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湖北省黄石市大冶市第一中学临空学校2024−2025学年高一上学期入学考试 数学试卷（含解析）
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这是一份湖北省黄石市大冶市第一中学临空学校2024−2025学年高一上学期入学考试 数学试卷（含解析），共12页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本大题共8小题）
1．下列运算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
2．若，则的值为（ ）
A．4B．8C．12D．16
3．已知方程组，则代数式的值是（ ）
A．2B．1C．D．
4．下列因式分解的结果正确的是（ ）
A．B．
C．D．
5．若的运算结果为整式，则代表的式子可能是（ ）
A．B．C．D．
6．若关于的一元二次方程的两个实数根为和，则的值是（ ）
A．B．C．D．
7．一辆汽车开往距出发地420km的目的地，若这辆汽车比原计划每小时多行10km，则提前1小时到达目的地．设这辆汽车原计划的速度是，根据题意所列方程是（ ）
A．B．
C．D．
8．如图，将矩形纸片沿折叠后，点分别落在点的位置，的延长线交于点，若，则等于（ ）
A．B．C．D．
二、多选题（本大题共3小题）
9．集合A中含有三个元素2，4，6，若，且，那么为（ ）
A．2B．－2
C．4D．0
10．如图，在菱形中，按以下步骤作图：
①分别以点和点为圆心，大于为半径作弧，两弧交于点，；
②作直线，且恰好经过点，与交于点，连接.
则下列说法正确的是（ ）
A．B．
C．若，则D．
11．已知集合，，，由实数a组成集合C，则下列选项中正确的是（ ）
A．集合C的所有非空真子集个数是2B．集合C的所有非空真子集个数是6
C．集合C的所有子集个数是4D．集合C的所有子集个数是8
三、填空题（本大题共3小题）
12．已知，且，则
13．已知函数在上是减函数，则实数的取值范围为 ．
14．已知函数，若，则 ．
四、解答题（本大题共5小题）
15．（1）计算：；
（2）先化简再求值：其中
16．已知关于的一元二次方程：有两个实数根.
(1)求的取值范围；
(2)若满足，求的值.
17．（1）观察下边的数表（横排为行，竖排为列），按数表中的规律，分数若排在第行列，求的值.
（2）有两个正方形，现将放在的内部如图甲，将并排放置后构造新的正方形如图乙.若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为和，求正方形的面积之和.
18．如图，斜坡AB长130米，坡度现计划在斜坡中点D处挖去部分坡体修建一个平行于水平线CA的平台DE和一条新的斜坡BE.
(1)若修建的斜坡BE的坡角为求平台DE的长；（结果保留根号）
(2)斜坡AB正前方一座建筑物QM上悬挂了一幅巨型广告MN，小明在D点测得广告顶部M的仰角为他沿坡面DA走到坡脚A处，然后向大楼方向继续行走10米来到P处，测得广告底部N的仰角为此时小明距大楼底端Q处30米.已知B、C、A、M、Q在同一平面内，C、A、P、Q在同一条直线上，求广告MN的长度.（参考数据:sin3）
19．已知矩形中，，，点是边上的动点（不与重合），设，将沿折叠至．
(1)如图1，当点在对角线上时，求的值；
(2)设与矩形重叠部分的面积为，求关于的函数表达式．
参考答案
1．【答案】B
【分析】本题根据数与式的乘法公式逐项计算即可得出结果.
【详解】对选项A，，原式计算错误，不符合题意；
对选项B，，原式计算正确，符合题意；
对选项C，，原式计算错误，不符合题意；
对选项D，，原式计算错误，不符合题意.
故选B.
2．【答案】B
【分析】先因式分解，然后整体代换计算即可得出结果.
【详解】，
.
故选B.
3．【答案】D
【分析】把方程组的两个方程的左右两边分别相加，可得，据此求出代数式的值即可；
【详解】由题意可得：，两式相加得，
所以
故选D．
4．【答案】D
【分析】本题根据公式法、提公因式法、十字相乘法进行因式分解即可得出结果.
【详解】对选项A，平方差公式，错误；
对选项B，完全平方公式，错误；
对选项C，提取公因式，错误；
对选项D，十字相乘，正确.
