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陕西省西安中学2023-2024学年高一上学期第二次月考 数学试题（含解析）
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这是一份陕西省西安中学2023-2024学年高一上学期第二次月考 数学试题（含解析），共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
数学试题
（时间：100分钟 满分：120分）
一、选择题（本题共8小题，每小题4分，共32分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．已知集合，则（ ）
A．B．
C．D．
2．由表格中的数据，可以断定方程ex－3x－2＝0的一个根所在的区间（ ）
A．(0，1)B．(1，2)C．(2，3)D．(3，4)
3．三个数的大小关系是（ ）
A．B．
C．D．
4．已知函数（且）的图象过定点P，且角的终边经过P，则（ ）
A．B．
C．D．
5．已知（且，且），则函数与的图像可能是（ ）
A．B．
C．D．
6．已知，则的值为（ ）
A．B．C．0D．
7．近年来纯电动汽车越来越受消费者的青睐，新型动力电池迎来了蓬勃发展的风口.Peukert于1898年提出蓄电池的容量（单位：），放电时间（单位：）与放电电流（单位：）之间关系的经验公式：，其中为Peukert常数.为测算某蓄电池的Peukert常数，在电池容量不变的条件下，当放电电流时，放电时间；当放电电流时，放电时间.若计算时取，则该蓄电池的Peukert常数大约为（ ）
A．1.25B．1.5C．1.67D．2
8．对于函数，下列说法中错误的是（ ）
A．该函数的值域是
B．函数的对称轴方程是
C．当且仅当时，函数取得最大值1
D．当且仅当时，
二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得5分，有选错的得0分，部分选对得2分．）
9．下列函数中最小正周期为，且为偶函数的是（ ）
A．B．
C．D．
10．已知，，，则（ ）
A．B．
C．D．
11．已知为锐角，且，则下列选项中正确的有（ ）
A．B．
C．D．
12．已知函数若关于的方程有四个互不相等的实数根，则的取值可能为（ ）
A．B．C．5D．
三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡上相应位置．）
13．若幂函数的图象过点，则 .
14．如图1，折扇又名“撒扇”“纸扇”，是一种用竹木或象牙做扇骨，㓞纸或绫绢做扇面的能折叠的扇子，其展开的平面图如图2的扇形，其中，则扇面（曲边四边形）的面积是 .
15．已知函数，且，则 ．
16．函数在区间上单调递增，则的取值范围是 .
四、解答题（本题共4小题，共48分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）
17．在①；②；③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解决该问题.
已知_______．
(1)求的值；
(2)当为第三象限角时，求的值．
18．已知函数（且）的图象过点．
(1)求m的值；
(2)当时，求关于x的不等式的解集；
(3)记在区间上的值域分别为集合A，B，若是的必要条件，求实数k的取值范围．
19．若函数.
（1）当，函数的最大值；
（2）是否存在实数，使得在闭区间上的最大值是1？若存在，求对应的值？若不存在，试说明理由.
20．已知函数．
(1)求的定义域，并证明的图象关于点对称；
(2)若关于x的方程有解，求实数a的取值范围．
x
0
1
2
3
4
ex
1
2.72
7.39
20.09
54.60
3x＋2
2
5
8
11
14
1．D
【分析】根据数轴，直接求两个集合的交集.
【详解】如图，只有当时，集合有交集，此时.
故选：D
2．C
【分析】设f(x)＝ex－3x－2，f(x)为R上的连续函数，由题表知，f(0)，f（1），f（2）均为负值，
f（3），f（4）均为正值，因此方程ex－3x－2＝0的一个根所在的区间为(2，3)．
【详解】设f(x)＝ex－3x－2，f(x)为R上的连续函数，由题表知，f(0)，f（1），f（2）均为负值，
f（3），f（4）均为正值，因此方程ex－3x－2＝0的一个根所在的区间为(2，3)．
故选：C.
