上海市杨浦区复旦大学附属中学2024−2025学年高一上学期开学 数学试题（含解析）

这是一份上海市杨浦区复旦大学附属中学2024−2025学年高一上学期开学 数学试题（含解析），共12页。试卷主要包含了填空题，单选题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、填空题（本大题共12小题）
1．用列举法表示《沁园春·长沙》前三句的意象所组成的集合 .
2．设高一（5）班全体学生的集合为（中有名男生，名女生），高一（5）班全体女生的集合为，则 .
3．用区间法表示实数集R= .
4．已知集合，集合，则 .
5．已知集合，，则 ．
6．已知集合 ， ,满足 的集合有 个.
7．已知集合中的所有元素之和为1，则实数的取值集合为 ．
8．设集合，，若的真子集的个数是1，则正实数的取值范围为 .
9．关于的方程的解集中只含有一个元素，则的所有可能值组成的集合是 ．
10．设集合，且中任意两数之和不能被5整除，则的最大值为
11．已知集合满足若且，则，小张同学迅速得出个结论：（1）；（2）集合不可能是单元素集；（3）当取遍可以取的所有数时，集合元素的个数一定是偶数，其中错误结论的序号为 .
12．若规定集合的子集为的第个子集，其中，则的第211个子集的真子集个数为 .
二、单选题（本大题共4小题）
13．子曰：“工欲善其事，必先利其器.”这句名言最早出自于《论语･卫灵公》.此名言中的“利其器”是“善其事”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
14．政治书上讲，“有使用价值的东西不一定有价值，有价值的东西一定有使用价值”，如果把有使用价值的东西看作集合，把有价值的东西看作集合，那么它们的关系是（ ）
A．B．C．D．
15．已知A，B为非空数集，为平面上的一些点构成的集合，集合，集合，给定下列四个命题，其中真命题是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
16．已知有限集，如果中的元素满足，就称为“完美集”.①集合是“完美集”；②若是两个不同的正数，且是“完美集”，则至少有一个大于；③二元“完美集”有无穷多个；④若为正整数，则“完美集”有且只有一个，且；上列结论是真命题的个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
三、解答题（本大题共5小题）
17．设
(1)证明：；
(2)证明：.
18．设集合，.
(1)当时，求，；
(2)记，若集合的真子集有7个，求：所有实数的取值所构成的集合.
19．学校举办运动会，某班有人报名参赛，其中人报名参加游泳比赛，人报名参加田径比赛，人报名参加球类比赛，同时报名参加游泳比赛和田径比赛的有人，同时报名参加田径比赛和球类比赛的有人，没有人同时报名参加这三项比赛．
(1)求同时报名参加游泳和球类比赛的学生人数；
(2)在只报名参加游泳一项比赛的人中，男生比女生多人，且男生甲和女生乙都在其中，现从这人中随机选出男女生各人，求男生甲被选中且女生乙未被选中的概率．
20．已知集合，对于集合的非空子集，若中存在三个互不相同的元素，使得均属于，则称集合是集合的“期待子集”.
(1)试判断集合是否为集合的“期待子集”；（直接写出答案，不必说明理由）
(2)如果一个集合中含有三个元素，同时满足①，②，③为偶数.那么称该集合具有性质.对于集合的非空子集，证明：集合是集合的“期待子集”的充要条件是集合具有性质.
21．已知集合为非空数集，对于集合，定义对中任意两个不同元素相加得到一个绝对值，将这些绝对值重新组成一个新的集合，对于这一过程，我们定义为“自相加”，重新组成的集合叫做“集合的1次自相加集合”，再次进行次“自相加”操作，组成的集合叫做“集合的次自相加集合”，若集合的任意次自相加集合都不相等，则称集合为“完美自相加集合”，同理，我们可以定义出“的1次自相减集合”，集合的1次自相加集合和1次自相减集合分别可表示为：.
(1)已知有两个集合，集合，集合，判断集合和集合是否是完美自相加集合并说明理由；
(2)对(1)中的集合进行11次自相加操作后，求：集合的11次自相加集合的元素个数；
(3)若且，集合，求：的最小值.
参考答案
1．【答案】{寒秋，湘江，橘子洲}
【分析】根据题意结合列举法即可得答案.
【详解】《沁园春·长沙》前三句为：“独立寒秋，湘江北去，橘子洲头”，
故用列举法表示《沁园春·长沙》前三句的意象所组成的集合为寒秋，湘江，橘子洲.
故答案为：寒秋，湘江，橘子洲.
2．【答案】真包含
【分析】根据集合间的关系的定义判断两个集合之间的关系.
【详解】由题意，根据真子集的定义，得到真包含.
故答案为：真包含.
3．【答案】
【分析】实数集是指包含所有有理数和无理数的集合，用区间法表示实数集即为.
【详解】.
4．【答案】
【分析】先求出集合，再根据交集的定义即可得解.
【详解】，
而，
所以.
故答案为：.
