安徽省六安市裕安区青山路初级中学2024-2025学年九年级上学期第一次月考数学试卷

这是一份安徽省六安市裕安区青山路初级中学2024-2025学年九年级上学期第一次月考数学试卷，共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.下列函数是二次函数的是( )
A. B. C. D.
2.抛物线的顶点坐标是( )
A. B. C. D.
3.抛物线向右平移1个单位，再向下平移2个单位，所得到的抛物线是( )
A. B.
C. D.
4.二次函数的图象的对称轴是( )
A. 直线B. 直线C. 直线D. 直线
5.下列二次函数解析式中，其图象与y轴的交点在x轴下方的是( )
A. B. C. D.
6.在函数的图象上，当y随x的增大而减小时，x的取值范围为( )
A. B. C. D.
7.二次函数为常数，且中的x与y的部分对应值如下表：
则代数式的值为( )
A. B. C. D.
8.如图1是抛物线形石拱桥，当水面离拱顶2m时，水面宽建立如图2所示的平面直角坐标系，则抛物线的表达式为( )
A. B. C. D.
9.如图是抛物线图象的一部分，抛物线的顶点A的坐标是，与x轴的一个交点B的坐标为，直线经过A，B两点.下列结论错误的是( )
A.
B. 方程有两个相等的实数根
C. 当时，
D. 抛物线与x轴的另一个交点是
10.如图，函数和是常数，且在同一平面直角坐标系中的图象可能是( )
A. B.
C. D.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
11.若二次函数的图象经过原点，则m的值为______.
12.把二次函数由一般式化成顶点式为，则k的值为______.
13.若抛物线的图象与一次函数的图象有两个交点，分别为，，则关于x的方程的解为______.
14.如图，在平面直角坐标系中，点，点，点M为OA上一点，过点M作，且，连接
当点M为OA的中点时，AC的长为______.
当点M在OA上移动时，AC的最小值为______.
三、解答题：本题共9小题，共90分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题8分
已知二次函数的图象经过点，，求该二次函数的表达式.
16.本小题8分
已知抛物线与直线的图象交于A，B两点点A在点B的左侧，试分别求A，B两点的横坐标.
17.本小题8分
已知抛物线
求该抛物线的开口方向、对称轴及顶点坐标；
当x为何值时，y随x的增大而减小，当x为何值时，y随x的增大而增大？
18.本小题8分
如图是学校校园内一堵围墙边上的一块空地，现准备用木栏围成一个矩形菜园ABCD作为学生的实践基地.已知矩形菜园的一边AD靠墙墙足够长，另三边一共用了100m木栏.请设计一个修建方案，使得矩形菜园的面积最大.
19.本小题10分
已知二次函数的图象的顶点为
求b，c的值；
当时，求x的取值范围.
20.本小题10分
已知二次函数是常数
若该二次函数的图象与x轴有两个不同的交点，求m的取值范围；
若该二次函数的图象与x轴的其中一个交点坐标为，求一元二次方程的解．
21.本小题12分
如图，点A在x轴的正半轴上，且，点B在y轴的正半轴上，且，直线AB与抛物线在第一象限内相交于点P，连接OP，已知
求a的值；
若将抛物线先向右平移2个单位，再向下平移个单位，恰好经过点A，试确定t的值.
22.本小题12分
又到了板栗飘香的季节，为提高大家购买的积极性，销售板栗的顺发果业每天拿出2000元现金，作为红包发给购买者.已知板栗每日销售量与销售单价元满足关系：当每日销售量低于3000kg时，成本价格为6元；当每日销售量不低于3000kg时，成本价格为5元；在销售中销售单价不低于成本价格且不高于30元设销售板栗的日获利为元
当日销售量不低于3000kg时，x的取值范围是______；
请求出日获利w与销售单价x之间的函数关系式；
当销售单价定为多少时，销售这种板栗日获利最大？最大利润为多少元？
23.本小题14分
如图，抛物线与x轴交于，两点，交y轴于点
求抛物线的表达式；
点P是第一象限内抛物线上的一点，过点P作直线轴于点D，交直线AB于点
①当时，求点E的坐标；
②当PE取得最大值时，求点P的坐标.
