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广西部分名校2024−2025学年高一上学期入学检测 数学试题（A1卷）（含解析）
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这是一份广西部分名校2024−2025学年高一上学期入学检测 数学试题（A1卷）（含解析），共12页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本大题共8小题）
1．命题“”的否定是（ ）
A．B．
C．D．
2．若□，则“□”中的符号为（ ）
A．B．C．D．
3．已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
4．为保障游客安全，某淡水湖景区安装多个监控，监控发现点在其南偏东方向上，若，则点在监控的南偏西（ ）方向上.
A．B．C．D．
5．“都是有理数”是“是有理数”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
6．若，且是的整数倍，则可以是（ ）
A．2023B．2024C．2025D．2026
7．如图，在中，，顶点在函数的图象上，顶点在轴上，顶点在函数的图象上，轴，若，则（ ）
A．3B．C．6D．
8．如图1，这是我国一种古老的传统智力玩具——七巧板，它的外轮廓为正方形，分割为若干个等腰直角三角形､小正方形和平行四边形，其中为的四等分点，分别为的中点，为的中点.小欣将该七巧板拼成图2中的火箭图形，若，则图2中的火箭的高为（ ）
A．B．C．20D．25
二、多选题（本大题共3小题）
9．下列命题正确的是（ ）
A．若关于的方程没有实根，则
B．若是6次3项式，则
C．
D．存在一个四边形，它的两条对角线相等
10．已知集合，若，则的值可能是（ ）
A．4B．2C．0D．2
11．如图，在中，，点在同一条直线上，连接，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．若，则
C．
D．
三、填空题（本大题共3小题）
12．把图中长方体的表面展开图围成长方体（文字露在外面），若朝上的一面为“乡”字，则底面的汉字为 .
13．定义集合运算：.已知集合，则集合有 个真子集.
14．若方程组的解为，则方程组的解为 .
四、解答题（本大题共5小题）
15．已知集合.
(1)当时，求；
(2)若，求的取值集合.
16．火灾发生时，正确逃生和自救的方法至关重要.某中学开展火灾自救方法知识竞赛，共有10人参加，成绩统计如下表（成绩共分4个等级，其中A级最好）：
(1)表中的值为__________，成绩等级为D的有__________.人.
(2)若将上方数据绘制成扇形统计图，则成绩等级为C所占比例的圆心角度数为多少？写出计算过程）
(3)获得A等级的4人作为宣传大使进行宣传，已知这4人中有2名男生和2名女生，随机抽签从这4人中选出2人进行首轮宣传活动，求选中的2人都是女生的概率.
17．如图，为的直径，与相切于点，连接，交于点为的中点，连接的延长线与的延长线交于点.
(1)证明：是的切线.
(2)若，求的长.
18．如图，在边长为8的正方形中，是边上一动点，连接.
(1)如图1，当为边的中点时，求的长.
(2)如图2，过点作，垂足为为上一点，连接，过点作，交边于点，证明.
(3)如图3，在（2）的条件下，连接交于点，当为等边三角形时，求的长.
19．定义：若两个二次函数与的系数满足与与互为相反数，且与相等，则称两个函数互为“中心影像函数”.互为“中心影像函数”的两个二次函数的图象关于原点对称.例如：二次函数与互为“中心影像函数”.
(1)二次函数的“中心影像函数”图象的对称轴方程为__________，“中心影像函数”的图象与轴的交点坐标为__________.
(2)若二次函数与互为“中心影像函数”，求的值及这两个函数图象的交点坐标.
(3)如图，二次函数与互为“中心影像函数”，分别为抛物线的顶点，直线经过两点，两条抛物线交于两点.
①求直线对应的一次函数的解析式；
②已知为抛物线上一点，且在点与点之间，当到的距离最大时，直接写出点的坐标.
参考答案
1．【答案】B
【分析】根据全称命题的否定是特称命题得出结果即可；
【详解】命题“”的否定是.
故选B.
2．【答案】D
【分析】根据指数的基本运算即可得答案.
【详解】因为，
所以“□”中的符号为.
故选D.
3．【答案】D
【分析】根据并集运算的定义直接求解即可.
【详解】由题意可得.
故选D.
4．【答案】C
【分析】作出辅助线，得到，从而得到答案.