3．A
【分析】利用指数函数、对数函数、正弦函数的单调性结合中间量法即可求解．
【详解】解：，
，
，
故选：A
4．BD
【分析】根据对数函数的性质求出的坐标，再根据三角函数的定义计算可得；
【详解】解：因为（且），令，即，所以，即，，，．
故选：BD
5．B
【分析】由对数的运算性质可得ab＝1，讨论a，b的范围，结合指数函数和对数函数的图像的单调性，即可得到答案．
【详解】，即为，即有ab＝1；
当a＞1时，0＜b＜1，
函数与均为减函数，四个图像均不满足，
当0＜a＜1时，b＞1，
函数数与均为增函数，排除ACD，
在同一坐标系中的图像只能是B，
故选：B．
6．A
【分析】根据题意，利用三角函数的基本关系式，求得，再结合三角函数的诱导公式，化简得到，即可求解.
【详解】由，可得，
又由
.
故选：A.
7．B
【分析】由已知可得出，可得出，利用指数与对数的互化、换底公式以及对数的运算法则计算可得的近似值.
【详解】由题意可得，所以，所以，
所以.
故选：B.
8．C
【分析】根据题意，结合正弦函数与余弦函数的图象，画出函数的图象，结合图象，逐项判定，即可求解.
【详解】根据题意，画出函数的图象，如图所示（图中的实线部分），
结合函数的图象，
对于A中，函数的值域是，所以A正确；
对于B中，函数的对称轴方程是，所以B正确；
对于C中，当且仅当或时，函数取得最大值，所以C不正确；
对于D中，当且仅当时，满足，所以D正确.
故选：C.
9．AC
【分析】直接利用奇偶性的定义和周期的公式逐个分析判断即可
【详解】解：对于A，定义域为，因为，所以函数为偶函数，因为的图像是由的图像在轴下方的关于轴对称后与轴上方的图像共同组成，所以的最小正周期为，所以A正确，
对于B，定义域为，因为，所以函数为奇函数，所以B错误，
对于C，定义域为，，最小正周期为，因为，所以函数为偶函数，所以C正确，
对于D，定义域为，最小正周期为，所以D错误，
故选：AC
10．ACD
【分析】利用基本不等式及重要不等式，结合指数的运算、对数的运算和对数函数的性质即可求解.
【详解】对于A：因为，，，
所以，当且仅当，即时，等号成立，故A正确；
对于B：因为，，，所以，
当且仅当，即，时，等号成立，故B错误；
对于C：因为，，，所以，
当且仅当时，等号成立，故C正确；
对于D：因为，，，所以，即，
当且仅当时，等号成立，故D正确.
故选：ACD
11．ACD
【分析】运用同角的三角函数关系式进行运算逐一判断即可.
【详解】因为，
所以，而为锐角，
所以，选项A正确；
，
所以选项C正确；
因为为锐角，
所以，
因此选项D正确，
由，
所以选项B不正确，
故选：ACD
12．AB
【分析】根据题意，分别求得函数在两段区间上的单调性，画出函数图象，根据方程根的个数可知方程的两个不相等的实数根，满足，即可得，可得，即可得出结论.
【详解】当时，.
当时，函数在上单调递减，在上单调递增，
且函数在上单调递减，
所以在上单调递增，在上单调递减，
由，得；
当时，单调递增，，如下图所示：
令，当或时，方程只有一解；
当时，方程有两解；
当时，方程有三解.
方程有四个不相等的实数根，
等价于关于的方程有两个不相等的实数根，，且.
令，
因为，所以，
即，得，此时，
故的取值范围为.
故选：AB
13．2
【分析】根据幂函数的解析式和性质，求的解析式进而可得函数值
【详解】由题意得，则，由，得.
故答案为：2.
14．##
【分析】由大扇形面积减去小扇形面积即可得．
【详解】，
由题意可得，扇形的面积是，扇形的面积是.则扇面（曲边四边形）的面积是.
故答案为：．
15．
【分析】设，得到函数为定义域上的奇函数，结合，求得，进而求得的值.
【详解】设，可得函数的定义域为，
则定义域关于原点对称，且，
所以函数为定义域上的奇函数，
因为，可得，所以，
解得.
故答案为：.
16．
【分析】根据余弦函数的单调递增区间求得的取值范围，这个取值范围包含区间，由此列不等式组，解不等式组求得的取值范围.
【详解】由且，解得，
所以，解得：，又，得，
由于，故，所以.
故答案为：.
【点睛】方法点睛：本题主要考查已知三角函数在给定区间上的单调性求参数的取值范围，求函数的单调区间：由求增区间；由求减区间，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.