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：A、，不是二次函数，故本选项错误，不符合题意；
B、，是二次函数，故本选项正确，符合题意；
C、，是一次函数，故本选项错误，不符合题意；
D、，不是二次函数，故本选项错误，不符合题意；
故选：
根据二次函数进行判定即可求解．
本题考查了二次函数的定义，熟记二次函数的一般形式是解题的关键．
2.【答案】C
【解析】解：抛物线，
当时，，
抛物线的顶点坐标是，
故选：
根据二次函数的性质，由顶点式直接得出顶点坐标即可．
此题考查了二次函数的性质，熟练掌握顶点式是解题的关键．
3.【答案】A
【解析】解：抛物线向右平移1个单位，再向下平移2个单位，
得到的抛物线是：
故选：
根据抛物线的平移规律：上加下减，左加右减解答即可．
本题考查了抛物线的平移，掌握抛物线平移的规律是解题的关键．
4.【答案】D
【解析】解：顶点式，顶点坐标是，对称轴是直线，
顶点坐标为，
对称轴为，
故选：
根据顶点式可得顶点坐标为，即对称轴为，由此即可求解．
本题考查了二次函数顶点式的性质，顶点式，顶点坐标是，对称轴是直线
5.【答案】B
【解析】【分析】
令，分别计算四个函数所对应的函数值，即得到它们与y轴的交点坐标，然后进行判断．
本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数的图象上的点的坐标满足其解析式．
【解答】
解：A、令，得，则抛物线与y轴的交点坐标为，所以A选项错误；
B、令，得，则抛物线与y轴的交点坐标为，所以B选项正确；
C、令，得，则抛物线与y轴的交点坐标为，所以C选项错误；
D、令，得，则抛物线与y轴的交点坐标为，所以D选项错误．
故选
6.【答案】A
【解析】解：函数的图象上，，
开口向下，顶点为，
当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小，
故选：
根据二次函数顶点式可得顶点坐标为，图象开口向下，根据函数的增减性即可求解．
本题考查了二次函数图象上点的坐标特点，二次函数的性质，正确记忆相关知识点是解题关键．
7.【答案】B
【解析】解：当时，，
当时，；当时，，
二次函数图象的对称轴为，
，
故选：
根据表格可得二次函数的对称轴为，图形经过，把代入二次函数可得，由此即可求解．
本题考查了二次函数图象上的点的坐标特征，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
8.【答案】A
【解析】解：由图可知，二次函数图象经过，，设二次函数解析式为，
顶点坐标为，代入得：
，
解得，
二次函数解析式为，
故选：
根据图示，二次函数图象经过，，顶点坐标为，设二次函数解析式为，把顶点坐标代入计算即可求解．
本题考查了二次函数的应用，解答本题的关键是熟练掌握待定系数法法度二次函数解析式．
9.【答案】A
【解析】解：由题意，二次函数图象开口向下，
又抛物线与y轴的交于正半轴，
顶点坐标为，
对称轴为直线，
，
选项错误，符合题意；
顶点坐标为，
当时，
有两个相等的实数根，，故B选项正确，不符合题意；
根据图示可得，当时，，故C选项正确，不符合题意；
二次函数的对称轴为，与x轴的一个交点坐标为，
另一个交点的横坐标为，
抛物线与x轴的另一个交点是，故D选项正确，不符合题意；
故选：
根据二次函数图象可得，，判定A选项；根据二次函数的顶点坐标可判定B选项；根据图示信息可判定C选项；根据对称轴与二次函数与x轴的交点可得另一个交点，判定D选项；由此即可求解．
本题主要考查了二次函数与一次函数图象的性质，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键．
