湖南省岳阳市岳阳县第一中学2024−2025学年高一上学期开学考试 数学试题（含解析）

这是一份湖南省岳阳市岳阳县第一中学2024−2025学年高一上学期开学考试 数学试题（含解析），共11页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本大题共8小题）
1．下列各组对象不能构成集合的是（ ）
A．上课迟到的学生B．2020年高考数学难题
C．所有有理数D．小于的正整数
2．“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
3．已知命题，，下列形式正确的是（ ）
A．，使得B．，使得
C．，D．，
4．若关于的一元二次不等式的解集为，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C．D．
5．在同一平面内，已知的半径为2，圆心O到直线l的距离为3，点P为圆上的一个动点，则点P到直线l的最大距离是（ ）
A．2B．5C．6D．8
6．设，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
7．水果店花1500元进了一批水果，按50%的利润定价，无人购买，决定打折出售，但仍无人购买，结果又一次打折后才售完．经结算，这批水果共盈利500元．若两次打折的折扣相同，设每次打x折，根据题意，下面所列方程正确的是（ ）
A．B．
C．D．
8．设，表示关于x的函数，如，．若，，则（ ）
A．0B．2011C．D．不能求出
二、填空题（本大题共5小题）
9．分解因式： .
10．若，则的值为 .
11．当时，二次函数的图象与轴所截得的线段长度之和为 .
12．如图，与均是等边三角形，若，则的度数是 .
13．设集合，集合，则= .
三、解答题（本大题共4小题）
14．二次根式分母有理化是初中代数的重要内容，例如：；请你根据初中所学知识解决下列问题：
(1)计算：
(2)计算：
(3)计算：
15．如图，抛物线与轴交于点，过点的直线与抛物线交于另一点，过点作轴，垂足为点.
（1）求直线的函数关系式；
（2）动点在线段上从原点出发以每秒一个单位的速度向移动，过点作轴，交直线于点，交抛物线于点.设点移动的时间为秒，的长度为个单位，求与的函数关系式，并写出的取值范围；
（3）设在（2）的条件下（不考虑点与点，点重合的情况），连接，，当为何值时，四边形为平行四边形？问对于所求的值，平行四边形能否为菱形？请说明理由.
16．某单位欲购买A､B两种电器，根据预算，共需资金15750元.购买一件A种电器和两件B种电器共需资金2300元：购买两件A种电器和一件B种电器共需资金2050元.
(1)购买一件A种电器和一件B种电器所需的资金分别是多少元？
(2)若该单位购买A种电器不超过5件，则可购买B种电器至少有多少件？
(3)为节省开支，该单位只购买A､B两种电器共6件，并知道获政府补贴资金不少于700元：自己出资金不超过4000元；其中政府对A､B两种电器补贴资金分别为每件100元和150元.请你通过计算求出有几种购买方案？
17．已知函数，
(1)列表、描点、连线，画出该函数的简图；
(2)在函数图象上取一个定点，一个动点，记直线的坡度为，．试将化简为（均为常数）的形式；
(3)当趋近于0时，是否趋近于某常数？若是，为多少？试说明理由；
(4)在函数图象上取一个定点，为正的常数，一个动点，设直线的坡度为，请直接指出，当趋近于0时，是否趋近于某常数．
坡度定义：若，，则直线的坡度为．
参考答案
1．【答案】B
【分析】由集合元素的确定性即可判断.
【详解】2020年高考数学难题，无法界定故错误；其它三个都是明确可知，故正确.
故选B.
2．【答案】A
【解析】利用一元二次不等式的解法求出的解集，再根据充分条件与必要条件的定义求解即可.
【详解】记“”的解集为集合B，
则或
所以“”能推出“”
“”不能推出“”
所以“”是“”的充分不必要条件.
故选A.
3．【答案】B
【分析】全称命题的否定是特称命题，否定量词，否定结论.
【详解】否定量词，否定结论，即，使得.
故选B.
【思路导引】本题考查了全称命题的否定.
4．【答案】A
【分析】分和讨论，结合二次函数性质得出解集为的等价条件，即可求出的取值范围.
【详解】由于关于的一元二次不等式的解集为，
当时，即解集为，不成立.
当时，则 ，解得 .
因此，实数的取值范围是.
故选A.
【思路导引】本题主要考查了一元二次不等式在上恒成立求参数，注意二次项系数的正负以及判别式符号的限制.
5．【答案】B
【分析】构造三角形，利用三角形三边关系及边角关系可求解.
【详解】

