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四川省芦山中学2024−2025学年初升高高一上学期入学考试摸底 数学试卷（含解析）
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这是一份四川省芦山中学2024−2025学年初升高高一上学期入学考试摸底 数学试卷（含解析），共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本大题共8小题）
1．宇宙现在的年龄约为200亿年，200亿用科学记数法表示为（ ）
A．0.2×1011B．2×1010C．200×108D．2×109
2．下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．已知 ，那么锐角α的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．已知关于的方程的一个根是1，则它的另一个根是（ ）
A．B．3C．D．2
5．某次射击比赛，甲队员的成绩如图，根据此统计图，下列结论中错误的是（ ）
A．最高成绩是环B．平均成绩是环
C．这组成绩的众数是环D．这组成绩的方差是
6．若满足，且，则的值为（ ）
A．B．C．D．
7．定义新运算满足：
①；②；③.
则关于的方程的解为（ ）
A．B．C．D．
8．只有一个实数x使得等式成立，则的值为（ ）
A．B．C．D．或
二、多选题（本大题共3小题）
9．两名同学在一次用频率估计概率的试验中统计了某一结果出现的频率，绘制出统计图如图所示，则不符合这一结果的试验是（ ）
A．抛一枚硬币，正面朝上的概率
B．掷一枚正六面体的骰子，出现点的概率
C．转动如图所示的转盘，转到数字为奇数的概率
D．从装有个红球和个蓝球的口袋中任取一个球恰好是蓝球的概率
10．如图，抛物线的对称轴是直线，且与轴、轴分别交于两点，其中点在点的右侧，直线经过、两点.下列选项正确的是（ ）
A．B．抛物线与轴的另一个交点在0与-1之间
C．D．
11．如图，的内角和外角的平分线相交于点，交于点，过点作交于点，交于点，连接，下列选项正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
三、填空题（本大题共3小题）
12．若化简的结果为，则的取值范围是 .
13．设点和点是直线，（）上的两个点，则、的大小关系为 ．
14．如图，直线与抛物线交于A，B两点，点P是y轴上的一个动点，当△PAB的周长最小时，S△PAB= ．
四、解答题（本大题共5小题）
15．（1）计算：
（2）化简：.
16．如图，在中，，，点是上一点.
（1）若为的角平分线，求的长；
（2）若，求的值.
17．已知关于的方程有两个实数根.
(1)求实数的取值范围；
(2)若满足，求实数的值.
18．如图，在同一坐标系中，直线交轴于点，直线过点.
(1)求的值；
(2)点分别在直线上，且关于原点对称，说明：点关于原点对称的点的坐标为，求点的坐标和的面积.
19．如图，某日的钱塘江观测信息如下：2017年月日，天气：阴；能见度：1.8千米；时，甲地“交叉潮”形成，潮水匀速奔向乙地；时，潮头到达乙地，形成“一线潮”，开始均匀加速，继续向西；时，潮头到达丙地，遇到堤坝阻挡后回头，形成“回头潮”.
按上述信息，小红将“交叉潮”形成后潮头与乙地质检的距离（千米）与时间（分钟）的函数关系用图3表示.其中：“时甲地‘交叉潮’的潮头离乙地12千米”记为点，点坐标为，曲线可用二次函数：，是常数）刻画.
(1)求值，并求出潮头从甲地到乙地的速度；
(2)时，小红骑单车从乙地出发，沿江边公路以0.48千米分的速度往甲地方向去看潮，问她几分钟与潮头相遇？
(3)相遇后，小红立即调转车头，沿江边公路按潮头速度与潮头并行，但潮头过乙地后均匀加速，而单车最高速度为0.48千米分，小红逐渐落后.问小红与潮头相遇到落后潮头1.8千米共需多长时间？（潮水加速阶段速度，是加速前的速度）
参考答案
1．【答案】B
【分析】由1亿等于，再结合科学记数法的表示方法求解即可
【详解】解：将200亿用科学记数法表示为：2×1010．
故选B.
【方法总结】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
2．【答案】C
【分析】根据指数幂的运算法则逐项分析即得.