故选D.
5．【答案】C
【分析】根据分式的概念及运算法则一一验证选项即可.
【详解】易知，
对于A.当代表的式子为，原式是分式，故该选项不符合题意；
对于B.当代表的式于为，原式等于是分式，故该选项不符合题意：
对于C.当代表的式子为，原式是整式，故该选项符合题意；
对于D.当代表的式子为，原式是分式，
故该选项不符合题意.
故选C.
6．【答案】B
【分析】本题由根与系数的关系，求出两根之和、两根之积，然后对所求式子因式分解，整体代换即可得出结果.
【详解】一元二次方程的两个实数根为和，
由根与系数的关系可得，，
.
故选B.
7．【答案】A
【分析】设这辆汽车原计划的速度是，再表示出实际速度，利用时间列方程．
【详解】设这辆汽车原计划的速度是，则实际速度为，根据题意所列方程是．
故选A．
8．【答案】A
【分析】由题可得，进而可得，即得.
【详解】∵，
∴，
∴，
由，可得，
∴.
故选A．
9．【答案】AC
【分析】根据，且逐个分析判断即可.
【详解】对于A，当时，，且，所以A正确，
对于B，当时，，所以B错误，
对于C，当时，，且，所以C正确，
对于D，当时，，所以D错误.
故选AC.
10．【答案】ABD
【分析】A选项：由作图法可得AE是CD的垂直平分线，然后结合菱形的性质得出，得出，即可求出的度数；B选项：由题意可得AB是DE的两倍，然后结合三角形面积的求法即可判断出；C选项：由题意求出DE的长度，然后根据30°角直角三角形的性质求出AE的长度，然后在三角形ABE中利用勾股定理即可求出BE的长度；D选项：作交BC的延长线于H，设AB的长度为4a，然后根据题意表示出EH和BH的长度，即可求出的值.
【详解】由作图法得AE垂直平分CD，即，，
∵四边形为菱形，∴，，
在中， ，∴，∴，∴A选项的结论正确，符合题意；
∵，，而，
∴，∴B选项的结论正确，符合题意；
若，则，∴，在中， ，
∴C选项的结论错误，不符合题意；
作EH⊥BC交BC的延长线于H，如图，
设，则，， ，在中，，∴， ，
∴，∴D选项的结论正确，符合题意.
故选ABD.
【方法总结】此题考查了菱形的性质，勾股定理，垂直平分线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握菱形的性质，勾股定理，垂直平分线的性质等知识.
11．【答案】BD
【分析】计算得，根据题意得到，考虑和这两种情况，分别计算再结合子集及非空真子集即可.
【详解】由题意，，
因为，
所以，
当时，，合题意，
当时，，，
因为，
所以或，所以或，
故．
集合C的子集个数为，D选项正确，C选项错误，
集合C的非空真子集个数为，B选项正确，A选项错误.
故选BD.
12．【答案】或.
【分析】对已知式进行因式分解，即可得出答案.
【详解】因为，所以，
所以或，所以或.
故答案为：或.
13．【答案】
【分析】将看作一个整体，将函数表达式利用配方法整理，即可得出函数的单调递减区间，再根据是函数单调递减区间的子集，即可建立不等式求解．
【详解】∵，
∴的单调减区间是．
又在上是减函数，
∴，即．
∴所求实数的取值范围是，
故答案为：．
14．【答案】
【分析】根据分段函数的定义域，分求解.
【详解】若，则无解；
若，则，所以.
若，则无解．
综上：.
故答案为：.
15．【答案】（1）；（2）
【分析】（1）由指数幂的运算性质化简即可得出答案；
（2）先化简原式，再将数值代入即可得出答案.
【详解】（1）
.
（2）
因为，所以原式.
16．【答案】(1)
(2)或.
【分析】（1）直接利用根的判别式计算求解即可；
（2）根据根与系数的关系得出，，分和两种情况计算求解即可．
【详解】（1）关于的一元二次方程有两个实数根，
所以，即
解得．
故的求值范围为．
（2）根据根与系数的关系：，，
因为满足，
①当时，，把代入，得
，解得，，
，．
②当时，，，
解得：，，，所以．
故的值为或.
