安徽省六安市金安区文汇中小学生校外托管服务中心2024-2025学年 九年级上学期月考数学试卷（10月份

这是一份安徽省六安市金安区文汇中小学生校外托管服务中心2024-2025学年 九年级上学期月考数学试卷（10月份，共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.下列函数中，是二次函数的是( )
A. B. C. D.
2.抛物线的顶点坐标是( )
A. B. C. D.
3.如果，那么下列比例式中正确的是( )
A. B. C. D.
4.若点，，都在二次函数的图象上，则，，的大小关系是( )
A. B. C. D.
5.若反比例函数的图象经过点，则k的值是( )
A. 3B. C. D. 2
6.如图，直线，分别交直线m、n于点A、C、E、B、D、F，下列结论不正确的是( )
A.
B.
C.
D.
7.如图，D是边AB上一点，添加一个条件后，仍不能使∽的是( )
A.
B.
C.
D.
8.已知二次函数的图象在x轴的下方，则a，b，c满足的条件是( )
A. ，B. ，
C. ，D. ，
9.已知抛物线的图象如图所示，其对称轴为直线，那么一次函数的图象大致为( )
A.
B.
C.
D.
10.已知二次函数，当时，y随x的增大而增大，则下列结论错误的是( )
A. 当时，y随x的增大而减小
B. 若图象经过点，则
C. 若，是函数图象上的两点，则
D. 若图象上两点，对一切正数n，总有，则
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
11.已知函数为二次函数，则m的值为______.
12.如图，在四边形ABCD中，AC平分，且，当______时，∽
13.如图，正方形ABCD的顶点A在反比例函数的图象上，顶点B在x轴上，边AD经过原点O，若面积为5，正方形ABCD的周长为，则k的值为______.
14.在平面直角坐标系xOy中，，是抛物线上任意两点.
若对于，，有，则______；
若对于，，都有，则h的取值范围是______.
三、解答题：本题共9小题，共90分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题8分
已知a：b：：3：4，且
求a、b、c的值；
求的值．
16.本小题8分
已知二次函数的图象经过点和
求此函数解析式；
求出该抛物线顶点C的坐标，并求出的面积.
17.本小题8分
平行四边形ABCD中，过A作，垂足为E，连DE、F为线段DE上一点，且求证：∽
18.本小题8分
如图，直线与双曲线交于A、B两点，点A，B的横坐标分别为1，
求m的值及点B的坐标；
直接写出不等式的解集．
19.本小题10分
如图F为平行四边形ABCD的边AD延长线上一点，BF分别交CD、AC于G、
求证：；
若，，求
20.本小题10分
我们要善于用数学的眼光观察世界，用数学的思维思考世界，用数学的语言表达世界.雨伞是生活中的常用物品，我们用数学的眼光观察撑开后的雨伞如图，可以发现数学研究的对象——抛物线.在如图2所示雨伞最大纵截面上建立直角坐标系，伞柄在y轴上，坐标原点O为伞骨OA，OB的交点单位：分米，点C为抛物线的顶点，点A，B在抛物线上，OA，OB关于y轴对称分米，点设抛物线表达式为
求抛物线的表达式；
分别延长AO，BO交抛物线于点F，E，求以EF为直径的圆的周长.
21.本小题12分
如图，双曲线经过斜边的中点P，交直角边AB于点Q，连接OQ，点A的坐标为
求双曲线的解析式；
求直线OQ的解析式；
求证：∽
22.本小题12分
某商店销售一种进价60元/件的商品，经市场调查发现：该商品的每天销售量件是售价元/件的一次函数，其售价、销售量的二组对应值如下表：
求销售量y关于售价x的函数关系式.
①设商店销售该商品每天获得的利润为元，求W与x之间的函数关系式.
②若规定售价高于进价且不超过进价的倍，问当售价定为多少时，该商店销售这种商品每天获得的利润最大？最大利润是多少？
23.本小题14分
综合运用：如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点，，与y轴交于点C，过点C作轴，交抛物线于点D，点E为抛物线上的点，且在BC的上方，作轴，交BC于点
求抛物线的解析式；
当时，求点E的坐标；
在平面直角坐标系内是否存在点N，使得以点C，D，B，N为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点N的坐标，若不存在，请说明理由.
