全等三角形模型之一——“一线三等角”教案

这是一份全等三角形模型之一——“一线三等角”教案，共8页。
全等三角形“一线三等角”模型教案【核心素养】进一步巩固全等三角形的性质和判定，会识别一线三等角模型，证明三角形全等．【教学重难点】灵活运用一线三等角的基本模型、结论及辅助线的构造方法．知识点与方法技巧梳理：一线三等角顾名思义就是在一条直线上有三个相等的角（如下图1、图2），特别地，当三个角都是直角时，称为一线三垂直（如下图3、图4）．DECBA123123ABCDE图1图2一线三等角是一种常见的几何模型，与全等有关的一线三等角涉及到导角、全等三角形的证明、线段数量关系的证明等．最常见的是一线三垂直．可通过导角得到全等三角形，再证明线段或角度之间的数量关系．ADEB图3CACBDE图4【例1】如图，AB⊥BC，AD⊥DE，CE⊥DE，AB＝BC，求证：DE＝AD＋CE．ADEBC【变式】如图，AB⊥BC，AD⊥BE，CE⊥BE，AB＝BC，求证：DE＝AD－CE．ACBDE【例2】已知AC＝BC，点D是BC上一点，∠ADE＝∠C．（1）如图1，若∠C＝90°，∠DBE＝135°，求证：AD＝DE；（2）如图2，当∠DBE与∠C之间满足什么数量关系时，总有AD＝DE成立，请证明．ADBCE图1DBC图2EA【变式】在四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝AD，∠ABC＝2∠C，点E在AD上，点F在CD上．（1）如图1，当∠C＝45°，∠BEF＝90°时，求证：BE＝EF；（2）如图2，当∠C＝30°时，若BE＝EF，求∠BEF的度数．EDACB图1FEDACB图2F【例3】如图，在△ABC中，AB＝AC＝9，点D，E分别在BC，AC上，∠ADE＝∠B，AD＝DE，CD＝3BD，求CE的长．ABCDE【变式】如图，在△ABC中，AB＝AC，D，E分别是BC，AC上的点，∠ADE＝∠B，DA＝DC，过点A作AF⊥DE于点F，若CE＝5，DE＝13，求EF的长．ABCDEF【例4】如图，在△ABC中，∠B＝45°，∠C＝22.5°，AC＝6，求△ABC的面积．ACB【变式】1．如图，D为等腰Rt△ABC外一点，D，B在AC两侧，∠BAC＝90°，∠ADC＝45°，AD＝4，△ACD的面积为6，求△ABD的面积．ADBC2．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝1，D为BC延长线上一点，∠CAD＝45°，求CD的长．ABDC【思维拓展】AECBFD1．如图，AB⊥AC，AB＝AC，AD⊥BD，E是BD的中点，AD的延长线交CE于点F，CF＝EF，求证：CE＝AB．2．如图，在等边△ABC中，D为BC上一点，E为AD上一点，∠ABE＝∠CAD，过点C作CF∥BE交AD的延长线于点F．ABCDEF（1）求∠AEB的度数；（2）探究线段AF，BE，CF之间的数量关系．3．如图，在等边△ABC中，D，E分别为AB，BC边上的动点（不与端点重合），AD＝2BE，连接DE，以DE为边在向左作等边△DEF，连接CF，求∠FCE的度数．ABECDF4．如图，△ABC为等腰直角三角形，∠A＝90°，点D，E，F分别在边BC，AB，AC上，AE＝CF，∠DEF＝45°，求证：△DEF为等腰直角三角形．AFEBCD5．如图，AC⊥BD，AC＝BD，∠CDE＝2∠BAC，求证：DE＝AE＋BC．AEBDC6．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D，E分别在AB，AC上，AD＝AE，AF⊥BE交BC于点F，FG⊥CD交AC于点G，交BE的延长线于点H，探究线段AF，FH，BH之间的数量关系．ABFCDEHG7．如图，正方形ABCD中，点E为边CD上的动点，点F在AD的延长线上，DF＝2CE，连接EF，将线段EF绕点E逆时针旋转90°得到EG，连接BG，设点G到AB，BC的距离分别为m，n，求  EQ \F(m, n ) 的值．ADFEGBC8．如图，在△ABC中，∠ABC＝135°，过点B作BD⊥AB，过点C作CD⊥AC，BD与CD相交于点D．（1）求证：AC＝CD；（2）连接AD，过点B作BE⊥BC，交AD于点E，连接CE，求证：∠ACE＝∠ACB．AEDBC【课后作业】1．如图，∠ACB＝90°，AC＝BC，AD⊥CD，BE⊥CD，垂足为D，E，若AD＝1，BE＝3，则DE的长为_________．ADBCE2．如图，DA⊥AB，EB⊥AB，CD⊥DE，CD＝CE，DA＝5，EB＝3，则AB＝_________．DEACB3．如图，在△ABC中，AB＝AC，D，E，F分别是BC，AB，AC上的点，∠EDF＝∠B，DE＝DF＝5，BC＝8，则△BDE的周长是_________．ABDCEF4．如图，AB⊥BD，AC⊥BE，DE⊥BE，AB＝BD，将△ABC沿AB翻折到△ABF，将△BDE沿BD翻折到△BDG，若FG＝10，CE＝4，则AF＝_________．ACEDFBG5．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D为AC上一点，DE⊥AC，DE＝AC，AF⊥AE交BC于点F，求证：BF＝CD．ADEBFC6．如图，AC⊥BE，DE⊥BE，AC＝BE，AB＝BD，AD与BE的延长线相交于点F，求证；△ACF是等腰直角三角形．ABCEFD7．如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC上一点，点E，F在AD上，AE＝EF＝  EQ \F(1, 2 ) BE，∠BED＝∠BAC求证：AE＝CF，BD＝2CD．ABCDEF8．如图，在正方形ABCD中，点E是BC边上一点，点F是∠BCD的外角平分线上一点．（1）若AE⊥EF，求证：AE＝EF；CBDAEPF（2）若AE＝EF，求证：AE⊥EF．AEGFCBD9．如图，△ABC和△CDE都是等腰直角三角形，∠BAC＝∠DCE＝90°，点D在AB上，2AD＝3BD，连接BE交AC于点F，DE交AC于点G，求  EQ \F(AF, CF ) 和  EQ \F(AG, CG ) 和值．10．如图，点E为正方形ABCD内一点，BE＝BC，连接CE并延长交∠ABE的平分线于点F，过点D作DG⊥CF于点G，求证：CE＝2FG．FDAGCBE11．如图，在正方形ABCD中，E是BC上一点，EF⊥AE交∠BCD的外角平分线于点F，连接AF交CD于点G，连接EG，求证：∠EAG＝45°，EF平分∠GEC．DACBEGF12．如图，在△BOM中，∠BOM＝45°，过点O作直线l⊥OB，C为直线l上一点，∠MBC＝45°，过点C作CA⊥BC交BM的延长线于点A，过点A作直线l的垂线，垂足为D，若点M到OB的距离为2，当OB的长度变化时，OD的长度是否为定值？请说明理由．ADMOCBl