5．【答案】
【分析】检验A中元素是否为方程的根，确定集合的交集结果即可.
【详解】，，
把代入方程，方程不成立，故，
再把代入方程，方程不成立，故，
,
故答案为：
6．【答案】
【详解】由条件 可知： 则符合条件的集合 的个数即为集合 的子集的个数，共4个．
故答案为：4.
7．【答案】
【分析】利用分类讨论的思想①当时，集合只有0和1两个元素，故满足所有的元素和为1．②当没有实根,故,进一步求出结果．
【详解】集合中的所有元素之和为1，
则：①当时，集合只有0和1两个元素，故满足所有的元素和为1．
②当没有实根时,，即，解得：.
综合①②得:.
故答案为.
8．【答案】
【分析】分和和讨论即可.
【详解】，则，解得，
若的真子集的个数是1，则中只含有一个元素，
因为为正实数，则，，
若，则，解得，
若，则，解得，
若，则，无解，
综上所述，的取值范围为.
故答案为：.
9．【答案】
【分析】由方程有意义可得且，并将方程化为；根据方程解集中仅含有一个元素可分成三种情况，由此可解得所有可能的值.
【详解】由方程可知，解得且，
方程可化简为，
若的解集中只有一个元素，则有以下三种情况：
①方程有且仅有两个相等且不为和的解，
，解得，
此时的解为，满足题意；
②方程有两个不等实根，其中一个根为，另一根不为；
由得，，此时方程的另一根为，满足题意；
③方程有两个不等实根，其中一个根为，另一根不为；
由得，，此时方程的另一根为，满足题意；
综上所述：或或，即的所有可能值组成的集合是.
故答案为：
10．【答案】45
【分析】将集合按照除以5的余数分为5个集合，中最多可以选择1个，和中只能选择一个集合中的元素，和中只能选择一个集合中的元素，得到答案.
【详解】将集合按照除以5的余数分为：
，，，，
，
有21个元素，有22个元素，有22个元素，有21个元素，有21个元素，
中最多可以选择1个，
和中只能选择一个集合中的元素，最多22个，
和中只能选择一个集合中的元素，最多22个，
综上所述：中选择1个，和中的全部元素，共45个.
故答案为：45.
11．【答案】（2）
【分析】由集合的定义逐个判断即可.
【详解】若，则不能作为分母，故，（1）正确；
当时，，所以，故（2）错误；
当时，，所以集合一定包含，
当取其他整数时，则其倒数必在集合中，
所以当取遍可以取的所有数时，集合的元素一定为偶数，故（3）正确.
故答案为：（2）
12．【答案】31
【分析】结合题意先判断出的第211个子集，再由真子集个数求解即可；
【详解】因为，
所以由题意可得的第211个子集为，
所以其真子集个数为个，
故答案为：31
13．【答案】B
【分析】根据题意结合充分、必要条件分析判断.
【详解】由题意“工欲善其事，必先利其器.”指工匠要想要做好活儿，一定先要把工具整治得锐利精良.
从逻辑角度理解，如果工匠做好活了，说明肯定是有锐利精良的工具，即必要性成立；
反过来如果有锐利精良的工具，不能得出一定能做好活儿，即充分性不成立；
所以“利其器”是“善其事”的必要不充分条件.
故选B.
14．【答案】A
【分析】根据集合的包含关系及集合的交集、并集运算判断即可得出选项.
【详解】根据题意，推不出，能推出，
所以，故.
故选A.
15．【答案】D
【分析】运用元素和集合的关系判断即可.
【详解】设，，
若，此时，，B错误；
若，此时，，错误，A错误；
若，则,则，
且，若，A真包含,故D正确，C错误.
故选D．
16．【答案】D
【分析】根据题设中的“完美集”的定义，结合集合的运算，以及一元二次方程的性质，可判定①②③正确；设A中，得到，分和，两种情况分类讨论，可判定④正确.
【详解】对于①中，，，
集合是“完美集”，所以①正确；
对于②中，若，是两个不同的正数，且是“完美集”，
设，
根据根和系数的关系知，和相当于的两根，
由，解得或（舍去），所以，又均为正数，
所以，至少有一个大于2，所以②正确；
对于③中，由②知，一元二次方程，当t取不同的值时，的值是不同的，
所以二元“完美集”有无穷多个，所以③正确；
对于④，不妨设A中，
由，得，
当时，即有，所以，于是，无解，
即不存在满足条件的“完美集”；
当时，，故只能，，求得，
于是“完美集”A只有一个，为．
当时，由，即有，
事实上，，矛盾，
所以当时不存在完美集，所以④正确.
故选D.
17．【答案】(1)见解析；
(2)见解析.
【分析】(1)根据集合B，C中元素的性质，利用真子集的概念证明；
(2)由集合A，B都表示被3除余2的整数构成的集合得证.
【详解】(1)令，则，
即B为被3整除余2的整数构成的集合，
而，即C中元素都可以表示为的形式，其中，
所以C中任意元素都属于集合B,
又B中存在不属于C的元素，例如,
所以.
