山东省菏泽市郓城县第一中学2023-2024学年高一上学期10月月考 数学试题（含解析）

这是一份山东省菏泽市郓城县第一中学2023-2024学年高一上学期10月月考 数学试题（含解析），共19页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分；在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．集合，，则（ ）
A．B．C．D．
2．下列各式中，表示是的函数的有（ ）
①；②；③；④
A．4个B．3个C．2个D．1个
3．十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“=”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远.若，则下列命题不正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若且，则
D．若，则
4．命题“，”为真命题的一个充分不必要条件是（ ）
A．B．C．D．
5．函数的图像大致是
A．B．
C．D．
6．定义在上的奇函数在上单调递减，且，则满足的的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
7．已知函数在上的最大值为，则m的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
8．实数，，满足且，则下列关系成立的是（ ）
A．B．C．D．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分：在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求：全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．如果幂函数的图象过，下列说法正确的有（ ）
A．且B．是偶函数
C．是减函数D．的值域为
10．对于给定的实数a，关于实数x的一元二次不等式的解集可能为（ ）
A．B．
C．D．或
11．已知，，则下列选项一定正确的是（ ）
A．
B．的最大值为
C．的最大值为2
D．
12．已知定义在上的函数，下列结论正确的为（ ）
A．函数的值域为
B．当时，函数所有输出值中的最大值为4
C．函数在上单调递减
D．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分，其中第14题第一空2分，第二空3分
13．已知，若则 .
14．已知函数为奇函数，且当时，，则当时， .
15．已知命题：，，则命题的否定为 ；若命题为真命题，则的取值范围为 .
16．已知函数，关于的不等式的解集为，则的最大值为 ．
四、解答题：本题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．设全集，集合，非空集合，其中.
(1)当时，求；
(2)若“”是“”的___________条件，求的取值范围，（请在“①充分；②必要”两个条件中选一个条件填入横线后作答）
18．解关于的不等式
(1)．
(2)已知，解不等式．
19．已知函数是定义在上的偶函数，且当时，，现已画出函数在轴左侧的图象，如图所示，请根据图象．
(1)补充完整图象并写出函数的增区间；
(2)写出函数的解析式；
(3)若函数，求函数的最小值．
20．住宅小区为了使居民有一个优雅､舒适的生活环境，计划建一个八边形的休闲小区，它的主体造型的平面图是由两个相同的矩形ABCD和EFGH构成的面积为200的十字形区域.现计划在正方形MNPQ上建一花坛，造价为4200元/，在四个相同的矩形上（阴影部分）铺花岗岩地坪，造价为210元/，再在四个空角上铺草坪，造价为80元/.
（1）设总造价为S元，AD的边长为，试建立S关于的函数关系式；
（2）计划至少要投入多少元，才能建造这个休闲小区？
21．已知函数，其中，
(1)当时，求的值域；
(2)函数能否成为定义域上的单调函数，如果能，则求出实数的范围；如果不能，则给出理由；
(3)在其定义域上恒成立，求实数的取值范围.
22．已知函数，，
(1)当时，求函数的单调递增与单调递减区间（直接写出结果）；
(2)当时，函数在区间上的最大值为，试求实数的取值范围；
(3)若不等式对任意，（）恒成立，求实数的取值范围.
1．C
【分析】
根据题意得到解方程组，最后将解答写成点集即可.
【详解】 集合 ，，
，解方程组得，故
故选：C.
2．C
【分析】根据构成函数的两要素分析定义域是否为空集及对应法则是否对定义域内每一个元素都有唯一实数值与之对应，即可求解.
【详解】对于①，,定义域为,化简解析式为，定义域内每个值按对应法则都有唯一实数3与之对应，属于多对一，故①是函数；
对于②，，定义域为，解得，故②不是函数；
对于③，，定义域为R，但当时，y有两个值与之对应，故③不是函数；
对于④，，定义域为R，对于定义域内每一个值都有唯一实数与之对应，属于多对一，故④是函数.
故①④是函数
故选：C
3．D
【分析】利用作差法可判断AC的正误，利用基本不等式可判断B的正误，利用反例可判断D的正误.
【详解】对于A，，而，故，故，故A成立，
对于B，，故B成立，
对于C，，
因为，，故，故，故C成立，
对于D，若，则，故D不成立，
故选：D.