17．【答案】（1）2023；（2）3
【分析】（1）观察数表可得为正整数）在第行，第列，即可得出结果；
（2）设正方形的边长分别为，表达出图甲和乙中阴影部分面积，代换即可得出结果.
【详解】（1）观察数表可得，同一行的分数，分子与分母的和不变，
为正整数）在第行，第列，
在第行，第24列，
所以，
；
（2）设正方形的边长分别为，
则图甲中阴影部分面积为：，
图乙中阴影部分面积为：，即，故
.
所以正方形的面积之和为.
18．【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据平行线的性质可知，然后利用特殊角的三角函数值可求出的长度，最后利用求解即可；
（2）过点作、，先通过求出的长度，在中，求出的长度，最后利用求解.
【详解】（1）过作，垂足为，
因为，所以，因为为AB中点 所以为中点，
在，,
设，，则,
所以 即 ，，
所以，，
因为在中，，
所以，
所以，
所以平台DE的长为（）米 .
（2）过作、，垂足分别为、，
所以四边形为矩形，所以，
因为，，所以，
因为为AB中点，所以为中点即，
所以，
因为在中，，
在中，，
所以.
所以广告的长度约为米.
19．【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由题意可得，则由同角的余角相等可得，从而得∽，然后列比例式可求出；
（2）当时，，当时，点在右侧，记和交于点，过点作于点，可得四边形为矩形，，设，然后利用勾股定理可表示出，从而可求出.
【详解】（1）因为四边形是矩形，，将沿折叠至，
当点在对角线上，
所以，
所以，
所以，所以∽，
所以，
所以，即；
（2）当时，点在左侧以及上，
此时；
如图，当时，点在右侧，记和交于点，过点作于点，
所以，
因为四边形是矩形，
所以∥，，
所以，四边形为矩形，
所以，，
所以，
设，则，
因为，所以，
所以，所以，
得，
所以，
综上所述，．
【关键点拨】此题考查平面图形的折叠问题，考查三角形相似，考查矩形的性质，解题的关键是弄清折叠前后边角之间的关系，考查计算能力和推理能力，属于较难题.
一、单选题（本大题共8小题）
1．下列运算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
2．若，则的值为（ ）
A．4B．8C．12D．16
3．已知方程组，则代数式的值是（ ）
A．2B．1C．D．
4．下列因式分解的结果正确的是（ ）
A．B．
C．D．
5．若的运算结果为整式，则代表的式子可能是（ ）
A．B．C．D．
6．若关于的一元二次方程的两个实数根为和，则的值是（ ）
A．B．C．D．
7．一辆汽车开往距出发地420km的目的地，若这辆汽车比原计划每小时多行10km，则提前1小时到达目的地．设这辆汽车原计划的速度是，根据题意所列方程是（ ）
A．B．
C．D．
8．如图，将矩形纸片沿折叠后，点分别落在点的位置，的延长线交于点，若，则等于（ ）
A．B．C．D．
二、多选题（本大题共3小题）
9．集合A中含有三个元素2，4，6，若，且，那么为（ ）
A．2B．－2
C．4D．0
10．如图，在菱形中，按以下步骤作图：
①分别以点和点为圆心，大于为半径作弧，两弧交于点，；
②作直线，且恰好经过点，与交于点，连接.
则下列说法正确的是（ ）
A．B．
C．若，则D．
11．已知集合，，，由实数a组成集合C，则下列选项中正确的是（ ）
A．集合C的所有非空真子集个数是2B．集合C的所有非空真子集个数是6
C．集合C的所有子集个数是4D．集合C的所有子集个数是8
三、填空题（本大题共3小题）
12．已知，且，则
13．已知函数在上是减函数，则实数的取值范围为 ．
14．已知函数，若，则 ．
四、解答题（本大题共5小题）
15．（1）计算：；
（2）先化简再求值：其中
16．已知关于的一元二次方程：有两个实数根.
(1)求的取值范围；
(2)若满足，求的值.
17．（1）观察下边的数表（横排为行，竖排为列），按数表中的规律，分数若排在第行列，求的值.
