安徽省宿州市埇桥区宿城一中城南学校2024-2025学年九年级上学期第一次月考数学试卷

这是一份安徽省宿州市埇桥区宿城一中城南学校2024-2025学年九年级上学期第一次月考数学试卷，共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列方程是一元二次方程的是( )
A. B.
C. D.
2.下列命题中，正确的是( )
A. 对角线相等的四边形是矩形B. 对角线互相平分的四边形是平行四边形
C. 对角线互相垂直的四边形是菱形D. 对角线互相垂直且相等的四边形是正方形
3.关于x的一元二次方程的一个根为2，则b的值为( )
A. B. 2C. 3D. 7
4.如图，菱形ABCD对角线AC与BD交于点O，，，则菱形的面积为( )
A. 48
B. 96
C. 24
D. 6
5.关于x的一元二次方程根的情况是( )
A. 有两个不相等的实数根B. 有两个相等的实数根
C. 没有实数根D. 只有一个实数根
6.如图，在矩形ABCD中，，对角线AC与BD相交于点O，于点E，当E为OB中点时，则AC的长为( )
A. B. 4C. D. 8
7.如图，正方形OMNP的顶点O与正方形ABCD的对角线交点O重合，正方形ABCD和正方形OMNP的边长都是2，则图中重叠部分的面积是( )
A. 1
B. 2
C.
D.
8.近年来，由于新能源汽车的崛起，燃油汽车的销量出现了不同程度的下滑，经销商纷纷开展降价促销活动.某款燃油汽车今年2月份售价为23万元，4月份售价为万元，设该款汽车这两月售价的月平均降价率是x，则所列方程正确的是( )
A. B.
C. D.
9.用配方法解一元二次方程，下列配方正确的是( )
A. B. C. D.
10.如图，正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，，，H是AF的中点，那么CH的长是( )
A.
B.
C.
D. 2
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
11.一元二次方程的根为______.
12.如图，在矩形ABCD中，点P是线段BC上一动点，且，，E，F为垂足，，，则的值为______.
13.已知a，b是一元二次方程的两个实数根，则的值为______.
14.如图1，点F从菱形ABCD的顶点A出发，沿以的速度匀速运动到点B，点F运动时，的面积随时间的变化关系图象如图
______；
的值是______.
三、解答题：本题共9小题，共90分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题8分
解方程：
16.本小题8分
已知：如图，E，F是正方形ABCD的对角线BD上的两点，且求证：四边形AECF是菱形
17.本小题8分
如图，一个长为10m的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为问：当梯子的顶端下滑几米时，梯子底端滑动的距离和它相等？
18.本小题8分
如图，点O是菱形ABCD对角线的交点，，，连接
求证：
19.本小题10分
某商场销售一批衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销售，增加盈利，商场采取了降价措施．假设在一定范围内，衬衫的单价每降1元，商场平均每天可多售出2件．如果降价后商场销售这批衬衫每天盈利1250元，那么衬衫的单价降了多少元？
20.本小题10分
如图，在四边形ABCD中，，E、F分别是AD、BC的中点，G、H分别是对角线BD、AC的中点．
求证：四边形EGFH是菱形；
若，则当时，求四边形EGFH的面积．
21.本小题12分
社区利用一块矩形空地ABCD建了一个小型停车场，其布局如图所示，已知，，阴影部分设计为停车位，要铺花砖，其余部分均为宽度为x米的道路.已知铺花砖的面积为求道路的宽是多少米？
22.本小题12分
如图，在中，，，点D从点C出发沿CA方向以每秒2个单位长的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D、E运动的时间是t秒过点D作于点F，连接DE、
求证：；
四边形AEFD能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，说明理由．
当t为何值时，为直角三角形？请说明理由．
23.本小题14分
【问题情境】
已知正方形ABCD，点E在CD的延长线上，以CE为一边构造正方形CEFG，如图1所示，则BE和DG的数量关系为______，位置关系为______.
【继续探究】
若正方形ABCD的边长为4，点E是AD边上的一个动点，以CE为一边在CE的右侧作正方形CEFG，如图2所示.
①请判断线段DG与BE有怎样的数量关系和位置关系，并说明理由；
②连接BG，若，求线段BG长.
