山东省青岛市第五十八中学2024-2025学年高一上学期第一次月考 数学试题（含解析）

这是一份山东省青岛市第五十八中学2024-2025学年高一上学期第一次月考 数学试题（含解析），共17页。试卷主要包含了初高衔接内容，必修——第一章集合，必修——第二章基本不等式，已知，，，均为实数，有下列命题，已知，，，则， 已知命题，若，，，则下列不等式恒成立的是等内容，欢迎下载使用。

2024-2025学年山东省青岛第五十八中高一级部第一学期第一次月考
数学
2024年9月
满分150分，时间120分钟
考试范围：
1．初高衔接内容
2．必修——第一章集合
3．必修——第二章基本不等式
*祝考试顺利*
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．
3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．
4．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．命题“都有”的否定是（ ）
A．不存在
B．存在
C．存在
D．对任意的
2．“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
3．集合，，则图中阴影部分所表示的集合为（ ）
A．B．
C．D．
4．集合，，，，则下面正确的是（ ）
A．B．C．D．
5．已知，，，均为实数，有下列命题：
（1）若，，则；
（2）若，，则；
（3）若，，则，
其中正确命题的个数是
A．0B．1C．2D．3
6．若“，”是假命题，则的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
7．已知关于的不等式组仅有一个整数解，则的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
8．已知，，，则（ ）
A．S的最大值是B．S的最大值是
C．S的最大值是D．S的最大值是
二、选择题．本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9． (多选)已知命题:，，则命题成立的一个充分条件可以是（ ）
A．B．
C．D．
10．若，，，则下列不等式恒成立的是（ ）
A．B．C．D．
11．通常我们把一个以集合作为元素的集合称为族.若以集合的子集为元素的族，满足下列三个条件：（1）和在中；（2）中的有限个元素取交后得到的集合在中；（3）中的任意多个元素取并后得到的集合在中，则称族为集合上的一个拓扑.已知全集为的非空真子集，且，则（ ）
A．族为集合上的一个拓扑
B．族为集合上的一个拓扑
C．族为集合上的一个拓扑
D．若族为集合上的一个拓扑，将的每个元素的补集放在一起构成族，则也是集合上的一个拓扑
三、填空题．本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．已知，，若集合，，且，则的值为 ．
13．一批货物随列火车从市均以千米/时的速度匀速直达市，已知两地铁路线长千米，为了安全，每两列火车的间距不得小于千米（火车的长度忽略不计），那么这批货物全部运到市，最快需要 小时.
14．已知实数，满足，若，则的最小值是 ．
四、解答题
15．已知全集为.
(1)求；
(2)若，且，求的取值范围.
16．不等关系是数学中一种最基本的数量关系.请用所学的数学知识解决下列生活中的两个问题：
(1)已知b克糖水中含有a克糖（），再添加m克糖（假设全部溶解），糖水变甜了.请将这一事实表示为一个不等式，并证明这个不等式
(2)甲每周都要去超市购买某种商品，已知第一周采购时价格是p1，第二周采购时价格是p2.现有两种采购方案，第一种方案是每次去采购相同数量的这种商品，第二种方案是每次去采购用的钱数相同.哪种采购方案更经济，请说明理由.
17．党的十九大报告指出，建设生态文明是中华民族永续发展的千年大计.而清洁能源的广泛使用将为生态文明建设提供更有力的支撑.沼气作为取之不尽、用之不竭的生物清洁能源，在保护绿水青山方面具有独特功效.通过办沼气带来的农村“厕所革命”，对改善农村人居环境等方面，起到立竿见影的效果.为了积极响应国家推行的“厕所革命”，某农户准备建造一个深为2米，容积为32立方米的长方体沼气池，如果池底每平方米的造价为150元，池壁每平方米的造价为120元，沼气池盖子的造价为3000元，问怎样设计沼气池能使总造价最低，最低总造价是多少?
18．设，．
(1)若恒成立，求实数k的取值范围；
(2)当时，解不等式．
19．已知有限集，如果中的元素满足，就称为“完美集”．
(1)判断：集合是否是“完美集”并说明理由；
(2)是两个不同的正数，且是“完美集”，求证：至少有一个大于2；
(3)若为正整数，求：“完美集”.