【详解】如图，过点作南北方向的直线，由题意可知，则.因为，所以，故点在监控的南偏西.
故选C.
5．【答案】A
【分析】充分性成立，必要性可举出反例证明不成立，即可得到正确答案.
【详解】由都是有理数，则一定是有理数，但为有理数，不一定为有理数，比如为有理数，但是是无理数，则“都是有理数”是“是有理数”的充分不必要条件.
故选A.
6．【答案】C
【分析】根据平方差公式化简，从而确定正确答案.
【详解】因为，且是的整数倍，
所以可以是2025.
故选C.
7．【答案】B
【分析】设与轴交于点，由题意求出点的纵坐标，代入中，可求出，再求出，即可求出的坐标，进而求出.
【详解】如图，设与轴交于点，因为轴，，
所以，所以轴，所以点的纵坐标为3.
将代入中，得，解得，所以.
在中，，则，
所以，所以的坐标为，故.
故选B.
8．【答案】D
【分析】结合图1，在图2中，分别求出,合并即可求得火箭的高.
【详解】
在图1中，因为分别为的中点，所以.连接，则.
因为为的中点，所以.
由题意可知，所以.
在图2中，火箭的高为.
故选D.
9．【答案】ACD
【分析】根据一元二次方程根的判别式、多项式的次数和项数的定义，结合全称命题的性质、特称命题的性质逐一判断即可.
【详解】由关于的方程没有实根，得，解得，则A正确.
由是6次3项式，得，解得，则B错误.
，则C正确；矩形的两条对角线相等，则D正确.
故选ACD.
10．【答案】BC
【分析】利用集合相等，解出对应参数的值，然后利用元素的性质判断即可.
【详解】因为，所以或解得或则或.
故选BC.
11．【答案】AC
【分析】根据全等三角形、等角对等边、勾股定理等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.
【详解】因为，所以.因为，
所以，所以.
因为，所以，
所以，则A正确.
因为.所以.
因为，
所以，
所以.
因为，
所以，所以，则B错误.
因为，所以.因为为等腰直角三角形，
所以，所以，
所以，
所以，所以，
所以.在中，由勾股定理可得.
因为为等腰直角三角形，所以，即，
在中，.因为为等腰直角三角形，
所以，所以，
所以，则C正确.
和中仅有一组角和一组边相等，不能证明，则D错误.
故选AC.
12．【答案】村
【分析】根据题意可知与“乡”字的对面为“村”字，从而可求解.
【详解】由展开图可知“乡”字的对面为“村”字，当朝上的一面为“乡”字时，底面的汉字为“村”.
故答案为：村.
13．【答案】15
【分析】根据题中定义，结合集合真子集个数公式进行求解即可.
【详解】因为，所以，则集合有个真子集.
故答案为：15.
14．【答案】
【分析】将所求方程组中两个方程的未知数的系数转化为与已知方程组中未知数的系数相同的形式，进而得到关于的方程，即可求解.
【详解】方程组变形为，即，
因为方程组的解为，所以，
所以，解得.
故答案为：.
15．【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）根据题意，求得，结合补集的运算，求得，再结合集合交集的运算，即可求解.
（2）由，列出不等式组，即可求解实数的取值集合.
【详解】（1）由不等式，可得，
当时，集合，则.
（2）由集合，
因为，则满足，解得，
所以实数的取值集合是.
16．【答案】(1)，
(2)
(3)
【分析】（1）根据概率和为，即可求出，再根据等级为D所占的概率即可求出成绩等级为D的人数；
（2）根据成绩等级为C所占比例即可求解；
（3）根据古典概型的计算公式即可求解.
【详解】（1）由题意可得；
竞赛成绩等级为D的人数为.
（2）由题意可得成绩等级为C所占比例的圆心角度数为.
（3）树状图如下：
由树状图可知共有12种等可能结果，其中符合条件的有2种，
则选中的2人都是女生的概率.
17．【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）连接，可得，由为的中点，可得，由，则，得，即，可得，即可证得是的切线.
（2）由（1）可知，则，可得，因为，所以，所以，即可求得的长.
【详解】（1）如图，连接，则，所以，
因为为的直径，所以，所以，
因为为的中点，所以，所以，
因为与相切于点，所以，
所以，所以，即，
所以，所以是的切线.
（2）由（1）可知，
则，所以，
因为，所以，
所以，
因为，所以.
