湖南省长沙市望城区第一中学2024−2025学年高一上学期开学考试 数学试题（含解析）

这是一份湖南省长沙市望城区第一中学2024−2025学年高一上学期开学考试 数学试题（含解析），共15页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本大题共10小题）
1．下列图形中，是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．为响应习近平总书记“坚决打赢关键核心技术攻坚战”的号召，某科研团队最近攻克了的光刻机难题，其中，则用科学记数法表示为（ ）
A．B．C．D．
3．已知、为两个连续的整数，且，则（ ）
A．B．C．D．
4．若，则（ ）
A．B．C．D．
5．对于下列说法，正确的是（ ）
A．过一点有且只有一条直线与已知直线平行
B．不相交的两条直线叫做平行线
C．相等的角是对顶角
D．将一根木条固定在墙上，只需打两个钉子就可以，这种做法的依据是“两点确定一条直线”
6．随机调查了某校七年级40名同学近个月内每人阅读课外书的数量，数据如表所示，则阅读课外书数量的中位数和众数分别是（ ）
A．，B．，C．，D．，
7．下列命题中，逆命题是假命题的是（ ）
A．两直线平行，内错角相等
B．直角三角形的两个锐角互余
C．关于某个点成中心对称的两个三角形全等
D．线段垂直平分线上的任意一点到这条线段两个端点的距离相等
8．如图，已知AB是的直径，弦，垂足为，且，，则的半径长为（ ）
A．B．C．D．10
9．已知多项式，当x=1时，它的值是；当时，它的值是则的值是（ ）
A．B．C．D．
10．某天，某同学早上点坐车从余姚图书馆出发去宁波大学，汽车离开余姚图书馆的距离千米)与所用时间分)之间的函数关系如图所示．已知汽车在途中停车加油一次，则下列描述不正确的是（ ）

A．汽车在途中加油用了10分钟
B．若，则加满油以后的速度为千米小时
C．若汽车加油后的速度是千米小时，则
D．该同学到达宁波大学
二、填空题（本大题共6小题）
11．若四边形的四个内角的比是：：：，则最小的内角是
12．约分： ．
13．小明的书包里只放了大小的试卷共张，其中语文张，数学张．若随机地从书包中抽出张，抽出的试卷恰好都是数学试卷的概率是 ．
14．如图，圣诞帽的主视图是正三角形，把帽子压平整，成双层扇形摆放在桌子上(不考虑帽子的厚度则这个扇形的圆心角度数为
15．已知AB为的直径，，延长AB至点，使得，CD为圆的切线，为切点，则的面积是 ．
16．小明在做解方程作业时，不小心将方程中的一个常数污染了看不清楚，被污染的方程是： ，怎么办呢？小明想了一想，便翻看书后答案，此方程的解是，很快补好了这个常数，并迅速地完成了作业，你们能补出这个常数吗它应是 ．
三、解答题（本大题共9小题）
17．求不等式组：的解．
18．解方程组：．
19．九章算术是中国古代第一部数学专著，是算经十书中最重要的一种，成于公元一世纪左右．在其“勾股”章中有这样一个问题：“今有邑，东西七里，南北九里，各开中门，出东门一十五里有木，问：出南门几何步而见木？”意思是说：如图，矩形城池，东边城墙AB长里，南边城墙AD长里，东门点，南门点分别是AB，AD的中点，，里，经过点，则等于多少里？请你根据上述题意，求出的长度．
20．如图，四边形内接于，对角线为的直径，过点作的垂线交的延长线于点，点为的中点，连接，．

(1)求证：是的切线；
(2)若DB平分，，AD：：，写出求长的思路．
21．为宣传节约用水，小明随机调查了某小区部分家庭5月份的用水情况，并将收集的数据整理成如图所示的统计图.
(1)小明一共调查了多少户家庭？
(2)求所调查家庭5月份用水量的平均数；
(3)若该小区有400户居民，请根据（2）所得结果，估计这个小区5月份居民的总用水量.
22．如图，中，，平分交于点点在边上，且求证：．

23．今年月日日在江北嘴举行了第二届花博会，吸引了众多游客．王某看准了商机，在销售区租了一个摊位，主要卖干花和鲜花植物．部分品种，干花和鲜花的成本价分别是每束元，每盆10元．
(1)已知一盆鲜花的售价是一束干花价格的倍．第一天就卖了束干花，盆鲜花，共获利元．求一束干花的售价是多少元．
(2)花博会最后一天，王某发现还有束干花和盆鲜花，决定干花的售价提高销售，很快全部售完．鲜花降价卖了盆，剩下的每盆元全部卖出，当天的利润为元，且鲜花价格尽可能降低．求的值是多少？
24．已知：是任意三角形．

