宁夏银川一中2024−2025学年第一学期高一年级9月第一阶段考试模拟试卷（一） 数学（含解析）

这是一份宁夏银川一中2024−2025学年第一学期高一年级9月第一阶段考试模拟试卷（一） 数学（含解析），共10页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单项选择题（本大题共8小题）
1．，下列不等式恒成立的是（ ）
A．B．
C．D．
2．已知集合，集合，如果命题“，”为假命题，则实数的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
3．《生于忧患，死于安乐》由我国古代著名思想家孟子所作，文中写到“故天将降大任于斯人也，必先苦其心志，劳其筋骨，饿其体肤”，根据文中意思可知“苦其心志，劳其筋骨，饿其体肤”是“天将降大任于斯人也”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
4．已知函数，则（ ）
A．B．C．D．
5．已知， 则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
6．若不等式对一切实数都成立，则实数的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
7．已知均为正实数，则下列说法正确的是（ ）
A．的最大值为
B．若，则的最大值为8
C．若，则的最小值为
D．若，则的最小值为
8．已知关于的不等式的解集为，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
二、多项选择题（本大题共3小题）
9．非空集合A具有如下性质：①若，则；②若，则下列判断中，正确的是（ ）
A．若，则B．
C．若，则D．
10．下列各组函数是同一个函数的是（ ）
A．与
B．与
C．与
D．与
11．已知关于的一元二次不等式的解集为，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则且
B．若，则关于的不等式的解集也为
C．若，则关于的不等式的解集为或
D．若为常数，则的最小值为
三、填空题（本大题共3小题）
12．已知函数的定义域为，则函数的定义域为 ．
13．若对满足条件的正实数都有恒成立，则实数的取值范围为 .
14．中国南宋大数学家秦九韶提出了“三斜求积术”，即已知三角形三边长求三角形面积的公式：设三角形的三条边长分别为，，，则三角形的面积可由公式求得，其中为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦-秦九韶公式.现有一个三角形的边长满足，，则此三角形面积的最大值为 .
四、解答题（本大题共5小题）
15．（本小题13分）
（1）已知全集，.
①求；②求.（答题时先用列举法表示集合U、A、B、C）（6分）
（2）已知命题为假命题.设实数的取值集合为，设集合，若“”是“”的充分条件，求实数的取值范围.（7分）
16．（本小题15分）
（1）求函数的最大值；（5分）
（2）求函数的最小值；（5分）
（3）已知，且，求使不等式恒成立的实数的取值范围．（5分）
17．（本小题15分）
已知函数对任意x满足：，二次函数满足：且.
(1)求，的解析式；（7分）
(2)若，解关于x的不等式.（8分）
18．（本小题17分）
已知函数.
(1)若对于，恒成立，求实数的取值范围；（5分）
(2)若对于，恒成立，求实数的取值范围.（4分）
(3)解关于的不等式.（7分）
19．（本小题17分）
整数集的符号取自德文整数单词的首字母，这是为了纪念得国女数学家艾米·诺特对整数理论的重大贡献，她的代表著作《整环的理想理论》大幅推动了现代数学抽象代数理论的发展.数环的定义为：设A是非空数集，如果对，都有，且成立，称A是个数环.
(1)分别判断下列3个集合是否是一个数环，并说明理由：（7分）
(2)求证：任何数环都有元素0：9（4分）
(3)求证：若､是数环，则是数环.（6分）
参考答案
1．【答案】B
【详解】对于A，若，则，选项不成立，故A错误；对于B，因为，故，故B成立，对于C、D，若，则选项不成立，故C、D错误
2．【答案】A
【详解】因为命题“，”为假命题，所以，命题“，”为真命题，因为集合，集合，所以，当时，即时，成立，当时，由“，”得，解得，综上，实数的取值范围为.
3．【答案】B
【详解】由文中意思可知，若“天将降大任于斯人也”，则必须“苦其心志，劳其筋骨，饿其体肤”，反之未必，所以“苦其心志，劳其筋骨，饿其体肤”是“天将降大任于斯人也”的必要不充分条件
4．【答案】C
【详解】由，则.又，所以.
5．【答案】B
【详解】由题意得，所以．
6．【答案】D
【分析】分和两种情况，结合不等式恒成立求参数的取值范围.
【详解】当时，不等式为对一切实数都成立，符合题意，
当时，要使得不等式对一切实数都成立，
则，解得，
综上所述，的取值范围为.
故选D．
7．【答案】C
【详解】对于A，因为，当且仅当时取等，所以，故A错误，对于B，因为，当且仅当时取等，而，所以，解得，则的最小值为8，故B错误，对于C，因为，所以，由基本不等式得，当且仅当时取等，此时，故C正确，对于D，因为，所以，因为，，令，所以新函数为，由题意得若取得最小值，则取得最大值，由二次函数性质得，当时，取得最大值，且其最大值为，所以最小值为，故D错误.