1．B
【分析】由全称命题的否定：将任意改为存在并否定原结论，即可写出原命题的否定.
【详解】由全称命题的否定为特称命题，
∴原命题的否定为：存在.
故选：B
2．A
【分析】根据充分条件、必要条件求解即可.
【详解】因为，而推不出，例如满足，但不成立，
所以“”是“”的充分不必要条件，
故选：A
3．B
【分析】求得解.
【详解】解：图中阴影部分所表示的集合为.
故选：B
4．D
【解析】根据集合中元素的特点判断即可.
【详解】对于集合，当时，则，与B集合中元素相同；
当时，则，与集合C中元素相同；
当时，则，与集合D中元素相同；
所以.
故选：D
【点睛】本题考查集合间的基本关系判断，解答的关键在于分析清楚各集合中元素的规律，较简单.
5．D
【分析】本题就是，，三个结论之间轮换，知二推一，利用不等关系证明即可．
【详解】解：对于（1），
将不等式两边同时除以
所以（1）正确
对于（2），
将不等式两边同时乘以
所以（2）正确
对于（3）
又
所以（3）正确
故选：．
【点睛】本题考查不等式与不等关系的灵活运用，以及不等式的性质，属于基础题．
6．B
【分析】由“，”是假命题，可得“，”是真命题，对分类讨论，即可求解.
【详解】由“，”是假命题，
得“，”是真命题，
当时，，符合题意；
当时，则，解得.
综上，的取值范围是.
故选：B.
7．B
【分析】解不等式，得或，再分类讨论不等式的解集，结合集合关系即可求得参数的取值范围.
【详解】解：由，可得或，
由，即，得，，
当，即时，不等式的解为，
此时不等式组的解集为，
又因为不等式组仅有一个整数解，
则，解得；
当，即时，不等式的解为，
又因为不等式组仅有一个整数解，
则，解得；
综上所述，的取值范围为.
故选：B.
8．B
【分析】根据题意整理得，令，利用基本不等式求得，进而整理可得，结合对勾函数求最值.
【详解】∵，
令，
∵，，则，当且仅当，即时等号成立，
故，可得，
又∵在上单调递增，则，
∴，即S的最大值是.
故选：B.
9．ABD
【分析】根据一元二次方程根的判别式，结合充分性的定义、子集的性质进行求解即可.
【详解】由命题:，成立，得，解得.
故命题成立的一个充分条件是的子集，因此选项A、B、D符合，
故选：ABD.
10．BD
【分析】根据基本不等式判断ABD，举反例可判断C.
【详解】因为，则，当且仅当时取等号，故A错误；
因为，当且仅当时取等号，故B正确；
令，则不成立，故C错误；
因为，当且仅当时取等号，故D正确.
故选：BD
11．ABD
【分析】对于ABC，直接由拓扑的定义验证即可；对于D，不妨设族为集合上的一个拓扑，根据补集的性质可证也是一个拓扑.
【详解】对于A， 首先满足条件（1），
其次，中的有限个元素取交后得到的集合为或，都在中，满足条件（2），
再次，中的任意多个元素取并后得到的集合为或，都在中，满足条件（3），故A正确；
对于B，首先满足条件（1），
其次，中的有限个元素取交后得到的集合为或或，都在中，满足条件（2），
再次，中的任意多个元素取并后得到的集合为或或，都在中，满足条件（3），故B正确；
对于C，不妨设，则，不在中，故C错误；
对于D，由题意不妨设族为集合上的一个拓扑，
由条件（2）可知中的有限个元素取交后得到的集合都在，
且由条件（3）可知中的任意多个元素取并后得到的集合都在，
则， 下证：也是集合上的一个拓扑.
首先满足条件（1），
其次，设，则，
而，故，
故，同理可证，
故中的有限个元素取交后得到的集合都在中，
任意多个元素取并后得到的集合都在中，
满足条件（3），故D正确.
故选：ABD.
【点睛】关键点点睛：判断D选项的关键是首先得到利用补集的性质处理，由此即可顺利得解.
12．
【分析】根据集合的包含关系推出，由此判断元素的取值情况，求得，即可求得答案.