18．【答案】(1)；
(2)证明见解析；
(3)2.
【分析】（1）由勾股定理求解即可；
（2）证明即可；
（3）由题意可得，从而有.设，根据求解即可.
【详解】（1）解：因为正方形的边长为为边的中点，
所以，
所以；
（2）证明：因为四边形是正方形，所以，
所以.
因为，所以，所以，
所以.
因为，所以，所以.
因为，所以，
所以.则，故.
（3）解：因为为等边三角形，所以，
所以，
所以.
设，则.
因为，
所以
所以，
解得，即的长为2.
19．【答案】(1)，
(2)，和
(3)①；②，理由见解析
【分析】（1）先得到的对称轴方程，与轴的交点坐标，根据“中心影像函数”的定义得到答案；
（2）根据定义得到方程，求出，求出的值，联立两个函数，求出交点坐标；
（3）①根据定义得到，求出，求出点的坐标，从而得到直线对应的一次函数的解析式；
②作出辅助线，当取得最大值时，取得最大，设点，表达出，求出最大值，得到答案.
【详解】（1）由题意可得二次函数图象的对称轴方程为，
则其“中心影像函数”图象的对称轴方程为.
由题意可得二次函数的图象与轴的交点坐标为(0,3)，则其“中心影像函数”的图象与轴的交点坐标为.
（2）因为二次函数与互为“中心影像函数”，
所以解得则.
因为所以原二次函数为与.
联立解得或
则这两个函数图象的交点坐标分别为和.
（3）①因为二次函数与互为“中心影像函数”，
所以，
则，
因为，所以点的坐标为.
同理可得点的坐标为.
因为互为“中心影像函数”的两个二次函数图象关于原点对称，所以直线经过坐标原点，
设对应的一次函数的解析式为.
因为在直线上，所以，即，
则直线对应的一次函数的解析式为.
②当到的距离最大时，点的坐标为(1,0)，理由如下：
如图，过点作⊥，垂足为，作轴，交直线于点，
则当取得最大值时，取得最大值.设点，
则点，所以，
当时，取得最大值，
即此时点到的距离取得最大值，
将代入中，得，即点的坐标为(1,0).成绩等级
A
B
C
D
人数占比
一、单选题（本大题共8小题）
1．命题“”的否定是（ ）
A．B．
C．D．
2．若□，则“□”中的符号为（ ）
A．B．C．D．
3．已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
4．为保障游客安全，某淡水湖景区安装多个监控，监控发现点在其南偏东方向上，若，则点在监控的南偏西（ ）方向上.
A．B．C．D．
5．“都是有理数”是“是有理数”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
6．若，且是的整数倍，则可以是（ ）
A．2023B．2024C．2025D．2026
7．如图，在中，，顶点在函数的图象上，顶点在轴上，顶点在函数的图象上，轴，若，则（ ）
A．3B．C．6D．
8．如图1，这是我国一种古老的传统智力玩具——七巧板，它的外轮廓为正方形，分割为若干个等腰直角三角形､小正方形和平行四边形，其中为的四等分点，分别为的中点，为的中点.小欣将该七巧板拼成图2中的火箭图形，若，则图2中的火箭的高为（ ）
A．B．C．20D．25
二、多选题（本大题共3小题）
9．下列命题正确的是（ ）
A．若关于的方程没有实根，则
B．若是6次3项式，则
C．
D．存在一个四边形，它的两条对角线相等
10．已知集合，若，则的值可能是（ ）
A．4B．2C．0D．2
11．如图，在中，，点在同一条直线上，连接，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．若，则
C．
D．
三、填空题（本大题共3小题）
12．把图中长方体的表面展开图围成长方体（文字露在外面），若朝上的一面为“乡”字，则底面的汉字为 .
13．定义集合运算：.已知集合，则集合有 个真子集.
14．若方程组的解为，则方程组的解为 .
四、解答题（本大题共5小题）
15．已知集合.
(1)当时，求；
(2)若，求的取值集合.
16．火灾发生时，正确逃生和自救的方法至关重要.某中学开展火灾自救方法知识竞赛，共有10人参加，成绩统计如下表（成绩共分4个等级，其中A级最好）：
(1)表中的值为__________，成绩等级为D的有__________.人.