【详解】A，，故A错误；
B，，故B错误；
C，，故C正确；
D，，故D错误.
故选C．
3．【答案】B
【分析】根据结合锐角范围内正弦值随着角的增大而增大，得到，即可求得答案.
【详解】解：∵ ，∴ ,
又在锐角范围内正弦值随着角的增大而增大，得 ，
∴ ，又α是锐角，则α的取值范围是，
故选B.
【一题多解】，当α为锐角时，，，故α的取值范围是故选B.
4．【答案】C
【分析】利用韦达定理可求另外一根为，从而可得正确的选项.
【详解】，故方程必有两个不同的根，
设另一个根为，则由韦达定理可知，故，
故选C.
5．【答案】D
【分析】将甲队员次成绩（环数）由小到大排列，可判断A选项；利用平均数公式可判断B选项；利用众数的定义可判断C选项；利用方差公式可判断D选项.
【详解】甲队员次成绩（环数）由小到大排列依次为：、、、、、、、
、、，
对于A选项，甲的最高成绩是环，A正确；
对于B选项，甲的平均成绩为环，B正确；
对于C选项，这组成绩的众数是环，C正确；
对于D选项，这组成绩的方差是
，D错误.
故选D.
6．【答案】A
【分析】由题意可得m，n是方程的两根，根据韦达定理即可求得答案.
【详解】由题意可得m，n满足,所以m，n是方程的两根，
由韦达定理可得 ，
故，
答案A.
7．【答案】B
【分析】根据所给定义化简，再解方程即可.
【详解】根据题中新定义得，
由，可得，解得，
所以关于的方程的解为.
故选B.
8．【答案】D
【分析】分及进行讨论，结合一元二次方程的性质计算即可得.
【详解】当时，方程为只有一个实根，符合题意；
当时，若关于的方程只有一个实根，
则，即；
综上可知，的值为或,
故选D.
【易错警示】本题易忽略讨论时，等式为一元一次方程的形式，当时，方程为显然只有一个实根.
9．【答案】ABC
【分析】由统计图可估计该事件发生的概率为，分别计算每个选项的概率即可得.
【详解】对A：掷一枚硬币，出现正面朝上的概率为，故此选项不符合题意；
对B：掷一枚正六面体的骰子，出现点的概率为，故此选项不符合题意；
对C：转动如图所示的转盘，转到数字为奇数的概率为，故此选项不符合题意；
对D：从装有个红球和个蓝球的口袋中任取一个球恰好是蓝球的概率，
故此选项符合题意.
故选ABC.
10．【答案】ACD
【分析】根据图象，因为直线经过点，点在点的右侧，所以当时，，可求出的范围，判断选项正确；根据二次函数的图象与的交点关于对称轴对称，可判断另一个交点的位置，从而可判断选项；根据对称轴为，可得结合图象时的图象关系，建立不等式，可得的范围，从而可判断选项;根据的取值范围及可判断选项
【详解】∵抛物线开口向下，∴，
∵，∴；
∵直线经过点，点在点的右侧，
∴，∴，故A正确；
∵抛物线的对称轴是直线，
且与轴交点在点的右侧，
∴与轴另一个交点在点的左侧，故B错误；
由图象可知，当时，，
∴，∴，∴，∴，故C正确；
∵，，，∴，故D正确.
故选ACD.
11．【答案】ACD
【分析】根据角平分线以及外角的性质即可求解A，根据相似的判定，即可判定B，由角相等可得，进而可得判定C，根据角平分线的性质可得到三边距离相等，进而利用内角和以及外角的性质即可求解D.，
【详解】对于A，平分，所以，
因为平分，所以，
因为，
所以，
所以，故A正确；
对于B，因为与有两个角是相等的，能得出相似，
但不含相等的边，所有不能得出全等的结论，故B错误.
对于C，平分，所以，
因为，所以，
所以，所以，
同理，所以，故C正确.
对于D，过点作于，于，于，如图，
因为平分，所以，
因为平分，所以，
所以，所以平分，
设如图，
则，
因为，所以，
所以，
因为，所以，
所以，即，故D正确.