4．D
【分析】利用不等式恒成立求出命题“，”为真命题的充要条件，根据子集关系可得充分不必要条件.
【详解】对，，即，等价于，
令，利用对勾函数性质知函数在上单调递减，，.
因为，故A 为充要条件，D为充分不必要条件.
故选：D
5．C
【解析】利用特殊值即可得出选项.
【详解】，
，排除A、B，
当时，，排除D.
故选：C
【点睛】本题考查了函数图像的识别，考查了基本运算求解能力，属于基础题.
6．C
【分析】由题意可得在上单调递减，在上是减函数，且，再讨论和，可得不等式的解集.
【详解】由定义在上的奇函数在上单调递减，
可得在上是减函数；
又，
不等式，等价为或，
所以时，即有，解得；
时，即有，解得；
综上可得的解集为.
故选：C.
7．D
【分析】作出函数图象，结合图象可以观察所得.
【详解】的图象如下图：
对称轴为，
令，得.
因为，
所以数形结合可得或.
故选：D
【点睛】本题主要考查了函数的图象，数形结合的思想，属于中档题.
8．D
【分析】根据等式可变形为，利用完全平方可得大小，由得，做差，配方法比较大小.
【详解】由可得，则，
由可得，利用完全平方可得
所以，
，
，
综上，
故选：D
【点睛】本题主要考查了做差法比较两个数的大小，考查了推理与运算能力，属于难题.
9．ABD
【分析】由幂函数定义和所过点可求得，知A正确；利用奇偶性的定义知B正确；根据幂函数在上的单调性，结合偶函数性质知C错误；由幂函数值域知D正确.
【详解】为幂函数，，又过点，，解得：，A正确；
则，定义域为，
，为偶函数，B正确；
当时，单调递减，
由偶函数性质知：在上单调递增，C错误；
，，即的值域为，D正确.
故选：ABD.
10．BC
【分析】
讨论两根大小解一元二次不等式.
【详解】当时，函数开口向下
若，不等式解集为
若，不等式的解集为
若，不等式的解集为
综上所述：B、C项都可能成立．
故选：BC.
11．BD
【分析】根据题意，求得a，b的范围，整理可得，利用基本不等式可判断AB；利用二次函数的性质可判断C；利用基本不等式“1”的代换可判断D.
【详解】，，，，
对于A，因为，所以，
当且仅当，即时等号成立，故A错误；
对于B， 因为，所以，当且仅当，即时等号成立，故B正确；
对于C，因为，所以，，，即，故C错误；
对于D，，当且仅当，即，时等号成立，，故D正确
故选：BD
12．ABD
【分析】通过对函数的分析，可以得到函数的图象，进而求出函数的值域，以及BCD三个选项的正确与否.
【详解】当时，，所以，，当时，，故，，以此类推，我们作出函数的图象，如图，可以总结出在上单调递增，在上单调递减，且在上，当处取得最大值，，
函数的值域为，A正确；
当时，函数所有输出值中的最大值为4，B正确；
函数在上单调递增，在单调递减，故C错误；
因为，所以经过点与，设直线：，从而得到，解得：，所以当时，，D正确.
故选：ABD
13．
【分析】根据分段函数的解析式，先求得，再由，从而可得出的值.
【详解】解：由题可知，，
，
，解得：.
故答案为：.
14．##
【分析】先用换元法，求出的解析式，再利用奇偶性，即可求解.
【详解】解：当时，令，则，，即，
当时，，则，又函数为奇函数，
故，所以.
故答案为：.
15． ，
【分析】利用特称命题的否定为全称命题可写出命题的否定；
命题为真，将已知变形为，使得成立，即，利用基本不等式求得最小值即可得解.
【详解】命题：，为特称命题，特称命题的否定为全称命题，
所以命题的否定为，
命题为真，即，成立，
则，使得成立，所以
又，当且仅当，即时等号成立，，即
所以的取值范围为
故答案为：，；
16．
【分析】根据二次不等式解集与系数的关系可得，，，再根据，结合基本不等式求解即可.
【详解】的解集为，∴且1，2是的两根．
，即，，即，
．
故答案为：
17．(1)
(2)若选①，则；若选②，则.
【分析】（1）求出集合后可求.
（2）根据所选条件可得的包含关系，从而可得关于的不等式组，故可求的取值范围.
【详解】（1）时，，故，
而，故，
.