如图，过圆心作直线的垂线，分别与直线和圆交于三点，设A点更靠近直线.过点作，垂足为，连接，
在中，有，当且仅当两点重合时取等号，
在中，
易知，
所以，
所以，
所以，
所以最大值为5，当且仅当两点重合时取得.
故选B.
6．【答案】B
【分析】解不等式求出不等式的解集，根据为的真子集，得到答案.
【详解】解不等式得，
不等式化为，所以，
因为为的真子集，
所以“”是“”的必要不充分条件.
故选B.
7．【答案】C
【分析】根据关系式：标价进价－亏损，把相关数值代入即可.
【详解】设每次打折折，根据题意得：
.
故选C.
8．【答案】B
【分析】根据可知代入即可求得的值.
【详解】，
，
，
，
，∴，
.
故选B.
9．【答案】
【分析】利用完全平方公式分解即可.
【详解】.
故答案为：.
10．【答案】2
【分析】根据指数幂的运算可得答案.
【详解】因为，所以，，
故答案为：2.
11．【答案】
【分析】先由求根公式求出两根，从而求出两根距离的通式，利用累加法化简求解即可.
【详解】当时，，解得，，
所以，
所以.
故答案为：.
12．【答案】
【分析】首先根据边角边关系证明，再根据三角形全等的性质得到∠AEC=∠BDC=60°+∠BDE，最后根据三角形的内角和定理，角间的关系可得∠DBE的度数.
【详解】如图 ，
∵在等边和等边中，
∠ACB=∠DCE=∠ABC=∠ECD=60°
又在与中，
∠ACB=∠ECD⇒∠ACB-∠ECB=∠ECD-∠ECB，
即∠ACE=∠DCB，而AC=BC，EC=DC，
∴，
则∠AEC=∠BDC=60°+∠BDE，
∴ ∠AEB=360°-∠AEC-∠CED-∠BED，
则 360°-∠AEC-∠CED-∠BED=145°，
360°-(60°+∠BDE)-60°-∠BED=145°，
360°-120°-(∠BDE +∠BED)=145°，
360°-120°-(180°-∠DBE)=145°，
解得，∠DBE=85°即为所求．
故答案为：85°.
13．【答案】
【解析】分别求函数的定义域和值域可得集合，再求，进而与求交集即可得解.
【详解】由，得，
集合，
集合，
则或，
所以.
故答案为：.
【思路导引】本题主要考查了集合的基本运算，涉及函数的定义域和值域的求解.
14．【答案】(1)；
(2)；
(3).
【分析】由题意，根据分母有理化的规律可依次求解（1）、（2）、（3）.
【详解】（1），，
，，
.
（2），，
，，
.
（3），，
，
，
.
15．【答案】（1）；（2）；（3）或2；不是菱形；答案见解析.
【解析】（1）由条件可得，，可求得直线的解析式.
（2）由秒时，点，所以 ，，再根据得出答案.
(3) 若四边形为平行四边形，则有，此时，有，解得，,再分别计算能否为菱形.
【详解】（1）抛物线与轴交于点，则.
轴，垂足为点,,所以
设直线的解析式为
则 ，解得
可得直线的解析式为
（2）点从点移动到点共要3秒,所以
秒时，点，所以
（3）若四边形为平行四边形，则有，此时，有，解得，
所以当或2时，四边形为平行四边形.
①当时，，，故，又在中，，故，此时四边形为菱形
②当时，，，故，又在中，，故，此时四边形不是菱形.
【思路导引】本题主要考查求函数解析式，二次函数的应用以及特殊四边形的性质和判定，考查数形结合思想.
16．【答案】(1)；；
(2)；
(3).
【分析】（1）根据已知条件及等量关系联立方程组即可求解；
（2）利用关系式为：总费用减去B种电器的总费用不超过件A种电器的费用即可求解；
（3）根据政府补贴资金和自己出的资金得到不等式组，求得整数解即可.
【详解】（1）设购买一件A种电器和一件B种电器所需的资金分别为元和元.
由题意可知,解得，
故购买一件A种电器和一件B种电器所需的资金分别为元和元.
（2）设购买B种电器件.
,解得,
故可购买B种电器至少有件.
（3）设购买A种电器件，则购买B种电器件.
,解得，
因为取整数，
所以可取，共种方案.
17．【答案】(1)答案见解析；
(2)；
(3)是，，理由见解析；
(4).
【分析】（1）对于x取某些特殊值，即可列表，描点，连线，得到函数图象简图；
（2）根据，结合函数表达式，化简可得答案；
（3）结合（2）的结果，即可得答案；
（4）根据坡度定义，可得表达式，并化简，结合趋近于0，即可得趋近于某常数.
【详解】（1）列表如下表，
函数图象简图如下：

（2）由题意得，，
则
（3）当趋近于0时，是趋近于0，即常数；
理由如下：
当趋近于0时，趋近于1，故趋近于2，
则趋近于，
即趋近于0，所以．
（4）由题意得
，
当t趋近于0时，趋近于常数.
x
1
2
2