故选ACD.
12．【答案】.
【分析】根号下配方、去根号，根据去绝对值的结果判断即可.
【详解】，
.
故答案为：.
13．【答案】/
【分析】利用一次函数的增减性可得出、的大小关系.
【详解】当时，，对于函数，随着的增大而增大，
因为，则.
故答案为：.
14．【答案】
【分析】联立直线与抛物线的方程可得坐标，再作点关于轴的对称点，连接与轴的交于，此时的周长最小，再计算点到直线的距离，结合的长求解面积即可.
【详解】，解得，或，
点的坐标为，点的坐标为，
，
作点关于轴的对称点，连接与轴的交于，则此时的周长最小，
点的坐标为，点的坐标为，
设直线的函数解析式为，
，得，
直线的函数解析式为，
当时，，
即点的坐标为，
将代入直线中，得，
直线与轴的夹角是，
点到直线的距离是：，
的面积是：，
故答案为：．
【关键点拨】本题的关键在于作点关于轴的对称点，连接与轴的交于并求解此时点的坐标即为△PAB的周长最小时点的坐标，进而计算S△PAB的大小.
15．【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）根据实数的混合运算法则求解即可，
（2）利用分式的运算法则求解.
【详解】（1）原式
（2）原式
16．【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）过点作于点,由条件有，，根据,可求出答案.
（2）过点作于点,设，则,由，则，可得，利用勾股定理可得出答案.
【详解】（1）过点作于点，∵，，∴.∵，∴.
设，则，∴.∵为的角平分线，∴，
∴，解得.∴.
（2）同（1）过点作于点，由（1）可知，设，则，
∵，∴，∴，由勾股定理可知，，
∴，即，∴.∴.
∵，∴，∴.
17．【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用判别式的意义得到，然后解不等式即可；
（2）利用根与系数的关系得到，，利用得到，然后解方程后利用的范围确定的值.
【详解】（1）关于的方程有两个实数根，
，
解得.
（2）关于的方程有两个实数根
，，
，
，
，
整理得，
解得，，
，的值为.
18．【答案】(1)
(2)，
【分析】（1）由直线求出点的坐标，再将点的坐标代入方程中可求出的值；
（2）由题意设 ，则，再将点的坐标代入直线中可求出，从而可求得两点的坐标，进而可求出的面积.
【详解】（1）对于直线，当时，，
所以
因为直线过点，
所以，得，
（2）由得，
设 ，则.
又在上，
所以，解得，
则
所以.
19．【答案】(1)，千米分钟；
(2)小红5分钟后与潮头相遇；
(3)小红与潮头相遇到潮头离她1.8千米外共需26分钟.
【分析】（1）根据给定时间及坐标系求出m，再计算速度作答.
（2）求出小红从乙地出发时潮头离乙地的距离，设出从出发到与潮头相遇的时间，列方程求解作答.
（3）根据给定数据求出s与t的函数关系，求出小红追赶潮头距离乙地的距离与t的关系，由相距1.8千米列出方程，求解作答.
【详解】（1）到的时间是30分钟，则，即，
潮头从甲地到乙地的速度（千米分钟）.
（2）因为潮头的速度为0.4千米分钟，则到时，潮头已前进（千米），
此时潮头离乙地（千米），设小红出发分钟与潮头相遇，
于是得，解得，
所以小红5分钟后与潮头相遇.
（3）把，代入，得，解得，，
因此，又，则，
当潮头的速度达到单车最高速度0.48千米分，即时，，解得，
则当时，，
即从分钟时）开始，潮头快于小红速度奔向丙地，小红逐渐落后，但小红仍以0.48千米分的速度匀速追赶潮头，
设小红离乙地的距离为，则与时间的函数关系式为，
当时，，解得：，因此有，
最后潮头与小红相距1.8千米，即时，有，
解得，（舍去），
于是有，小红与潮头相遇后，按潮头速度与潮头并行到达乙地用时（分钟），
因此共需要时间为（分钟），
所以小红与潮头相遇到潮头离她1.8千米外共需26分钟.