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：A、，是正比例函数，故本选项不符合题意；
B、，是反比例函数，故本选项不符合题意；
C、，符合定义，故本选项符合题意；
D、，是一次函数，故本选项不符合题意；
故选
根据二次函数的定义求解，二次函数的一般式是，其中
此题考查了二次函数的定义，熟记二次函数的定义及一般形式是解题的关键．
2.【答案】A
【解析】解：
，
顶点坐标为，
故选：
由抛物线解析式可求得其标点坐标．
本题主要考查二次函数的性质，掌握抛物线的顶点式是解题的关键，即在中，顶点坐标为，对称轴
3.【答案】C
【解析】解：，
，
故选：
利用比例的性质对各选项进行判断．
本题考查了比例的性质：熟练掌握比例的基本性质内项之积等于外项之积、合比性质、分比性质、合分比性质、等比性质等是解决问题的关键．
4.【答案】A
【解析】解：，
抛物线开口向下，对称轴为直线，
点，，都在二次函数的图象上，
点A到对称轴的距离最大，点C到对称轴的距离最小，
故选：
由二次函数解析式可得抛物线开口方向及对称轴，根据A，B，C三点到对称轴的距离大小关系求解．
本题考查二次函数图象上点的坐标特征，解题关键是掌握二次函数的性质．
5.【答案】B
【解析】解：根据题意，得，
解得，
故选：
根据反比例函数图象上点的坐标特征，将代入已知反比例函数的解析式，列出关于系数k的方程，通过解方程即可求得k的值．
此题考查的是用待定系数法求反比例函数的解析式，是中学阶段的重点．解答此题时，借用了“反比例函数图象上点的坐标特征”这一知识点．
6.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查平行线分线段成比例定理，熟练运用平行线分线段成比例定理是解题的关键．
利用平行线分线段成比例定理解决问题即可．
【解答】
解：，
，，，，
选项A、C、D正确，
故选：
7.【答案】C
【解析】解：在和中，，
A、，利用两组对应角相等的三角形相似，得到∽，不符合题意；
B、，利用两组对应角相等的三角形相似，得到∽，不符合题意；
C、，不能证明∽，符合题意；
D、，根据两组对应边对应成比例，夹角相等，得到∽，不符合题意；
故选：
根据相似三角形的判定方法，逐一进行判断是解题的关键．
本题考查相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键．
8.【答案】C
【解析】解：二次函数的图象在x轴的下方，
抛物线开口向下，与x轴无交点，
即，，
故选：
根据二次函数的图象在x轴的下方，可得抛物线开口向下，与x轴无交点，即可判断．
本题考查了二次函数的图象与性质，解题的关键是掌握二次函数的图象与性质．
9.【答案】D
【解析】解：抛物线对称轴为直线，
，
，
根据二次函数：，，
，，
一次函数的图象过第一、三、四象限，
当时，，
，
一次函数与y轴交点在与0之间，
当时，，
，
一次函数与x轴交点是1，
故选：
先根据二次函数性质得出，进而得出，，判断出一次函数的图象过第一、三、四象限，再判断一次函数与y轴交点在与0之间，一次函数与x轴交点是1，即可得出答案．
本题考查二次函数的图象与性质，一次函数的性质，掌握二次函数和一次函数的性质是解题的关键．
10.【答案】C
【解析】解：A、设抛物线与x轴交点为、，
二次函数，
，，，
当时，y随x的增大而增大，
，开口向下，
当时，y随x的增大而减小，此选项正确；
B、二次函数 ，当时，y随x的增大而增大，
，开口向下，
若图象经过点，则，
得：，
，，
，此选项正确；
C、对称轴为直线，，
，
，
，是函数图象上的两点，2024离对称轴近些，
，此选项错误；
D、由图象上两点 对一切正数n，总有，
该函数与x轴的两个交点为，，
，
解得：，此选项正确；
故选：
根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题．
本题考查了二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
11.【答案】
【解析】解：函数为二次函数，
，
解得：，
故答案为：
由函数为二次函数，可得，再解不等式组可得答案．
本题考查的是二次函数的定义，形如：的函数是二次函数，熟记二次函数的定义是解本题的关键．
12.【答案】9
【解析】解：平分，
，
当时，∽，
即：，
，，
，
；
故答案为：
根据两组对应边成比例，且夹角相等的两个三角形相似，进行求解即可．
本题考查相似三角形的判定，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用．
13.【答案】
【解析】解：如图，过点A作轴于点E，则，
在反比例函数的图象上，
，
四边形ABCD是正方形，
，，
的面积为5，
，
，
，
，
故答案为：
过点A作轴于点E，则，由反比例函数比例系数的几何意义得到，根据正方形的性质得到，，再利用三角形面积计算公式得到，则可利用勾股定理得到，利用三角形面积公式求出，然后利用勾股定理求出，得到，即可求k的值．
此题考查了正方形的性质、反比例函数的性质、勾股定理等知识，数形结合和准确计算是解题的关键．
14.【答案】
【解析】解：若对于，，有，