（2）有两个正方形，现将放在的内部如图甲，将并排放置后构造新的正方形如图乙.若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为和，求正方形的面积之和.
18．如图，斜坡AB长130米，坡度现计划在斜坡中点D处挖去部分坡体修建一个平行于水平线CA的平台DE和一条新的斜坡BE.
(1)若修建的斜坡BE的坡角为求平台DE的长；（结果保留根号）
(2)斜坡AB正前方一座建筑物QM上悬挂了一幅巨型广告MN，小明在D点测得广告顶部M的仰角为他沿坡面DA走到坡脚A处，然后向大楼方向继续行走10米来到P处，测得广告底部N的仰角为此时小明距大楼底端Q处30米.已知B、C、A、M、Q在同一平面内，C、A、P、Q在同一条直线上，求广告MN的长度.（参考数据:sin3）
19．已知矩形中，，，点是边上的动点（不与重合），设，将沿折叠至．
(1)如图1，当点在对角线上时，求的值；
(2)设与矩形重叠部分的面积为，求关于的函数表达式．
参考答案
1．【答案】B
【分析】本题根据数与式的乘法公式逐项计算即可得出结果.
【详解】对选项A，，原式计算错误，不符合题意；
对选项B，，原式计算正确，符合题意；
对选项C，，原式计算错误，不符合题意；
对选项D，，原式计算错误，不符合题意.
故选B.
2．【答案】B
【分析】先因式分解，然后整体代换计算即可得出结果.
【详解】，
.
故选B.
3．【答案】D
【分析】把方程组的两个方程的左右两边分别相加，可得，据此求出代数式的值即可；
【详解】由题意可得：，两式相加得，
所以
故选D．
4．【答案】D
【分析】本题根据公式法、提公因式法、十字相乘法进行因式分解即可得出结果.
【详解】对选项A，平方差公式，错误；
对选项B，完全平方公式，错误；
对选项C，提取公因式，错误；
对选项D，十字相乘，正确.
故选D.
5．【答案】C
【分析】根据分式的概念及运算法则一一验证选项即可.
【详解】易知，
对于A.当代表的式子为，原式是分式，故该选项不符合题意；
对于B.当代表的式于为，原式等于是分式，故该选项不符合题意：
对于C.当代表的式子为，原式是整式，故该选项符合题意；
对于D.当代表的式子为，原式是分式，
故该选项不符合题意.
故选C.
6．【答案】B
【分析】本题由根与系数的关系，求出两根之和、两根之积，然后对所求式子因式分解，整体代换即可得出结果.
【详解】一元二次方程的两个实数根为和，
由根与系数的关系可得，，
.
故选B.
7．【答案】A
【分析】设这辆汽车原计划的速度是，再表示出实际速度，利用时间列方程．
【详解】设这辆汽车原计划的速度是，则实际速度为，根据题意所列方程是．
故选A．
8．【答案】A
【分析】由题可得，进而可得，即得.
【详解】∵，
∴，
∴，
由，可得，
∴.
故选A．
9．【答案】AC
【分析】根据，且逐个分析判断即可.
【详解】对于A，当时，，且，所以A正确，
对于B，当时，，所以B错误，
对于C，当时，，且，所以C正确，
对于D，当时，，所以D错误.
故选AC.
10．【答案】ABD
【分析】A选项：由作图法可得AE是CD的垂直平分线，然后结合菱形的性质得出，得出，即可求出的度数；B选项：由题意可得AB是DE的两倍，然后结合三角形面积的求法即可判断出；C选项：由题意求出DE的长度，然后根据30°角直角三角形的性质求出AE的长度，然后在三角形ABE中利用勾股定理即可求出BE的长度；D选项：作交BC的延长线于H，设AB的长度为4a，然后根据题意表示出EH和BH的长度，即可求出的值.
【详解】由作图法得AE垂直平分CD，即，，
∵四边形为菱形，∴，，
在中， ，∴，∴，∴A选项的结论正确，符合题意；
∵，，而，
∴，∴B选项的结论正确，符合题意；
若，则，∴，在中， ，
∴C选项的结论错误，不符合题意；
作EH⊥BC交BC的延长线于H，如图，
设，则，， ，在中，，∴， ，
∴，∴D选项的结论正确，符合题意.