一、单选题（本大题共8小题）
1．宇宙现在的年龄约为200亿年，200亿用科学记数法表示为（ ）
A．0.2×1011B．2×1010C．200×108D．2×109
2．下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．已知 ，那么锐角α的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．已知关于的方程的一个根是1，则它的另一个根是（ ）
A．B．3C．D．2
5．某次射击比赛，甲队员的成绩如图，根据此统计图，下列结论中错误的是（ ）
A．最高成绩是环B．平均成绩是环
C．这组成绩的众数是环D．这组成绩的方差是
6．若满足，且，则的值为（ ）
A．B．C．D．
7．定义新运算满足：
①；②；③.
则关于的方程的解为（ ）
A．B．C．D．
8．只有一个实数x使得等式成立，则的值为（ ）
A．B．C．D．或
二、多选题（本大题共3小题）
9．两名同学在一次用频率估计概率的试验中统计了某一结果出现的频率，绘制出统计图如图所示，则不符合这一结果的试验是（ ）
A．抛一枚硬币，正面朝上的概率
B．掷一枚正六面体的骰子，出现点的概率
C．转动如图所示的转盘，转到数字为奇数的概率
D．从装有个红球和个蓝球的口袋中任取一个球恰好是蓝球的概率
10．如图，抛物线的对称轴是直线，且与轴、轴分别交于两点，其中点在点的右侧，直线经过、两点.下列选项正确的是（ ）
A．B．抛物线与轴的另一个交点在0与-1之间
C．D．
11．如图，的内角和外角的平分线相交于点，交于点，过点作交于点，交于点，连接，下列选项正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
三、填空题（本大题共3小题）
12．若化简的结果为，则的取值范围是 .
13．设点和点是直线，（）上的两个点，则、的大小关系为 ．
14．如图，直线与抛物线交于A，B两点，点P是y轴上的一个动点，当△PAB的周长最小时，S△PAB= ．
四、解答题（本大题共5小题）
15．（1）计算：
（2）化简：.
16．如图，在中，，，点是上一点.
（1）若为的角平分线，求的长；
（2）若，求的值.
17．已知关于的方程有两个实数根.
(1)求实数的取值范围；
(2)若满足，求实数的值.
18．如图，在同一坐标系中，直线交轴于点，直线过点.
(1)求的值；
(2)点分别在直线上，且关于原点对称，说明：点关于原点对称的点的坐标为，求点的坐标和的面积.
19．如图，某日的钱塘江观测信息如下：2017年月日，天气：阴；能见度：1.8千米；时，甲地“交叉潮”形成，潮水匀速奔向乙地；时，潮头到达乙地，形成“一线潮”，开始均匀加速，继续向西；时，潮头到达丙地，遇到堤坝阻挡后回头，形成“回头潮”.
按上述信息，小红将“交叉潮”形成后潮头与乙地质检的距离（千米）与时间（分钟）的函数关系用图3表示.其中：“时甲地‘交叉潮’的潮头离乙地12千米”记为点，点坐标为，曲线可用二次函数：，是常数）刻画.
(1)求值，并求出潮头从甲地到乙地的速度；
(2)时，小红骑单车从乙地出发，沿江边公路以0.48千米分的速度往甲地方向去看潮，问她几分钟与潮头相遇？
(3)相遇后，小红立即调转车头，沿江边公路按潮头速度与潮头并行，但潮头过乙地后均匀加速，而单车最高速度为0.48千米分，小红逐渐落后.问小红与潮头相遇到落后潮头1.8千米共需多长时间？（潮水加速阶段速度，是加速前的速度）
参考答案
1．【答案】B
【分析】由1亿等于，再结合科学记数法的表示方法求解即可
【详解】解：将200亿用科学记数法表示为：2×1010．
故选B.
【方法总结】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
2．【答案】C
【分析】根据指数幂的运算法则逐项分析即得.
【详解】A，，故A错误；
B，，故B错误；
C，，故C正确；
D，，故D错误.