17．(1)
(2)
【分析】（1）根据诱导公式及同角的三角函数关系，得出条件①②③的结论都为，根据同角三角函数的关系化简，代入即可；
（2）由及为第三象限角求出和，再根据诱导公式化简，代值计算即可．
【详解】（1）若选①，则；
若选②，则，即，则；
若选③，则，即；
因为，
将代入，原式．
（2）由（1）得，即，
由，则，解得，
因为为第三象限角，所以，则，
．
18．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）将点代入函数解析式，即可求解；
（2）根据（1）的结果，结合指数运算，将不等式化简为，即可求解；
（3）首先根据函数的单调性，求解函数的值域，再根据条件，转化为，列不等式问题，即可求解.
【详解】（1）∵的图象过点，
∴，解得；
（2）当时，关于x的不等式，
即，可化为，
即，得，
可得解集；
（3）由（1）得，单调递增，当时，的值域为，即，
当时，单调递减，
的值域为，即，
∵是的必要条件，
∴，∴，解得，
∴k的取值范围是.
19．（1）；（2）存在，或.
【解析】（1）化简得，根据二次函数的性质可求；
（2）令，可得，讨论，和三种情况结合二次函数性质求解.
【详解】（1）
∵，当时，.
(2)
令，∵，∴，即
，
①当即时，
②当即时，
（舍）（舍）
③即时，.
综上所述：或.
【点睛】本题考查含正弦函数的二次函数型问题，解题的关键是利用换元法，将函数转化为二次函数问题.
20．(1)，证明见解析
(2)
【分析】（1）直接根据，即可得定义域，通过可得对称性；
（2）法一、题意转化为在上有解，通过的单调性得其范围，进而得的取值范围；
法二、题意转化为在上有解，根据一元二次方程根的分布列出不等式组得出的范围.
【详解】（1）由题设可得，解得，故的定义域为，
而，
故的图象关于点对称．
（2）法一：因为关于x的方程即有解，
故在上有解．
下面求在上有解时实数a的取值范围．
因为与在区间上都是减函数，
所以函数在区间上也是减函数，
所以时，的取值范围是．
令，解得．
因此，所求实数a的取值范围是．
法二：，即，
因为有解，故在上有解，
整理得到在上有解，
设，显然，则或
解得．
故实数a的取值范围为．
数学试题
（时间：100分钟 满分：120分）
一、选择题（本题共8小题，每小题4分，共32分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．已知集合，则（ ）
A．B．
C．D．
2．由表格中的数据，可以断定方程ex－3x－2＝0的一个根所在的区间（ ）
A．(0，1)B．(1，2)C．(2，3)D．(3，4)
3．三个数的大小关系是（ ）
A．B．
C．D．
4．已知函数（且）的图象过定点P，且角的终边经过P，则（ ）
A．B．
C．D．
5．已知（且，且），则函数与的图像可能是（ ）
A．B．
C．D．
6．已知，则的值为（ ）
A．B．C．0D．
7．近年来纯电动汽车越来越受消费者的青睐，新型动力电池迎来了蓬勃发展的风口.Peukert于1898年提出蓄电池的容量（单位：），放电时间（单位：）与放电电流（单位：）之间关系的经验公式：，其中为Peukert常数.为测算某蓄电池的Peukert常数，在电池容量不变的条件下，当放电电流时，放电时间；当放电电流时，放电时间.若计算时取，则该蓄电池的Peukert常数大约为（ ）
A．1.25B．1.5C．1.67D．2
8．对于函数，下列说法中错误的是（ ）
A．该函数的值域是
B．函数的对称轴方程是
C．当且仅当时，函数取得最大值1
D．当且仅当时，
二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得5分，有选错的得0分，部分选对得2分．）
9．下列函数中最小正周期为，且为偶函数的是（ ）
A．B．
C．D．
10．已知，，，则（ ）
A．B．
C．D．
11．已知为锐角，且，则下列选项中正确的有（ ）
A．B．
C．D．
12．已知函数若关于的方程有四个互不相等的实数根，则的取值可能为（ ）
A．B．C．5D．
三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡上相应位置．）
13．若幂函数的图象过点，则 .
14．如图1，折扇又名“撒扇”“纸扇”，是一种用竹木或象牙做扇骨，㓞纸或绫绢做扇面的能折叠的扇子，其展开的平面图如图2的扇形，其中，则扇面（曲边四边形）的面积是 .