8．【答案】D
【分析】根据一元二次不等式解集与对应方程的根的关系可得，再由基本不等式计算即可得出结论.
【详解】由不等式的解集为，
可知1和是方程的两个实数根，且，
由韦达定理可得，即可得，
所以.
当且仅当时，即时等号成立；
即可得.
故选D.
9．【答案】BCD
【详解】对于A，若，则，A错误.对于B，由①知，，由②知，，即，因此，B正确；对于C，由选项D知，，，由①知，，则当时，，C正确；对于D，由①知，，，由②知，，，依此类推得正整数，因此，则，D正确
10．【答案】AC
【详解】对A：只是用不同的字母表示变量，所以是同一个函数，故A正确；对B：因为函数的定义域为，函数的定义域为，所以与不是同一个函数，故B错误；对C：函数与的定义域都是，对应关系一样，故它们是同一个函数，故C正确；对D：函数的定义域是：，函数的定义域是：，定义域不一致，所以它们不是同一个函数，故D错误.
11．【答案】ACD
【详解】A.若一元二次不等式的解集为，则且，故A正确；B. 若，则，，，所以不等式，等价于，与不等式的解集不同，故B错误.C. 若，则，，，即，，所以不等式，即，整理为，得或，即或，故C正确；D. 若为常数，则，，即，则，当时，的最小值为，故D正确.
12．【答案】
【分析】根据抽象函数的定义域求解即可.
【详解】因为函数的定义域为，则x>0，则，
即的定义域为；
故答案为：.
13．【答案】
【详解】依题意正实数x，y，满足等式，化简得，即，当且仅当时等号成立.设，则恒成立，即在时恒成立，函数在时是递增的，故，即.故.
14．【答案】
【详解】由题意可知，三角形的周长为12，则，，因为，所以，当且仅当时等号成立，所以的最大值为16，所以三角形面积的最大值.
15．【答案】见详解
【详解】（1）由全集，集合，（1分）
集合；集合（1分）
①（2分）
②（2分）
（2）由题意可知，，为真命题， （1分）
当时，，得不成立，
当时，，得，
所以，，（2分）
若“”是“”的充分条件，（1分）
当时，，得，
当时，，得，（2分）
综上可知，（1分）
16．【答案】见详解
【详解】（1）由，得，（1分）
因此，（2分）
当且仅当，即时取等号，所以原函数的最大值为.（2分）
（2）由，得，（1分）
因此，（2分）
当且仅当，即时取等号，所以原函数的最小值为9.（2分）
（3）由，则．（2分）
当且仅当，即时取到最小值16．（2分）
若恒成立，则．（1分）
17．【答案】见详解
【详解】（1）①，用代替上式中的x，
得②，联立①②，可得；（2分）
设（），
所以，（2分）
即所以，解得，，（2分）
又，得，所以.（1分）
（2）因为，
即，化简得，，（1分）
①当，即，即时，不等式的解为或；（2分）
②当，即，即，当时，不等式的解为或，（2分）
③当，即时，，解得且，（1分）
综上所述，当时，不等式的解为或；当时，不等式的解为且；
当时，不等式的解为或.（2分）
18．【答案】见详解
【详解】（1）设（1分）
则是关于的一次函数，且一次项系数为，（1分）
所以在上单调递增． （1分）
所以等价于，解得，（1分）
故实数的取值范围为.（1分）
（2）要使在上恒成立，即，，（1分）
因为当时，，则有在上恒成立，（1分）
当，令，即，（1分）
所以在上恒成立，则，即，故实数的取值范围为.（1分）
（3）由，化简得，即，（1分）
当时，，解得x0时，对于不等式，解得，（1分）
当时，对于不等式，解得x1或，（1分）
综上所述：当时，关于的不等式解为；
当时，关于的不等式解为；
当时，关于的不等式解为；
当时，关于的不等式解为；
当m>0时，关于的不等式解为.
19．【答案】见详解
【详解】（1）取，则，但，故不是数环；（1分）
取，则，则，（1分）
，，，
同理，，故是数环；（1分）
设，，
则，，，，（1分）
，，，（1分）
，，，，（1分）
是数环.（1分）
（2）假设存在一个数环，它不包含0，即对于所有，都有，（1分）
根据数环定义，对于任意，有，，，（1分）
特别地，当时，，这与不包含0的假设矛盾，因此任何数环都有元素0.（2分）
（3）设､是数环，，，（1分）
若，，是数环，对于整数，有，（2分）
同理，，是数环.（3分）