(1)如图所示，点、、分别是边AB、、CA的中点，求证：．
(2)如图所示，点、分别在边AB、上，且，，点、是边的三等分点，你认为是否正确？请说明你的理由．
(3)如图所示，点、分别在边AB、上，且，，点、、、是边的等分点，则______．(请直接将该小问的答案写在横线上)
25．如图，抛物线是常数，且与轴交于，两点，与轴交于点并且，两点的坐标分别是，，抛物线顶点为．
(1)求出抛物线的解析式；
顶点的坐标为______；
直线BD的解析式为______；
(2)若为线段BD上的一个动点，其横坐标为，过点作轴于点，求当为何值时，四边形的面积最大？
(3)若点在抛物线的对称轴上，若线段绕点逆时针旋转90°后，点的对应点恰好也落在此抛物线上，请直接写出点的坐标．
参考答案
1．【答案】C
【分析】由中心对称图形的定义判断.
【详解】把一个图形绕着某一点旋转，如果能与原图形重合，那么就说这个图形关于这个点中心对称。
据此，只有第3个图形满足中心对称的定义.
故选C.
2．【答案】D
【分析】由科学记数法的规则求解.
【详解】，则用科学记数法表示为.
故选D.
3．【答案】B
【分析】由，求出的值即可求解.
【详解】由，得，所以，则.
故选B.
4．【答案】C
【分析】由完全平方公式展开计算即可.
【详解】因为，所以，
所以，
故选C.
5．【答案】D
【分析】利用平行线的性质、定义判断AB；利用对顶角的定义判断C；利用两点确定直线判断D.
【详解】对于A，在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线平行，A错误；
对于B，在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，B错误；
对于C，对顶角相等，但相等的角不一定是对顶角，C错误；
对于D，由两点确定一条直线，知将一根木条固定在墙上，只需打两个钉子就可以，D正确.
故选D.
6．【答案】D
【分析】根据中位数、众数的概念计算可得.
【详解】因为有13人阅读9本课外书，是人数最多的，所以众数为：9.
因为调查了40名学生的阅读量，所以中位数是：把数字从小到大的顺序排列，第20，21两个数的平均数为所求.第20个数和第21个数均为9，所以中位数为：9.
故选D.
7．【答案】C
【分析】求出各选项的逆命题，再判断真假即可得解.
【详解】对于A，逆命题为：内错角相等，两直线平行，真命题，A不是；
对于B，逆命题为：有两个锐角互余的三角形是直角三角形，真命题，B不是；
对于C，逆命题为：两个全等三角形关于某个点成中心对称，假命题，C是；
对于D，逆命题为：到线段两个端点的距离相等点在这条线段的垂直平分线上，真命题，D不是.
故选C.
8．【答案】B
【分析】连接，利用直角三角形性质及圆的性质计算即得.
【详解】连接，由是的直径，得，
又弦，则，于是，
所以.
故选B.
9．【答案】A
【分析】根据给定条件，代入计算即得.
【详解】依题意，，所以.
故选A.
10．【答案】C
【分析】利用给定的图象，逐项分析判断即得.
【详解】对于A，汽车在途中加油用分钟，A正确；
对于B，由，得，解得，
所以加满油以后的速度为千米小时，B正确；
对于C，，解得，C错误；
对于D，该同学到达宁波大学，D正确.
故选C.
11．【答案】
【分析】利用多边形的内角和结合方程即可求出答案．
【详解】设四边形四个内角分别是，则，
解得．则它的最小角是．
故答案为：.
12．【答案】
【分析】根据给定条件，约去公因式即得.
【详解】依题意，.
故答案为：.
13．【答案】/0.1
【分析】根据给定条件，利用列举法求出古典概率.
【详解】记张语文试卷为，张数学试卷为，
随机抽出张的结果有，共10个，
其中抽出的试卷恰好都是数学试卷的结果为12，1个，
所以抽出的试卷恰好都是数学试卷的概率是.
故答案为：/0.1.
14．【答案】
【分析】由圆锥底面半径求出底面周长，得双层扇形弧长，可求这个扇形的圆心角度数.
【详解】由题知，帽子为圆锥，设母线长为2，即，
∵主视图为等边三角形，∴为等边三角形，∴，∴，
∴底面圆周长，∴半圆，
∴设压平的圆心角为，则，∴．
故答案为：90．
15．【答案】
【分析】由圆的切线性质，结合直角三角形性质求出的高，即可求出面积.
【详解】由为的切线，得，而，则，，
过作于，则，
所以的面积.
故答案为：.
16．【答案】
【分析】由方程的解代入方程求解即可.
【详解】因为方程的解是，
所以代入得：，所以，
故答案为：.
17．【答案】
【分析】分别求出两个不等式的解集，再找出解集的公共部分即可.
【详解】因为：，
由①得：；
由②得：，
则不等式的解为．
18．【答案】
【分析】利用加法消元法求解方程组即得.
【详解】，得：，
得：，解得：x=2，
把x=2代入②得：，解得：y=-1，
所以方程组的解为：．
19．【答案】
【分析】利用平行线的性质及相似三角形性质，列式计算即得.
【详解】由四边形是矩形，，，得，
则，，于是∽，
则，即，所以.
所以等于里．
20．【答案】(1)证明见解析
(2)答案见解析
【分析】（1）连接，只需证明即可.
（2）先判断为等腰直角三角形，由得；再由得：，结合，可求.
【详解】（1）连接，，．
为的直径，所以.
点为的中点，．
，
∴
又，
∴.
是的切线
（2）平分，
，
，
，
为的直径，
，
是等腰直角三角形，