15．已知函数，且，则 ．
16．函数在区间上单调递增，则的取值范围是 .
四、解答题（本题共4小题，共48分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）
17．在①；②；③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解决该问题.
已知_______．
(1)求的值；
(2)当为第三象限角时，求的值．
18．已知函数（且）的图象过点．
(1)求m的值；
(2)当时，求关于x的不等式的解集；
(3)记在区间上的值域分别为集合A，B，若是的必要条件，求实数k的取值范围．
19．若函数.
（1）当，函数的最大值；
（2）是否存在实数，使得在闭区间上的最大值是1？若存在，求对应的值？若不存在，试说明理由.
20．已知函数．
(1)求的定义域，并证明的图象关于点对称；
(2)若关于x的方程有解，求实数a的取值范围．
x
0
1
2
3
4
ex
1
2.72
7.39
20.09
54.60
3x＋2
2
5
8
11
14
1．D
【分析】根据数轴，直接求两个集合的交集.
【详解】如图，只有当时，集合有交集，此时.
故选：D
2．C
【分析】设f(x)＝ex－3x－2，f(x)为R上的连续函数，由题表知，f(0)，f（1），f（2）均为负值，
f（3），f（4）均为正值，因此方程ex－3x－2＝0的一个根所在的区间为(2，3)．
【详解】设f(x)＝ex－3x－2，f(x)为R上的连续函数，由题表知，f(0)，f（1），f（2）均为负值，
f（3），f（4）均为正值，因此方程ex－3x－2＝0的一个根所在的区间为(2，3)．
故选：C.
3．A
【分析】利用指数函数、对数函数、正弦函数的单调性结合中间量法即可求解．
【详解】解：，
，
，
故选：A
4．BD
【分析】根据对数函数的性质求出的坐标，再根据三角函数的定义计算可得；
【详解】解：因为（且），令，即，所以，即，，，．
故选：BD
5．B
【分析】由对数的运算性质可得ab＝1，讨论a，b的范围，结合指数函数和对数函数的图像的单调性，即可得到答案．
【详解】，即为，即有ab＝1；
当a＞1时，0＜b＜1，
函数与均为减函数，四个图像均不满足，
当0＜a＜1时，b＞1，
函数数与均为增函数，排除ACD，
在同一坐标系中的图像只能是B，
故选：B．
6．A
【分析】根据题意，利用三角函数的基本关系式，求得，再结合三角函数的诱导公式，化简得到，即可求解.
【详解】由，可得，
又由
.
故选：A.
7．B
【分析】由已知可得出，可得出，利用指数与对数的互化、换底公式以及对数的运算法则计算可得的近似值.
【详解】由题意可得，所以，所以，
所以.
故选：B.
8．C
【分析】根据题意，结合正弦函数与余弦函数的图象，画出函数的图象，结合图象，逐项判定，即可求解.
【详解】根据题意，画出函数的图象，如图所示（图中的实线部分），
结合函数的图象，
对于A中，函数的值域是，所以A正确；
对于B中，函数的对称轴方程是，所以B正确；
对于C中，当且仅当或时，函数取得最大值，所以C不正确；
对于D中，当且仅当时，满足，所以D正确.
故选：C.
9．AC
【分析】直接利用奇偶性的定义和周期的公式逐个分析判断即可
【详解】解：对于A，定义域为，因为，所以函数为偶函数，因为的图像是由的图像在轴下方的关于轴对称后与轴上方的图像共同组成，所以的最小正周期为，所以A正确，
对于B，定义域为，因为，所以函数为奇函数，所以B错误，
对于C，定义域为，，最小正周期为，因为，所以函数为偶函数，所以C正确，
对于D，定义域为，最小正周期为，所以D错误，
故选：AC
10．ACD
【分析】利用基本不等式及重要不等式，结合指数的运算、对数的运算和对数函数的性质即可求解.
【详解】对于A：因为，，，
所以，当且仅当，即时，等号成立，故A正确；
对于B：因为，，，所以，
当且仅当，即，时，等号成立，故B错误；
对于C：因为，，，所以，
当且仅当时，等号成立，故C正确；
对于D：因为，，，所以，即，
当且仅当时，等号成立，故D正确.
