肥等人工费）元．已知这种水果的市场售价为15元/千克，且销路畅通供不应求，记该水果树的单株利润为（单位：元）
（1）求的函数关系式；
（2）当施用肥料为多少千克时，该水果树的单株利润最大？最大利润是多少？
19．（17分）设A是实数集的非空子集，称集合且为集合A的生成集．
（1）当时，写出集合A的生成集B；
（2）若A是由5个正实数构成的集合，求其生成集B中元素个数的最小值；
（3）判断是否存在4个正实数构成的集合A，使其生成集，并说明理由．
高一第一次月考数学试卷参考答案
11．AC
【解析】根据集合的表示法特点，对选项进行一一判断，即可得答案；
【详解】对A，，总是有，则，故A正确；
对B，，若，则存在，使得，因为当x，y一个是偶数，一个是奇数时，是奇数，也是奇数，所以也是奇数，显然是偶数，故，故，故B错误；
对C，若，不妨设，则，故，故C正确；
对D，设，则，不满足集合M的定义，故D错误．
故选：AC
12．
13．
14．
【分析】可得时，不等式不恒成立，当，必定是方程的一个正根，由此可求出a．
【详解】当时，，则，由于的图象开口向上，
则不恒成立，
当时，由可解得，
而方程有两个不相等的实数根且异号，
所以，必定是方程的一个正根，
则，则可解得，
故实数a的取值集合为．
故答案为：
15．2．（1）5
（2）{或}
【详解】（1）由得或，
因为，所以或，
解得或
故．
（2）因为，所以．
当时，，解得；
当时，且，此时无解；
当时，且，此时无解或．
综上，a的取值范围为｛或｝
16．（1）
（2）答案见解析
【详解】（1）①，
用代替上式中的x，
得②，
联立①②，可得；
设，
所以，
即
所以，解得，
又，得，所以．
（2）因为，
即，
化简得，，
①当时，，不等式的解为；
②当，即，即时，不等式的解为；
③当，即，即或，
当时，不等式的解为，
当时，不等式的解为，
④当，即时，，解得且，
综上所述，当时，不等式的解为；
当时，不等式的解为；
当时，不等式的解为；
当时，不等式的解为且；
当时，不等式的解为
17．（1）证明见解析
（2）
【分析】（1）根据函数单调性的定义及当函数中时，的性质即可证明：
（2）由抽象函数的性质化简，结合函数单调性及定义域列出不等式组可得解，
【详解】（1）设，且，
则，
因为，
所以，
即为减函数．
（2）因为，
所以，
令，则，即，
所以，
又因为在上单调递减，
所以，解得，
所以不等式的解集为．
18．（1）
（2）当施用肥料为5千克时，该水果树的单株利润最大，最大利润是750元
【详解】（1）由已知得：，
故．
（2）若，则，
此时，对称轴为，故有最大值为．
若，则，
当且仅当，即时等号成立，
此时，有最大值为，
综上有，有最大值为750，
∴当施用肥料为5千克时，该水果树的单株利润最大，最大利润是750元．
19．1．（1） （2）7 （3）不存在，理由见解析
【详解】（1）
（2）设，不妨设，
因为，所以B中元素个数大于等于7个，
又，此时B中元素个数等于7个，
所以生成集B中元素个数的最小值为7．
（3）不存在，理由如下：
假设存在4个正实数构成的集合，使其生成集，
不妨设，则集合A的生成集
则必有，其4个正实数的乘积；
也有，其4个正实数的乘积，矛盾；
所以假设不成立，故不存在4个正实数构成的集合A，使其生成集．
1．对于①：因为0是的元素，所以，故①正确；
对于②：因为空集是任何集合的子集，所以，故②正确；
对于③：因为集合的元素为0，1，集合的元素为，
两个集合的元素全不相同，所以之间不存在包含关系，故③错误；
对于④：因为集合的元素为，集合的元素为，
两个集合的元素不一定相同，所以不一定相等，故④错误；
综上所述：正确的个数为2．
2．充分性：因为，且，所以，
所以，
所以充分性成立；
必要性：因为，且，
所以，即，
即，所以．
所以必要性成立．
所以“”是“”的充要条件．
故选：C．
3．不等式对于一切恒成立，
即有对于一切恒成立．
由于的导数为，当时，，函数y递减．
则当时，y取得最小值且为，
则有，解得．
则a的最小值为．
故选：C
4．集合，
，
，
．
故选：A．
5．因为，
令，
所以，
则，
当且仅当，即，此时时取等号．
故选：A．
6．函数的图象开口向上，且对称轴为的值域为，
因为，
所以若函数的值域也为，只需，即，
解得或，即a的取值范围为．
7．D 过点C作于点D，
因为，
所以．
如图1，当时，，
所以．
如图2，当时，，
所以，
所以．
综上可知，D正确．
图1 图2
8．函数，
则当时，，
由于是的最小值，
则在上为减函数，即有，
则有在上恒成立，
因为，当且仅当，即时，等号成立，
所以，
解得，
综上所述，，
即a的取值范围为．
故选：A．
9．令，则，
则，
所以，选项B错误；
，选项A正确；
由二次函数的性质可知，函数在上的最小值为，选项C正确；
令，解得（舍）或，即的图象与c轴有1个交点，选项D正确．
故选：ACD
10．对于A，不能推出，而，必有，“”是“”的必要不充分条件，A正确；
对于B，若，一元二次方程
判别式，方程有二根，
，即一正一负，反之，一元二次方程有一正一负两个实根，
则，有，所以“”是“一元二次方程有一正一负两个实根”的充要条件，B正确；
对于C，当时，若，有，当时，且，
因此“”是“”的必要不充分条件，C正确；
对于D，，若，取，显然“且”不成立，而且，必有，
设，则“”是“且”的必要不充分条件，D不正确．故选：ABC．
12．由题意，，解得．
的定义域为．
故答案为：．
13．【分析】要求分段函数每一段上均单调递增，且分段处，右端函数值大于等于左端函数值，从而得到不等式组，求出实数a的取值范围．
【详解】根据题意得，解得，
所以实数a的取值范围是．
故答案为：．题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
答案
B
C
C
C
A
A
D
A
ACD
ABC
AC