得，关于对称轴对称，
则；
故答案为：3；
由抛物线开口向下，
对于，，即都有，
得到对称轴的距离比到对称轴的距离近，
故与的中点在对称轴的右侧，
故，
故
故答案为：
由对于，，有，得，关于对称轴对称即可得答案；
由已知得到对称轴的距离比到对称轴的距离近，故与的中点在对称轴的右侧，
即可得，故
本题主要考查了二次函数的对称性，解题关键是正确应用对称性．
15.【答案】解：设，，，
，
，
，
，，；
，，，

【解析】设，，，代入求出k，即可求出答案；
把a、b、c的值代入，求出即可．
本题考查了比例的性质的应用，主要考查学生的计算能力．
16.【答案】解：将点与代入解析式，得：
，
解得：，
则此函数解析式为；
，
顶点C坐标为，
，
，
则
【解析】将点与代入解析式求解可得；
将解析式配方成顶点式得其顶点坐标，再根据三角形的面积公式求解可得．
本题主要考查待定系数法求函数解析式，在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．
17.【答案】证明：四边形ABCD是平行四边形，
，，
，
，，
，
∽
【解析】本题考查的是相似三角形的判定定理，熟知有两组角对应相等的两个三角形相似是解答此题的关键．
先根据矩形的对边平行性质得出，，再根据，可得出，由此可得出结论．
18.【答案】解：把代入得，，
点，
双曲线经过B点，
；
由图象可知不等式的解集为或
【解析】先把代入求得B的坐标，然后根据待定系数法即可求得m的值；
根据图象求得即可．
本题主要考查反比例函数与一次函数的交点问题，解题的关键是掌握数形结合思想的运用．
19.【答案】解：四边形ABCD为平行四边形，
，，
∽，∽，
，，
，
，

【解析】利用平行四边形的性质可得出，，进而可得出∽，∽，再利用相似三角形的性质可证出；
由，结合的结论，可求出BE的长．
本题考查了相似三角形的判定与性质以及平行四边形的性质，解题的关键是：利用相似三角形的性质，证出；代入，，求出BE的长．
20.【答案】解：，
，
把和代入，
得，
解得：，
抛物线解析式为：；
设直线OA 解析式为，
将坐标代入得，，
解得：，
直线OA 解析式为：，
联立函数解析式，
解得：，或
点F坐标为；
抛物线的对称轴是y轴，
点E的坐标为，
分米，
直径EF 的圆的周长为：分米
【解析】待定系数法求出抛物线解析式即可；
写出直线OA解析式，求出与抛物线的交点坐标F，根据抛物线的对称性计算出点E坐标，利用横坐标之差计算线段EF长，再由圆周长公式即可求解．
本题考查了二次函数的应用，求解二次函数与正比例函数的交点坐标，熟练掌握二次函数的对称性是解答本题的关键．
21.【答案】解：双曲线经过斜边的中点P，点A的坐标为，
双曲线经过点P；
，
；
解：为直角三角形，
轴，
，Q两点的纵坐标相等，均为4，代入反比例函数解析式得：，
点Q的坐标为
设直线OQ的解析式为，
，
解得：，
直线OQ的解析式为；
证明：由知点Q的坐标为，点A的坐标为，
，，，
，，
，
又，
∽
【解析】根据中点坐标公式得出点P坐标，然后代入反比例函数解析式即可求解；
由可求出，代入设直线OQ的解析式为，即可求解；
根据，点A的坐标为，得出，，，可得，结合，即可得证．
本题考查待定系数法求一次函数、反比例函数的解析式，相似三角形的判定，解决本题的关键是明确反比例函数图象上点的坐标特征．
22.【答案】解：设
根据题意，得，
解得：，
销售量y关于售价x的函数关系式为：
①由知每天的销售量
商品进价为60元/件，
与x之间的函数关系式为，
即；
②
，
当时，W有最大值为2400，
当售价定为90元时，该商店销售这种商品每天获得的利润最大．最大利润为2400元．
【解析】设，待定系数法求函数解析式即可；
①利用总利润等于单件利润乘以销量，列出二次函数解析式；②利用二次函数的性质，求最值即可．
本题考查二次函数的实际应用，正确的列出函数解析式是解题的关键．
23.【答案】解：将点，代入中，得：
，
解得：，
抛物线的解析式为：；
，
，
设直线BC的解析式为：，
将点，代入中，得：
，
解得：，
直线BC的解析式为：，
设点，则点，
，
解得：，
此时，，
点 E的坐标为 ；
在平面直角坐标系内存在点N，使得以点C，D，B，N为顶点的四边形为平行四边形；理由如下：
由题意，可知抛物线的对称轴为直线：
，
轴，点，
，
，
点，，
，
由平行四边形的对边平行且相等的性质，可通过平移已知顶点来找到点N，如图：

①当CD为边时，点由点向右平移4个单位长度，
点向右平移4个单位长度得到，
四边形是平行四边形，
；
点由点向左平移4个单位长度，
点向左平移4个单位长度得到，
四边形是平行四边形，
；
②当CD为对角线时，点由点向左平移1个单位长度，再向上平移5个单位长度，
点向左平移1个单位长度，再向上平移5个单位长度，得到，则四边形是平行四边形，
，
综上所述，点N的坐标为或或
【解析】直接用待定系数法求解即可；
先求出直线BC的解析式为：，设点，则点，由，求得，即可求解；
先求得抛物线的对称轴为直线：，再求得，分两种情况根据平移的性质即可求解．
本题考查了二次函数的图象与性质，待定系数法求函数解析式，平行四边形的判定，平移的性质等知识，掌握相关知识是解题的关键．售价元/件
80
100
销售量件
100
60