故选C．
3．【答案】B
【分析】根据结合锐角范围内正弦值随着角的增大而增大，得到，即可求得答案.
【详解】解：∵ ，∴ ,
又在锐角范围内正弦值随着角的增大而增大，得 ，
∴ ，又α是锐角，则α的取值范围是，
故选B.
【一题多解】，当α为锐角时，，，故α的取值范围是故选B.
4．【答案】C
【分析】利用韦达定理可求另外一根为，从而可得正确的选项.
【详解】，故方程必有两个不同的根，
设另一个根为，则由韦达定理可知，故，
故选C.
5．【答案】D
【分析】将甲队员次成绩（环数）由小到大排列，可判断A选项；利用平均数公式可判断B选项；利用众数的定义可判断C选项；利用方差公式可判断D选项.
【详解】甲队员次成绩（环数）由小到大排列依次为：、、、、、、、
、、，
对于A选项，甲的最高成绩是环，A正确；
对于B选项，甲的平均成绩为环，B正确；
对于C选项，这组成绩的众数是环，C正确；
对于D选项，这组成绩的方差是
，D错误.
故选D.
6．【答案】A
【分析】由题意可得m，n是方程的两根，根据韦达定理即可求得答案.
【详解】由题意可得m，n满足,所以m，n是方程的两根，
由韦达定理可得 ，
故，
答案A.
7．【答案】B
【分析】根据所给定义化简，再解方程即可.
【详解】根据题中新定义得，
由，可得，解得，
所以关于的方程的解为.
故选B.
8．【答案】D
【分析】分及进行讨论，结合一元二次方程的性质计算即可得.
【详解】当时，方程为只有一个实根，符合题意；
当时，若关于的方程只有一个实根，
则，即；
综上可知，的值为或,
故选D.
【易错警示】本题易忽略讨论时，等式为一元一次方程的形式，当时，方程为显然只有一个实根.
9．【答案】ABC
【分析】由统计图可估计该事件发生的概率为，分别计算每个选项的概率即可得.
【详解】对A：掷一枚硬币，出现正面朝上的概率为，故此选项不符合题意；
对B：掷一枚正六面体的骰子，出现点的概率为，故此选项不符合题意；
对C：转动如图所示的转盘，转到数字为奇数的概率为，故此选项不符合题意；
对D：从装有个红球和个蓝球的口袋中任取一个球恰好是蓝球的概率，
故此选项符合题意.
故选ABC.
10．【答案】ACD
【分析】根据图象，因为直线经过点，点在点的右侧，所以当时，，可求出的范围，判断选项正确；根据二次函数的图象与的交点关于对称轴对称，可判断另一个交点的位置，从而可判断选项；根据对称轴为，可得结合图象时的图象关系，建立不等式，可得的范围，从而可判断选项;根据的取值范围及可判断选项
【详解】∵抛物线开口向下，∴，
∵，∴；
∵直线经过点，点在点的右侧，
∴，∴，故A正确；
∵抛物线的对称轴是直线，
且与轴交点在点的右侧，
∴与轴另一个交点在点的左侧，故B错误；
由图象可知，当时，，
∴，∴，∴，∴，故C正确；
∵，，，∴，故D正确.
故选ACD.
11．【答案】ACD
【分析】根据角平分线以及外角的性质即可求解A，根据相似的判定，即可判定B，由角相等可得，进而可得判定C，根据角平分线的性质可得到三边距离相等，进而利用内角和以及外角的性质即可求解D.，
【详解】对于A，平分，所以，
因为平分，所以，
因为，
所以，
所以，故A正确；
对于B，因为与有两个角是相等的，能得出相似，
但不含相等的边，所有不能得出全等的结论，故B错误.
对于C，平分，所以，
因为，所以，
所以，所以，
同理，所以，故C正确.
对于D，过点作于，于，于，如图，
因为平分，所以，
因为平分，所以，
所以，所以平分，
设如图，
则，
因为，所以，
所以，
因为，所以，
所以，即，故D正确.