故选：ACD
11．ACD
【分析】运用同角的三角函数关系式进行运算逐一判断即可.
【详解】因为，
所以，而为锐角，
所以，选项A正确；
，
所以选项C正确；
因为为锐角，
所以，
因此选项D正确，
由，
所以选项B不正确，
故选：ACD
12．AB
【分析】根据题意，分别求得函数在两段区间上的单调性，画出函数图象，根据方程根的个数可知方程的两个不相等的实数根，满足，即可得，可得，即可得出结论.
【详解】当时，.
当时，函数在上单调递减，在上单调递增，
且函数在上单调递减，
所以在上单调递增，在上单调递减，
由，得；
当时，单调递增，，如下图所示：
令，当或时，方程只有一解；
当时，方程有两解；
当时，方程有三解.
方程有四个不相等的实数根，
等价于关于的方程有两个不相等的实数根，，且.
令，
因为，所以，
即，得，此时，
故的取值范围为.
故选：AB
13．2
【分析】根据幂函数的解析式和性质，求的解析式进而可得函数值
【详解】由题意得，则，由，得.
故答案为：2.
14．##
【分析】由大扇形面积减去小扇形面积即可得．
【详解】，
由题意可得，扇形的面积是，扇形的面积是.则扇面（曲边四边形）的面积是.
故答案为：．
15．
【分析】设，得到函数为定义域上的奇函数，结合，求得，进而求得的值.
【详解】设，可得函数的定义域为，
则定义域关于原点对称，且，
所以函数为定义域上的奇函数，
因为，可得，所以，
解得.
故答案为：.
16．
【分析】根据余弦函数的单调递增区间求得的取值范围，这个取值范围包含区间，由此列不等式组，解不等式组求得的取值范围.
【详解】由且，解得，
所以，解得：，又，得，
由于，故，所以.
故答案为：.
【点睛】方法点睛：本题主要考查已知三角函数在给定区间上的单调性求参数的取值范围，求函数的单调区间：由求增区间；由求减区间，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.
17．(1)
(2)
【分析】（1）根据诱导公式及同角的三角函数关系，得出条件①②③的结论都为，根据同角三角函数的关系化简，代入即可；
（2）由及为第三象限角求出和，再根据诱导公式化简，代值计算即可．
【详解】（1）若选①，则；
若选②，则，即，则；
若选③，则，即；
因为，
将代入，原式．
（2）由（1）得，即，
由，则，解得，
因为为第三象限角，所以，则，
．
18．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）将点代入函数解析式，即可求解；
（2）根据（1）的结果，结合指数运算，将不等式化简为，即可求解；
（3）首先根据函数的单调性，求解函数的值域，再根据条件，转化为，列不等式问题，即可求解.
【详解】（1）∵的图象过点，
∴，解得；
（2）当时，关于x的不等式，
即，可化为，
即，得，
可得解集；
（3）由（1）得，单调递增，当时，的值域为，即，
当时，单调递减，
的值域为，即，
∵是的必要条件，
∴，∴，解得，
∴k的取值范围是.
19．（1）；（2）存在，或.
【解析】（1）化简得，根据二次函数的性质可求；
（2）令，可得，讨论，和三种情况结合二次函数性质求解.
【详解】（1）
∵，当时，.
(2)
令，∵，∴，即
，
①当即时，
②当即时，
（舍）（舍）
③即时，.
综上所述：或.
【点睛】本题考查含正弦函数的二次函数型问题，解题的关键是利用换元法，将函数转化为二次函数问题.
20．(1)，证明见解析
(2)
【分析】（1）直接根据，即可得定义域，通过可得对称性；
（2）法一、题意转化为在上有解，通过的单调性得其范围，进而得的取值范围；
法二、题意转化为在上有解，根据一元二次方程根的分布列出不等式组得出的范围.
【详解】（1）由题设可得，解得，故的定义域为，
而，
故的图象关于点对称．
（2）法一：因为关于x的方程即有解，
故在上有解．
下面求在上有解时实数a的取值范围．
因为与在区间上都是减函数，
所以函数在区间上也是减函数，
所以时，的取值范围是．
令，解得．
因此，所求实数a的取值范围是．
法二：，即，
因为有解，故在上有解，
整理得到在上有解，
设，显然，则或
解得．
故实数a的取值范围为．
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