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：A、当时，方程为是一元一次方程，该选项不合题意；
B、方程是一元二次方程，该选项符合题意；
C、方程的左边不是整式，方程不是一元二次方程，该选项不合题意；
D、方程整理为，是一元一次方程，该选项不合题意；
故选：
据此即可判定求解．
本题考查了一元二次方程的定义，掌握只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程是解题的关键．
2.【答案】B
【解析】解：A、对角线相等的平行四边形是矩形，故本选项错误；
B、对角线互相平分的四边形是平行四边形，正确；
C、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故本选项错误；
D、对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，故本选项错误．
故选：
根据矩形、菱形、平行四边形、正方形的判定方法逐一进行判定．
本题考查了矩形、菱形、平行四边形、正方形的判定方法．熟练掌握特殊四边形的判定方法是解决此类问题的关键．
3.【答案】C
【解析】解：，
故选：
把代入方程中，求解即可．
本题考查一元二次方程的解，代入求值是关键．
4.【答案】B
【解析】解：四边形ABCD为菱形，且，，
故选：
根据菱形面积公式即可计算得出该菱形的面积．
此题主要考查了菱形的性质，熟练掌握菱形的面积等于两条对角线乘积的一半是解决问题的关键．
5.【答案】A
【解析】解：在关于x的一元二次方程中，，，，
，
因为，所以，
所以关于x的一元二次方程根的情况是有两个不相等的实数根．
故选：
先根据已知方程，求出根的判别式，然后根据判别式的正负，判断方程根的情况即可．
本题考查了一元二次方程的根的判别式．熟练掌握利用一元二次方程根的判别式判断方程解是解题的关键．
6.【答案】D
【解析】解：四边形ABCD是矩形，
，，，
，
，E为OB中点，
垂直平分OB，
，
，
故选：
由矩形的性质和线段垂直平分线的性质证出，得出，即可．
此题考查了矩形的性质、等边三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质、勾股定理；熟练掌握矩形的性质，证明三角形是等边三角形是解决问题的关键．
7.【答案】A
【解析】解：设OP与AD交于点G，如图所示：
四边形ABCD和四边形OMNP均为正方形，且边长都是2，
，，，
，
，
在和中，
，
≌，
，
，
正方形ABCD的边长为2，
，
，
故选：
证明和全等得，进而得，然后再根据即可得出答案．
此题主要考察了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，理解正方形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解决问题的关键．
8.【答案】A
【解析】解：根据题意得：
故选：
利用该款燃油汽车今年4月份的售价=该款燃油汽车今年2月份的售价该款汽车这两月售价的月平均降价率，即可列出关于x的一元二次方程，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
9.【答案】B
【解析】解：，
，
，即，
故选：
先配方，再根据完全平方公式进行变形，即可得出选项．
本题考查了解一元二次方程，能够正确配方是解此题的关键．
10.【答案】B
【解析】解：如图，连接AC、CF，
正方形ABCD和正方形CEFG中，，，
，，
，
，
由勾股定理得，，
是AF的中点，
故选：
连接AC、CF，根据正方形性质求出AC、CF，，再求出，然后利用勾股定理求出AF，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答即可．
本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，正方形的性质，勾股定理，熟记各性质并作辅助线构造出直角三角形是解题的关键．
11.【答案】，
【解析】解：，
，
或，
，
故答案为：，
先移项，再利用提公因式法把方程左边分解得到，则原方程化为或，然后解一次方程即可．
本题考查了解一元二次方程-因式分解法：先把方程右边变形为0，再把方程左边分解为两个一次式的乘积，这样原方程转化为两个一元一次方程，然后解一次方程即可得到一元二次方程的解．
12.【答案】
【解析】解：连接OP，如图所示：
四边形ABCD是矩形，
，，
在中，，，
由勾股定理得：，
，，
，
，，
，，
，
，
故答案为：
连接OP，根据矩形的性质及勾股定理得，，再根据三角形的面积公式得，，，然后根据即可得出的值．
此题主要了矩形的性质，理解矩形的性质，灵活运用勾股定理及三角形的面积公式进行计算是解决问题的关键．
13.【答案】2
【解析】解：，b是一元二次方程的两个实数根，
，，
，
故答案为：
直接根据一元二次方程根与系数的关系求解即可．
本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，熟记根与系数的关系是解题的关键．
14.【答案】
【解析】解：过点D作交BC的延长线于点E，
由图象可知，点F从点A到D用as，此时，的面积为 ，
，
，
，
当点F从D到B时，用时，
，
中，，
四边形ABCD是菱形，
，，
在中，，
解得
故答案为：5cm；
通过分析图象，点F从点A到D用as，此时，的面积为，依此可求菱形的高DE，再由图象可知，，应用两次勾股定理分别求BE和
本题考查了动点函数图象问题，掌握菱形性质，勾股定理是解题的关键．
15.【答案】解：，
，，
，
【解析】先分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．
本题考查了解一元二次方程的求解，解此题的关键是能把一元二次方程转化成一元一次方程，难度适中．
16.【答案】证明：如图，连接AC交BD于点O，
四边形ABCD是正方形，
，，，
，
，
，且，
四边形AECF是平行四边形，
又，
四边形AECF是菱形.