故选ABD.
【方法总结】此题考查了菱形的性质，勾股定理，垂直平分线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握菱形的性质，勾股定理，垂直平分线的性质等知识.
11．【答案】BD
【分析】计算得，根据题意得到，考虑和这两种情况，分别计算再结合子集及非空真子集即可.
【详解】由题意，，
因为，
所以，
当时，，合题意，
当时，，，
因为，
所以或，所以或，
故．
集合C的子集个数为，D选项正确，C选项错误，
集合C的非空真子集个数为，B选项正确，A选项错误.
故选BD.
12．【答案】或.
【分析】对已知式进行因式分解，即可得出答案.
【详解】因为，所以，
所以或，所以或.
故答案为：或.
13．【答案】
【分析】将看作一个整体，将函数表达式利用配方法整理，即可得出函数的单调递减区间，再根据是函数单调递减区间的子集，即可建立不等式求解．
【详解】∵，
∴的单调减区间是．
又在上是减函数，
∴，即．
∴所求实数的取值范围是，
故答案为：．
14．【答案】
【分析】根据分段函数的定义域，分求解.
【详解】若，则无解；
若，则，所以.
若，则无解．
综上：.
故答案为：.
15．【答案】（1）；（2）
【分析】（1）由指数幂的运算性质化简即可得出答案；
（2）先化简原式，再将数值代入即可得出答案.
【详解】（1）
.
（2）
因为，所以原式.
16．【答案】(1)
(2)或.
【分析】（1）直接利用根的判别式计算求解即可；
（2）根据根与系数的关系得出，，分和两种情况计算求解即可．
【详解】（1）关于的一元二次方程有两个实数根，
所以，即
解得．
故的求值范围为．
（2）根据根与系数的关系：，，
因为满足，
①当时，，把代入，得
，解得，，
，．
②当时，，，
解得：，，，所以．
故的值为或.
17．【答案】（1）2023；（2）3
【分析】（1）观察数表可得为正整数）在第行，第列，即可得出结果；
（2）设正方形的边长分别为，表达出图甲和乙中阴影部分面积，代换即可得出结果.
【详解】（1）观察数表可得，同一行的分数，分子与分母的和不变，
为正整数）在第行，第列，
在第行，第24列，
所以，
；
（2）设正方形的边长分别为，
则图甲中阴影部分面积为：，
图乙中阴影部分面积为：，即，故
.
所以正方形的面积之和为.
18．【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据平行线的性质可知，然后利用特殊角的三角函数值可求出的长度，最后利用求解即可；
（2）过点作、，先通过求出的长度，在中，求出的长度，最后利用求解.
【详解】（1）过作，垂足为，
因为，所以，因为为AB中点 所以为中点，
在，,
设，，则,
所以 即 ，，
所以，，
因为在中，，
所以，
所以，
所以平台DE的长为（）米 .
（2）过作、，垂足分别为、，
所以四边形为矩形，所以，
因为，，所以，
因为为AB中点，所以为中点即，
所以，
因为在中，，
在中，，
所以.
所以广告的长度约为米.
19．【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由题意可得，则由同角的余角相等可得，从而得∽，然后列比例式可求出；
（2）当时，，当时，点在右侧，记和交于点，过点作于点，可得四边形为矩形，，设，然后利用勾股定理可表示出，从而可求出.
【详解】（1）因为四边形是矩形，，将沿折叠至，
当点在对角线上，
所以，
所以，
所以，所以∽，
所以，
所以，即；
（2）当时，点在左侧以及上，
此时；
如图，当时，点在右侧，记和交于点，过点作于点，
所以，
因为四边形是矩形，
所以∥，，
所以，四边形为矩形，
所以，，
所以，
设，则，
因为，所以，
所以，所以，
得，
所以，
综上所述，．
【关键点拨】此题考查平面图形的折叠问题，考查三角形相似，考查矩形的性质，解题的关键是弄清折叠前后边角之间的关系，考查计算能力和推理能力，属于较难题.
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