10.【答案】D
【解析】解：当时，则，
一次函数的图象经过第一、二、四象限；
二次函数的图象开口向上，对称轴为，即对称轴在y轴的左边，当时，，即与y轴交于点；
A、B、C、D选项均不符合该种情况；
当时，，
一次函数图象经过第一、三、四象限；
二次函数图象开口向下，对称轴，即对称轴在y轴右边，与y轴交于点；
如图所示，
选项的图符合题意，
故选：
根据题意，分类讨论，当时；当时；结合二次函数图象，一次函数图象经过的象限判定即可求解．
本题考查了二次函数，一次函数图象的性质，关键是进行分类讨论．
11.【答案】1
【解析】解：二次函数经过原点，
，且，
解得，，，
的值为1，
故答案为：
根据题意，把原点代入计算即可求解．
本题考查的是二次函数图象上点的坐标特征，掌握二次函数图象上的点的坐标满足二次函数解析式是解题的关键．
12.【答案】
【解析】解：二次函数由一般式化成顶点式为，
而，
，
解得：，
，
故答案为：
把二次函数配方可得，推出，求出，最后根据即可求解．
本题考查了二次函数的一般式与顶点式的转化，熟练掌握配方法是解题的关键．
13.【答案】，
【解析】解：由得，
整理得，
抛物线与直线有两个交点，分别为，，
关于x的方程的解为，，
故答案为：，
将抛物线的解析式与直线的解析式联立，可得到关于x的一元二次方程，根据抛物线与直线的交点坐标可直接求出方程的解．
此题重点考查二次函数与一元二次方程，将抛物线的解析式与直线的解析式联立并得到关于x的一元二次方程是解题的关键．
14.【答案】
【解析】解：，，
，，
，
，
当M是OA的中点，如图所示，
，
，
是等腰直角三角形，则，
，
，
，
，
在和中，
，
≌，
；
故答案为：4；
，
，
，
如图所示，作点B关于x轴的对称点，连接，，
，
，
，即是等腰三角形，
点M在OA上运动时，始终是等腰三角形，
点C在直线上运动，
当时，AC的值最小，
如图所示，过点C作轴于点D，
在和中，
，
，
，，
设，则，
，点，且，
设直线的解析式为，
，
解得，，
直线的解析式为：，
设直线与x轴交于点E，当时，，
，
，
，
，，
，且，
是等腰直角三角形，
，
在中，，
，
的最小值为；
故答案为：
根据题意作图，可证≌，可得，由此即可求解；
作点B关于x轴的对称点，连接，，可得为等腰三角形，可得点C在直线上运动，当时，AC的值最小，作轴，由的证明方法可得≌，设，可得，，运用待定系数法求出直线的解析式，可得是等腰直角三角形，由此即可求解．
本题考查了坐标与图形，勾股定理，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，待定系数法求解析式，轴对称等知识的综合运用，掌握全等三角形的判定和性质，一次函数图象的性质及运用是解题的关键．
15.【答案】解：二次函数的图象经过点，，
，
解得：，
二次函数的解析式为
【解析】由待定系数法即可求解．
本题考查待定系数法求函数解析式，熟练掌握待定系数法是解题的关键．
16.【答案】解：抛物线与直线的图象交于A，B两点点A在点B的左侧，
，
整理，得，
解得，或，
交点坐标为，，
点A在点B的左侧，
点A的横坐标为，点B的横坐标为
【解析】根据题意，联立方程组求解即可．
本题主要考查了二次函数与一次函数图象的交点，熟练掌握函数图象的性质是解题的关键．
17.【答案】解：因为，
所以抛物线的开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为
因为抛物线的开口向下，且对称轴是直线，
所以当时，y随x的增大而减小，
当时，y随x的增大而增大．
【解析】将二次函数的解析式改写成顶点式即可解决问题．
根据抛物线的开口方向及对称轴即可解决问题．