【解析】由正方形的性质可得，，，可得，由对角线互相平分的四边形是平行四边形可得四边形AECF是平行四边形，再由，即可证四边形AECF是菱形．
本题考查了正方形的性质，菱形的判定与性质．
17.【答案】解：未滑动前梯子底端距墙的水平距离为，
设梯子顶端向下滑动x m，则梯子底端也滑动x m，
此时梯子的顶端距地面的垂直距离为，梯子的底端距墙面的垂直距离为，
可得方程：，
解得，舍去，
当梯子的顶端下滑2米时，梯子底端滑动的距离和它相等．
【解析】利用勾股定理算出未滑动前梯子底端距墙的水平距离，设梯子顶端向下滑动x m，则梯子底端也滑动x m，利用勾股定理列方程，即可解答．
本题考查了勾股定理，一元二次方程的应用，根据题意得到等量关系列方程是解题的关键．
18.【答案】证明：，，
四边形OCED是平行四边形，
四边形ABCD是菱形，
，
四边形OCED是矩形，
，
，，

【解析】先求出四边形OCED是平行四边形，再根据菱形的对角线互相垂直求出，证明OCED是矩形，利用勾股定理即可求出
本题考查了菱形的性质，矩形的判定与性质，勾股定理的应用，是基础题，熟记矩形的判定方法与菱形的性质是解题的关键．
19.【答案】解：设衬衫的单价降了x元．
根据题意，得
，
解得：，
答：衬衫的单价降了15元．
【解析】设衬衫的单价降了x元．根据题意等量关系：降价后的销量每件的利润，根据等量关系列出方程即可．
此题主要考查了一元二次方程的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程．
20.【答案】证明：四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AD、BC、BD、AC的中点，
，，，
，
四边形EGFH是菱形．
解：四边形ABCD中，G、F、H分别是BD、BC、AC的中点，
，
，
菱形EGFH是正方形．
，
正方形EGFH的面积
【解析】利用三角形的中位线定理可以证得四边形EGFH的四边相等，即可证得；
根据平行线的性质可以证得，得到菱形EGFH是正方形，利用三角形的中位线定理求得GE的长，则正方形的面积可以求得．
本题考查了三角形的中位线定理，菱形的判定以及正方形的判定，理解三角形的中位线定理是关键．
21.【答案】解：设道路的宽为x米，根据题意结合平移的性质可得：
，
，
，
，
解得：舍去或，
答：道路的宽为6米．
【解析】设道路的宽为x米，利用平移的性质可得铺花砖部分组成一个边长为米，宽为米的矩形，再根据矩形的面积公式列出方程，解答检验即可．
本题考查的是一元二次方程的应用，掌握利用一元二次方程解决面积问题是解题的关键．
22.【答案】解：证明：在中，，，，
又，
；
能；
理由如下：
，，
又，
四边形AEFD为平行四边形．
，，
，
，
若使能够成为等边三角形，
则平行四边形AEFD为菱形，则，
，
；
即当时，为等边三角形；
当或4时，为直角三角形；
理由如下：
①时，四边形EBFD为矩形．
在中，，
即，
；
②时，由知，
，
即，
；
③时，此种情况不存在；
综上所述，当或4时，为直角三角形．
【解析】由，，证出；
先证明四边形AEFD为平行四边形．得出，，若为等边三角形，则？AEFD为菱形，得出，，求出；
分三种情况讨论：①时；②时；③时，此种情况不存在；分别求出t的值即可．
本题是四边形综合题，主要考查了平行四边形、菱形、矩形的判定与性质以及锐角三角函数的知识；考查学生综合运用定理进行推理和计算的能力；特别注意中分类讨论三种情况，分别求出t的值，避免漏解
23.【答案】
【解析】解：如图1，延长GD交BE于
四边形ABCD是正方形，四边形CEFG是正方形，
，，，
在和中，
，
≌，
，，
，
，即，
，
故答案为：；
①；理由如下：
如图2，延长BE，交GD的延长线于点H，
四边形ABCD是正方形，四边形CEFG是正方形，
，，，
，
≌
，，
，
，
，
，
，
，
；
②如图3，过点G作，
，，
，
，
，
又，，
≌，
，，
，
延长GD交BE于证明≌，即可；
①延长BE，交GD的延长线于点H，证明≌，即可；②过点G作，证明≌，可得，，再由勾股定理，即可求解；
本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质及勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题．