，
，
∵，是公共角，
∽，
：：，
,
设为，
：：，
∴,
，
解得.
即.
21．【答案】(1)20户家庭
(2)吨
(3)1800吨
【分析】（1）根据统计图运算即可；（2）根据统计图结合平均数运算求解；（3）根据（2）中的平均数，用样本估计总体，运算求解.
【详解】（1）∵，
故小明一共调查了20户家庭.
（2）∵，
故所调查家庭5月份用水量的平均数为吨.
（3）由（2）可知：样本的平均数估计总体的平均数为，则（吨）.
故估计这个小区5月份居民的总用水量为1800吨.
22．【答案】证明见解析
【分析】由，有，可得，证明≌，可得．
【详解】证明：，
，
，
又，
，
平分交于点，
，
在和中，由，得，
．
23．【答案】(1)10元
(2)15
【分析】（1）设一束干花的售价是元，列出方程组求解即得.
（2）由已知条件列出方程求解即得.
【详解】（1）设一束干花的售价是元，则一盆鲜花的售价是元，
依题意，得，解得，
所以一束干花的售价是10元.
（2）由（1）知，一束干花的售价是10元，则一盆鲜花的售价是元)，
依题意，，
解得，，而鲜花价格尽可能降低，即尽可能小，所以，
所以的值是.
24．【答案】(1)证明见解析
(2)正确，理由见解析
(3)
【分析】（1）由三角形的中位线定理可得到四边形是平行四边形，故有．
（2）由平行线分线段成比例，可得到四边形是平行四边形， ，，，可得；
（3）类似的，可得到.
【详解】（1）证明：如图中，

，，，
，，，
四边形是平行四边形，．
（2）解：结论正确，理由：连接．

，，
同理：，，
，，
，，
四边形是平行四边形，，
，，
，
，，
．
（3）．
理由：连接，

∵，，，
∴，
∴，，
∴，，
∵点、、、是边的等分点，
∴与平行且相等，与平行且相等，…，与平行且相等，
∴四边形、、…、都是平行四边形，
∴，，…，，
∴，，…，，
∴．
25．【答案】(1)；
(2)
(3)或
【分析】（1）代入两点坐标求出抛物线的解析式；由函数解析式求顶点的坐标；待定系数法求直线BD的解析式；
（2）根据四边形的形状，把面积表示为的函数，由函数性质求面积最大时的值；
（3）分点在轴上方和下方两种情况，由为等腰直角三角形，结合点在抛物线上，求点的坐标.
【详解】（1）①把，代入，
得，解得
；
②，
的坐标为；
③设直线BD的解析式为，
将点、的坐标代入得：
，解得，
直线BD的表达式为，
（2）如图所示：
点的横坐标为，则点的纵坐标为，
当x=0时，得，
由题意可知：，，，
四边形的面积，
所以四边形面积的最大值为，此时；
（3）抛物线的对称轴为x=-1，
①当点在轴上方时，如图，
过点作直线x=-1交于点，
，
，，
，
，且均为直角三角形，
，
，，
设且m>0，则，
，
点的横坐标为：，纵坐标为：，即，
将其代入抛物线解析式，化简可得：，
，解得：，舍去)，；
②当点在轴下方时，如图，
，，为等腰直角三角形，
，，
；
综上所述：点坐标为或．人数
10
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