本题考查二次函数的图象与性质，能将二次函数解析式改写成顶点式是解题的关键．
18.【答案】解：设矩形菜园的面积为S，设，则，
，
当时，S最大，最大值为，
，
当长为50m，宽为25m时，矩形菜园的面积最大，最大值为
【解析】设，则，矩形菜园的面积为S，根据矩形的面积公式得到关于S、x的二次函数，根据二次函数的性质即可求解．
本题考查了二次函数的应用，解题的关键是理解题意，正确找出等量关系是解题的关键．
19.【答案】解：二次函数的图象的顶点为，
设该二次函数的顶点式为，
，；
当时，，
解得：或4，
由图可知，当时，或

【解析】根据题意可设二次函数的顶点式为，再将其化简即可求解；
结合的函数图象，即可求解．
本题考查了二次函数的图象与性质，解题的关键是掌握二次函数的图象与性质．
20.【答案】解：二次函数的图象与x轴有两个不同的交点，
一元二次方程有两个不相等的实数根，
，即，解得；
二次函数的图象与x轴的其中一个交点坐标为，
，解得，
一元二次方程为，解得或
【解析】根据二次函数图象与x轴有两个不同的交点，得出，求出m的取值范围．
代入，求出m，再解方程即可．
本题考查了二次函数与x轴交点个数与的关系，待定系数法求解析式．需注意计算细节．
21.【答案】解：，，
，，
设直线AB的解析式为，
把，代入得，
解得，
直线AB的解析式为，
根据题意设，则点P到x轴的距离为，
，即，
，即，
解得，
，
，
解得；
由可得二次函数的解析式为，
经过平移后的解析式为，
平移后的图象经过点，
，
解得
【解析】根据OA，OB的值确定，，运用待定系数法可求出直线AB的解析式，根据题意，设，再根据，可求出，点，再运用待定系数法即可求解；
根据二次函数图象平移规律“左加右减横轴，上加下减纵轴”确定二次函数解析式，再把点代入计算即可求解．
本题主要考查待定系数法求二次函数，一次函数解析式，二次函数与几何图形的综合，二次函数图象的平移，掌握待定系数法以及平移的规律是解题的关键．
22.【答案】
【解析】解：由题意得：，
当每日销售量不低于3000kg时，成本价格为5元；在销售中销售单价不低于成本价格且不高于30元
，
故答案为：；
由题意，当时，；
，
当时，；
综上所述，；
由题意，①当时，，
，
当时，w随x的增大而增大，
当时，w最大，最大值为元；
②当时，，
当时，w最大，最大值为26900元，
综上所述，当销售单价定为23元时，销售这种板栗日获利最大，最大利润为26900元．
根据题意可得不等式，解不等式即可得到答案；
根据利润售价-成本价销售量，进行求解即可；
根据所求，利用二次函数的性质求解即可．
本题主要考查了二次函数的实际应用，一元一次不等式的实际应用，解题的关键是正确找出等量关系．
23.【答案】解：抛物线与x轴交于，两点，交y轴于点把A，C的坐标代入得：
，
解得，，
二次函数解析式为：；
点P是第一象限内抛物线上的一点，直线轴于点D，交直线AB于点由可得二次函数解析式为，
令时，，则，
设直线AB的解析式为，
，
解得，
直线AB的解析式为，
①点P是第一象限内抛物线上点，
设，
轴交直线AB与点E，
，，
，，
当时，，整理得，
，
解得，，不符合题意，舍去，
当时，，则；
当时，点E的坐标为；
②已知，
，
当时，PE有最大值，且最大值为，
此时，
点P的坐标为
【解析】把，代入抛物线中，运用待定系数法即可求解；
①根据二次函数图象的性质可得，运用待定系数法求出直线AB的解析式，设，则，，由此可得PE，DE关于p的代数，根据列式求解即可；②根据，运用二次函数图象的性质即可求解．
本题主要考查待定系数法求一次函数，二次函数解析式，解一元二次方程，二次函数图象的性质求最值的方法，掌握二次函数图象的性质，待定系数法求解析式，二次函数与线段的数量关系是解题的关键．x
0
1
3
y
3
5
3