（2）因为，故，解得或.
若选①，则，故，解得.
若选②，则，则，解得.
综上，选①时，；选②时，.
18．(1)或；
(2)答案见解析.
【分析】
（1）求解一元二次不等式即得.
（2）等价变形不等式，再按分类讨论求解.
【详解】（1）
原不等式化为，即
于是，解得或，
所以不等式解集为或.
（2）
原不等式化为，
①当时，原不等式为，解得；
②当时，原不等式化为，即，
当时，原不等式等价于，显然，解得；
当时，原不等式等价于，而，解得或．
所以当时原不等式的解集为，
当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为．
19．(1)图见解析，递增区间为和
(2)
(3)
【分析】（1）根据偶函数的对称性即可补充完整图象，由图象即可写出函数的增区间；
（2）当时，，则，然后由偶函数的定义即可得，从而可得的解析式；
（3）由（2），结合二次函数在闭区间上最值的求解方法即可得答案.
【详解】（1）解：因为函数是定义在上的偶函数，所以函数的图象关于轴对称，
由对称性即可补充完整图象，如图所示：
由图可知，函数的递增区间为和；
（2）解：根据题意，当时，，所以，
因为函数是定义在上的偶函数，所以，
所以，
（3）解：当时，，对称轴为，
当，即时，在上递增，所以；
当，即时，在上递减，所以；
当，即时，在上递减，在上递增，所以，
综上，函数的最小值．
20．（1）S=4000x2++38000，( )；
（2）至少要投入元，才能建造这个休闲小区.
【解析】(1)根据由两个相同的矩形ABCD和EFGH构成的十字形地域，四个小矩形加一个正方形面积共为200平方米得出AM的函数表达式，最后建立建立S与x的函数关系即得；
(2)利用基本不等式求出(1)中函数S的最小值，并求得当x取何值时，函数S的最小值即可．
【详解】(1)由题意，可得AM=，由，可得 ；
则S=4200x2+210(200-x2)+80×2×；
S=4200x2+42000-210x2+=4000x2++38000；
∴S关于x的函数关系式：
S=4000x2++38000，( )；
(2)S=4000x2++38000≥2+38000=；
当且仅当4000x2=时，即x=时，∈(0，10)，S有最小值；
∴当x=米时，Smin=元．
故计划至少要投入元，才能建造这个休闲小区．
21．(1)；
(2)或；
(3).
【分析】（1）当时，求得函数解析式，分别求得各段函数的值域，从而求得函数值域；
（2）对分类讨论，根据段函数单调性判断原函数单调性，从而求得参数范围；
（3）由在其定义域上恒成立，分离参数化为恒成立，分别求得分段函数上的最大值，从而求得的范围.
【详解】（1）当时，，
则时，；时，；
则
（2）若函数在定义域上单调，
当时，因在上函数单减，则单调递减.
则满足，解得.
当时，函数无单调性，不符合题意.
当时，因在上函数单增，则单调递增.
则满足，解得.
综上所述，若使函数为定义域上的单调函数，或.
（3）由在其定义域上恒成立，即，
化简得恒成立，
当时，由，
令，，
由对勾函数单调性知，函数在时，取最大值，则；
当时，满足，即，
综上所述，在其定义域上恒成立，则.
22．(1)单调递增区间为，，单调递减区间为，；
(2)
(3)
【分析】（1）将题中的代入解析式，由对勾函数的单调性可得单调区间；
（2）解不等式，即可得到结果；
（3）将题中的式子等价变形，将问题转化为在，单调递增，结合分段函数的解析式和二次函数的图象的对称轴，分类讨论得到结果．
【详解】（1）解：当时，，
所以函数的单调递增区间为，，单调递减区间为，；
（2）解：因为，，且函数在，上单调递减，在，上单调递增，
又因为在，上的最大值为，所以，
即，整理可得，
所以，所以，即；
（3）解：由不等式对任意，，恒成立，
即，
可令，等价为在，上单调递增，
而，
分以下三种情况讨论：
①当即时，可得，解得，矛盾，无解；
②，即时，函数的图象的走向为减、增、减、增，
但是中间增区间的长度不足1，要想在，递增，只能，即，矛盾，无解；
③即时，此时在，上单调递增，
要想在，递增，只能，即，所以．
综上可得满足条件的的取值范围是．