【详解】因为且，故，
而集合，，
则，，则，则，
故，
故答案为：
13．.
【分析】设这批货物从市全部运到市需要的时间为小时，由已知得出，再运用基本不等式可求得答案.
【详解】设这批货物从市全部运到市需要的时间为小时，
则（小时），
当且仅当，即时，等号成立，
所以批货物从市全部运到市需要小时.
故答案为：8.
14．16
【分析】先由基本不等式放缩，然后再用基本不等式得最小值．
【详解】因为，所以，
，当且仅当，即时取等号，
所以，当且仅当，即时等号成立，此时．
故答案为：16．
15．(1)
(2)
【分析】（1）利用补集和交集的定义即可求解；
（2）由可得，然后列出不等式即可.
【详解】（1）因为，，
所以或，
所以.
（2）因为，所以，
所以，解得，
故的取值范围为.
16．(1)，证明见解析
(2)见解析
【分析】（1）根据题意列出不等式，然后用作差法证明即可；
（2）根据题意表示出来每种方案的平均价格，然后用作差法比较大小，即可判断哪种方案经济.
【详解】（1）该不等式为
证明：因为，所以，于是.
（2）若按第一种方案采购，每次购买量为，则两次购买的平均价格为，
若按第二种方案采购，每次用的钱数是，则两次购买的平均价格为，
又 ，
所以当时，两种方案一样；
当时，第二种方案比较经济.
17．当沼气池的底面是边长为4米的正方形时，沼气池的总造价最低，最低总造价是9240元.
【解析】设沼气池的底面长为x米，沼气池的总造价为y元，则根据题意可得：，再利用基本不等式求最值即可.
【详解】设沼气池的底面长为x米，则宽为，可知池底总造价为：；池壁总造价为：；沼气池盖子的造价为3000元
设沼气池总造价为y元，且，由题可得：
，当且仅当，即时，等号成立.
所以当沼气池的底面是边长为4的正方形时，沼气池的总造价最低，最低总造价是9240元.
【点睛】本题考查基本不等式在求函数最值中的应用，解题的关键是认真审题，列出函数式，再利用基本不等式求最值，考查学生的分析审题能力与运算求解能力，属于中档题.
18．(1)
(2)当时，不等式的解集为，
当时，不等式为
当时，不等式的解集为或，
当时，不等式的解集为，
当时，不等式的解集为.
【分析】(1)分别在，时转化已知条件，由此可求k的取值范围；(2)分别在，，，，条件下求解不等式即可.
【详解】（1）当时，即时，不等式可化为，所以，与条件矛盾，
当时，即时，由已知恒成立，所以，所以，
所以实数k的取值范围为；
（2）由(1)当时不等式在上恒成立，所以不等式的解集为，
当时，不等式可化为，方程的判别式，方程的解为，所以不等式的解集为，
当时，方程的判别式，方程的解为
，，，所以不等式的解集为或，
当时，不等式可化为，所以，即不等式的解集为，
当时，方程的判别式，方程的解为
，，，所以不等式的解集为，
综上可得，当时，不等式的解集为，
当时，不等式为
当时，不等式的解集为或，
当时，不等式的解集为，
当时，不等式的解集为.
19．(1)是，理由见解析
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）根据“完美集”的定义，进行判断即可；
（2）根据“完美集”的定义，结合集合的运算，以及一元二次方程的性质进行求解即可；
（3）设中，得到，分，，进行分类讨论，
【详解】（1）由，，则集合是“完美集”，
（2）若是两个不同的正数，且是“完美集”，
设，
根据根和系数的关系知，和相当于的两根，
由，解得或（舍去），
所以，又均为正数，
所以至少有一个大于2.
（3）不妨设中，
由，得，
当时，即有，又为正整数，所以，
于是，则无解，即不存在满足条件的“完美集”；
当时，，故只能，，求得，
于是“完美集”只有一个，为．
当时，由，即有，
而，
又，因此，故矛盾，
所以当时不存在完美集，
综上知，“完美集”为.
【点睛】方法点睛：新定义有关的问题的求解策略：
①通过给出一个新的定义，或约定一种新的运算，或给出几个新模型来创设新问题的情景，要求在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的；
②遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析，运算，验证，使得问题得以解决.