(2)由(1)知，
又，
所以.
18．【答案】(1)，；
(2).
【分析】(1)由题意求出集合中方程的解，由中的元素根据交集、并集运算即可求解；
(2)由题意得中的元素只有3个，由中的元素即可得到的取值.
【详解】(1)当时，，
，即，解得或，，
，.
(2)若集合的真子集有7个，则，可得，
即中的元素只有3个，
而，解得或，则，
由(1)知，
则当时，，
故所有实数的取值所构成的集合为.
19．【答案】(1)；
(2).
【分析】(1)以集合，，分别表示参加游泳、田径、球类比赛的学生构成的集合，作出图形，根据图形可得出关于的等式，即可解得的值；
(2)求得，可知这人中男生人，女生人，设这名男生分别为，，，，，这名女生分别为，，，，其中甲记为，乙记为，列举出所有的基本事件，并确定所求事件所包含的基本事件，利用古典概型的概率公式可求得所求事件的概率.
【详解】(1)以集合，，分别表示参加游泳、田径、球类比赛的学生构成的集合.
由图可知，，解得.
(2)由(1)及题意得，，
这人中，因为男生比女生多人，所以男生人、女生人，
设这名男生分别为，，，，，这名女生分别为，，，，
其中甲记为，乙记为，
从这名男生和名女生中各随机选出人，所有的基本事件有：、、、、、、、、、、、、、、、、、、、，共种选法，
其中男生甲被选中且女生乙未被选中的选法有种，故所求概率为．
20．【答案】(1)是集合的“期待子集”，不是集合的“期待子集”；
(2)证明见解析.
【分析】(1)根据所给定义判断即可.
(2)先证明必要性，再证明充分性，结合所给“期待子集”的定义及性质的定义证明即可；
【详解】(1)因为，
对于集合，令，解得，显然，，
所以是集合的“期待子集”；
对于集合，令，则，
因为，即，故矛盾，所以不是集合的“期待子集”
(2)先证明必要性：
当集合是集合的“期待子集”时，由题意，存在互不相同的，使得，
不妨设，令，，，则，即条件中的①成立；
又，所以，即条件中的②成立；
因为，
所以为偶数，即条件中的③成立；
所以集合满足条件.
再证明充分性：
当集合满足条件时，有存在，满足①，②，③为偶数，
记，，，
由③得，由①得，由②得，
所以，
因为，，，所以，，均属于，
即集合是集合的“期待子集”.
21．【答案】(1)是完美自相加集合,不是完美自相加集合，理由见解析；
(2)2051；
(3)675.
【分析】(1)利用自相加的概念找到一般规律计算即可；
(2)连续的正整数，自相加后，形成新的集合元素必然是连续的正整数，且得到集合的最小值必然是原来集合的两个最小元素值之和，得到的最大值为原来集合的两个最大元素值之和，所以只需要计算进行十一次自相加后集合的最大值和最小值即可，计算元素个数；
(2)由第二问的结论，我们很容易得到然后利用集合计算公式计算参数范围即可.
【详解】(1)是完美自相加集合,不是完美自相加集合理由如下：
集合,由此可知集合自相加后，新的集合的元素中最小的元素为自相加之前的集合中的最小两个元素之和，
所以显然集合的最小两个元素为，所以的最小元素为
对集合进行任意次自相加操作后，最小值在变大，
故不可能有相等集合，
所以是完美自相加集合；
集合表示所有奇数构成的集合，任何两个奇数相加都是偶数，
所以，为所有偶数构成集合；
所以对再进行一次自相加操作，所有偶数相加还是会是所有偶数，
故后面集合不管进行多少次相加都是与相同；
故不是完美自相加集合.
(2)由自相加性质可知，对于集合，进行一次自相加，得到集合的最小值必然是原来集合的两个最小元素值之和，
得到的最大值为原来集合的两个最大元素值之和，且中间必然是连续的整数元素；
所以对集合进行一次自相加之后，得到的集合最小两个元素为，最大的两个元素为；
进行第二次自相加，得到的集合最小两个元素为，最大的两个元素为；
进行第三次自相加，得到的集合最小两个元素为，最大的两个元素为；
进行第四次自相加，得到的集合最小两个元素为，最大的两个元素为；
进行第五次自相加，得到的集合最小两个元素为，最大的两个元素为；
进行第六次自相加，得到的集合最小两个元素为，最大的两个元素为；
进行第七次自相加，得到的集合最小两个元素为，最大的两个元素为；
进行第八次自相加，得到的集合最小两个元素为，最大的两个元素为；
进行第九次自相加，得到的集合最小两个元素为，最大的两个元素为；
进行第十次自相加，得到的集合最小两个元素为，最大的两个元素为；
进行第十一次自相加，得到的集合最小两个元素为，最大的两个元素为；
因为集合元素都是连续的整数，所以集合进行11次自相加操作后的元素个数为.
（3）因为且，集合
所以
要使
则，又因为
故的最小值为.