故选ACD.
12．【答案】.
【分析】根号下配方、去根号，根据去绝对值的结果判断即可.
【详解】，
.
故答案为：.
13．【答案】/
【分析】利用一次函数的增减性可得出、的大小关系.
【详解】当时，，对于函数，随着的增大而增大，
因为，则.
故答案为：.
14．【答案】
【分析】联立直线与抛物线的方程可得坐标，再作点关于轴的对称点，连接与轴的交于，此时的周长最小，再计算点到直线的距离，结合的长求解面积即可.
【详解】，解得，或，
点的坐标为，点的坐标为，
，
作点关于轴的对称点，连接与轴的交于，则此时的周长最小，
点的坐标为，点的坐标为，
设直线的函数解析式为，
，得，
直线的函数解析式为，
当时，，
即点的坐标为，
将代入直线中，得，
直线与轴的夹角是，
点到直线的距离是：，
的面积是：，
故答案为：．
【关键点拨】本题的关键在于作点关于轴的对称点，连接与轴的交于并求解此时点的坐标即为△PAB的周长最小时点的坐标，进而计算S△PAB的大小.
15．【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）根据实数的混合运算法则求解即可，
（2）利用分式的运算法则求解.
【详解】（1）原式
（2）原式
16．【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）过点作于点,由条件有，，根据,可求出答案.
（2）过点作于点,设，则,由，则，可得，利用勾股定理可得出答案.
【详解】（1）过点作于点，∵，，∴.∵，∴.
设，则，∴.∵为的角平分线，∴，
∴，解得.∴.
（2）同（1）过点作于点，由（1）可知，设，则，
∵，∴，∴，由勾股定理可知，，
∴，即，∴.∴.
∵，∴，∴.
17．【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用判别式的意义得到，然后解不等式即可；
（2）利用根与系数的关系得到，，利用得到，然后解方程后利用的范围确定的值.
【详解】（1）关于的方程有两个实数根，
，
解得.
（2）关于的方程有两个实数根
，，
，
，
，
整理得，
解得，，
，的值为.
18．【答案】(1)
(2)，
【分析】（1）由直线求出点的坐标，再将点的坐标代入方程中可求出的值；
（2）由题意设 ，则，再将点的坐标代入直线中可求出，从而可求得两点的坐标，进而可求出的面积.
【详解】（1）对于直线，当时，，
所以
因为直线过点，
所以，得，
（2）由得，
设 ，则.
又在上，
所以，解得，
则
所以.
19．【答案】(1)，千米分钟；
(2)小红5分钟后与潮头相遇；
(3)小红与潮头相遇到潮头离她1.8千米外共需26分钟.
【分析】（1）根据给定时间及坐标系求出m，再计算速度作答.
（2）求出小红从乙地出发时潮头离乙地的距离，设出从出发到与潮头相遇的时间，列方程求解作答.
（3）根据给定数据求出s与t的函数关系，求出小红追赶潮头距离乙地的距离与t的关系，由相距1.8千米列出方程，求解作答.
【详解】（1）到的时间是30分钟，则，即，
潮头从甲地到乙地的速度（千米分钟）.
（2）因为潮头的速度为0.4千米分钟，则到时，潮头已前进（千米），
此时潮头离乙地（千米），设小红出发分钟与潮头相遇，
于是得，解得，
所以小红5分钟后与潮头相遇.
（3）把，代入，得，解得，，
因此，又，则，
当潮头的速度达到单车最高速度0.48千米分，即时，，解得，
则当时，，
即从分钟时）开始，潮头快于小红速度奔向丙地，小红逐渐落后，但小红仍以0.48千米分的速度匀速追赶潮头，
设小红离乙地的距离为，则与时间的函数关系式为，
当时，，解得：，因此有，
最后潮头与小红相距1.8千米，即时，有，
解得，（舍去），
于是有，小红与潮头相遇后，按潮头速度与潮头并行到达乙地用时（分钟），
因此共需要时间为（分钟），
所以小红与潮头相遇到潮头离她1.8千米外共需26分钟.
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