(2)若将上方数据绘制成扇形统计图，则成绩等级为C所占比例的圆心角度数为多少？写出计算过程）
(3)获得A等级的4人作为宣传大使进行宣传，已知这4人中有2名男生和2名女生，随机抽签从这4人中选出2人进行首轮宣传活动，求选中的2人都是女生的概率.
17．如图，为的直径，与相切于点，连接，交于点为的中点，连接的延长线与的延长线交于点.
(1)证明：是的切线.
(2)若，求的长.
18．如图，在边长为8的正方形中，是边上一动点，连接.
(1)如图1，当为边的中点时，求的长.
(2)如图2，过点作，垂足为为上一点，连接，过点作，交边于点，证明.
(3)如图3，在（2）的条件下，连接交于点，当为等边三角形时，求的长.
19．定义：若两个二次函数与的系数满足与与互为相反数，且与相等，则称两个函数互为“中心影像函数”.互为“中心影像函数”的两个二次函数的图象关于原点对称.例如：二次函数与互为“中心影像函数”.
(1)二次函数的“中心影像函数”图象的对称轴方程为__________，“中心影像函数”的图象与轴的交点坐标为__________.
(2)若二次函数与互为“中心影像函数”，求的值及这两个函数图象的交点坐标.
(3)如图，二次函数与互为“中心影像函数”，分别为抛物线的顶点，直线经过两点，两条抛物线交于两点.
①求直线对应的一次函数的解析式；
②已知为抛物线上一点，且在点与点之间，当到的距离最大时，直接写出点的坐标.
参考答案
1．【答案】B
【分析】根据全称命题的否定是特称命题得出结果即可；
【详解】命题“”的否定是.
故选B.
2．【答案】D
【分析】根据指数的基本运算即可得答案.
【详解】因为，
所以“□”中的符号为.
故选D.
3．【答案】D
【分析】根据并集运算的定义直接求解即可.
【详解】由题意可得.
故选D.
4．【答案】C
【分析】作出辅助线，得到，从而得到答案.
【详解】如图，过点作南北方向的直线，由题意可知，则.因为，所以，故点在监控的南偏西.
故选C.
5．【答案】A
【分析】充分性成立，必要性可举出反例证明不成立，即可得到正确答案.
【详解】由都是有理数，则一定是有理数，但为有理数，不一定为有理数，比如为有理数，但是是无理数，则“都是有理数”是“是有理数”的充分不必要条件.
故选A.
6．【答案】C
【分析】根据平方差公式化简，从而确定正确答案.
【详解】因为，且是的整数倍，
所以可以是2025.
故选C.
7．【答案】B
【分析】设与轴交于点，由题意求出点的纵坐标，代入中，可求出，再求出，即可求出的坐标，进而求出.
【详解】如图，设与轴交于点，因为轴，，
所以，所以轴，所以点的纵坐标为3.
将代入中，得，解得，所以.
在中，，则，
所以，所以的坐标为，故.
故选B.
8．【答案】D
【分析】结合图1，在图2中，分别求出,合并即可求得火箭的高.
【详解】
在图1中，因为分别为的中点，所以.连接，则.
因为为的中点，所以.
由题意可知，所以.
在图2中，火箭的高为.
故选D.
9．【答案】ACD
【分析】根据一元二次方程根的判别式、多项式的次数和项数的定义，结合全称命题的性质、特称命题的性质逐一判断即可.
【详解】由关于的方程没有实根，得，解得，则A正确.
由是6次3项式，得，解得，则B错误.
，则C正确；矩形的两条对角线相等，则D正确.
故选ACD.
10．【答案】BC
【分析】利用集合相等，解出对应参数的值，然后利用元素的性质判断即可.
【详解】因为，所以或解得或则或.
故选BC.
11．【答案】AC
【分析】根据全等三角形、等角对等边、勾股定理等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.
【详解】因为，所以.因为，
所以，所以.
因为，所以，
所以，则A正确.
因为.所以.
因为，
所以，
所以.
因为，
所以，所以，则B错误.
因为，所以.因为为等腰直角三角形，
所以，所以，
所以，
所以，所以，
所以.在中，由勾股定理可得.
因为为等腰直角三角形，所以，即，
在中，.因为为等腰直角三角形，
所以，所以，
所以，则C正确.
和中仅有一组角和一组边相等，不能证明，则D错误.
故选AC.
12．【答案】村
【分析】根据题意可知与“乡”字的对面为“村”字，从而可求解.
【详解】由展开图可知“乡”字的对面为“村”字，当朝上的一面为“乡”字时，底面的汉字为“村”.
故答案为：村.
13．【答案】15
【分析】根据题中定义，结合集合真子集个数公式进行求解即可.
【详解】因为，所以，则集合有个真子集.
故答案为：15.
14．【答案】
【分析】将所求方程组中两个方程的未知数的系数转化为与已知方程组中未知数的系数相同的形式，进而得到关于的方程，即可求解.
【详解】方程组变形为，即，
因为方程组的解为，所以，
所以，解得.
故答案为：.
15．【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）根据题意，求得，结合补集的运算，求得，再结合集合交集的运算，即可求解.
（2）由，列出不等式组，即可求解实数的取值集合.
【详解】（1）由不等式，可得，
当时，集合，则.
（2）由集合，
因为，则满足，解得，
所以实数的取值集合是.
16．【答案】(1)，
(2)
(3)
【分析】（1）根据概率和为，即可求出，再根据等级为D所占的概率即可求出成绩等级为D的人数；
（2）根据成绩等级为C所占比例即可求解；
（3）根据古典概型的计算公式即可求解.
【详解】（1）由题意可得；
竞赛成绩等级为D的人数为.
（2）由题意可得成绩等级为C所占比例的圆心角度数为.
（3）树状图如下：
由树状图可知共有12种等可能结果，其中符合条件的有2种，
则选中的2人都是女生的概率.
17．【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）连接，可得，由为的中点，可得，由，则，得，即，可得，即可证得是的切线.
（2）由（1）可知，则，可得，因为，所以，所以，即可求得的长.
【详解】（1）如图，连接，则，所以，
因为为的直径，所以，所以，
因为为的中点，所以，所以，
因为与相切于点，所以，
所以，所以，即，
所以，所以是的切线.
（2）由（1）可知，
则，所以，
因为，所以，
所以，
因为，所以.
18．【答案】(1)；
(2)证明见解析；
(3)2.
【分析】（1）由勾股定理求解即可；
（2）证明即可；
（3）由题意可得，从而有.设，根据求解即可.
【详解】（1）解：因为正方形的边长为为边的中点，
所以，
所以；
（2）证明：因为四边形是正方形，所以，
所以.
因为，所以，所以，
所以.
因为，所以，所以.
因为，所以，
所以.则，故.
（3）解：因为为等边三角形，所以，
所以，
所以.
设，则.
因为，
所以
所以，
解得，即的长为2.
19．【答案】(1)，
(2)，和
(3)①；②，理由见解析
【分析】（1）先得到的对称轴方程，与轴的交点坐标，根据“中心影像函数”的定义得到答案；
（2）根据定义得到方程，求出，求出的值，联立两个函数，求出交点坐标；
（3）①根据定义得到，求出，求出点的坐标，从而得到直线对应的一次函数的解析式；
②作出辅助线，当取得最大值时，取得最大，设点，表达出，求出最大值，得到答案.
【详解】（1）由题意可得二次函数图象的对称轴方程为，
则其“中心影像函数”图象的对称轴方程为.
由题意可得二次函数的图象与轴的交点坐标为(0,3)，则其“中心影像函数”的图象与轴的交点坐标为.
（2）因为二次函数与互为“中心影像函数”，
所以解得则.
因为所以原二次函数为与.
联立解得或
则这两个函数图象的交点坐标分别为和.
（3）①因为二次函数与互为“中心影像函数”，
所以，
则，
因为，所以点的坐标为.
同理可得点的坐标为.
因为互为“中心影像函数”的两个二次函数图象关于原点对称，所以直线经过坐标原点，
设对应的一次函数的解析式为.
因为在直线上，所以，即，
则直线对应的一次函数的解析式为.
②当到的距离最大时，点的坐标为(1,0)，理由如下：
如图，过点作⊥，垂足为，作轴，交直线于点，
则当取得最大值时，取得最大值.设点，
则点，所以，
当时，取得最大值，
即此时点到的距离取得最大值，
将代入中，得，即点的坐标为(1,0).成绩等级
A
B
C
D
人数占比
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