安徽省芜湖市繁昌皖江中学2023-2024学年高一上学期第二次月考 数学试题（含解析）

这是一份安徽省芜湖市繁昌皖江中学2023-2024学年高一上学期第二次月考 数学试题（含解析），共14页。试卷主要包含了本卷主要考查内容，函数的图象大致为，函数的零点所在的区间是等内容，欢迎下载使用。
数学
全卷满分150分，考试时间120分钟.
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置.
2．请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
3．选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚.
4．考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交.
5．本卷主要考查内容：必修第一册第一章第五章5.3
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．与角终边相同的角是（ ）
A．B．C．D．
2．已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
3．已知，，，则（ ）
A．B．C．D．
4．（ ）
A．0B．1C．D．2
5．设x，y都是实数，则“且”是“且”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
6．函数的图象大致为
A．B．
C．D．
7．函数的零点所在的区间是（ ）
A．B．C．D．
8．神舟十二号载人飞船搭载3名宇航员进入太空，在中国空间站完成了为期三个月的太空驻留任务，期间进行了很多空间实验，目前已经顺利返回地球．在太空中水资源有限，要通过回收水的方法制造可用水．回收水是将宇航员的尿液、汗液和太空中的水收集起来经过特殊的净水器处理成饮用水，循环使用．净化水的过程中，每增加一次过滤可减少水中杂质20%，要使水中杂质减少到原来的5%以下，则至少需要过滤的次数为（ ）（参考数据）
A．10B．12C．14D．16
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分
9．（多选题）下列诱导公式正确的是（ ）
A．B．
C．D．
10．已知函数在区间上单调，则实数m的值可以是（ ）
A．0B．8C．16D．20
11．设正实数，满足，则下列说法正确的是（ ）
A．的最小值为2B．的最小值为1
C．的最大值为4D．的最小值为2
12．已知函数，有4个零点，，，，则（ ）
A．实数的取值范围是B．函数的图象关于原点对称
C．D．的取值范围是
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．函数且过定点 ．
14．已知扇形的半径为2，面积是2，则扇形的圆心角（正角）的弧度数是 .
15．已知函数，且，则的值为 ．
16．已知关于的方程的两根分别在区间，内，则实数的取值范围为 ．
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.
17．（1）若求的值；
（2）求值：
18．已知集合，
(1)当时，求，
(2)若“”是“”成立的充分不必要条件，求实数的取值范围．
19．某科研单位在研发新产品的过程中发现了一种新材料，由大数据测得该产品的性能指标值与这种新材料的含量（单位：克）的关系：当时，是的二次函数；当时，测得数据如下表所示（部分）：
(1)求关于的函数关系式
(2)求函数的最大值.
20．（1）若求的值；
（2）已知角的终边经过点且求实数的值.
21．已知函数
(1)判断函数的奇偶性；
(2)证明：函数在区间上单调递增；
(3)令（其中），求函数的值域.
22．已知函数的定义域为，对任意的，都有.当时，，且.
(1)求的值，并证明：当时，；
(2)判断的单调性，并证明；
(3)若，求不等式的解集.
（单位：克）
0
1
2
9
0
3
1．D
【分析】根据终边相等的角的集合即可取求解.
【详解】因为与角终边相同的角是，，
当时，这个角为，
只有选项D满足，其他选项不满足.
故选：D.
2．C
【分析】解出集合，利用交集的定义可求得结果.
【详解】因为或，因此，.
故选：C.
3．B
【分析】利用指数函数、对数函数的单调性结合中间值法可得出、、的大小关系.
【详解】因为，，即，因此，.
故选：B.
4．A
【分析】把角度变成的形式，再由三角函数的诱导公式化简求值.
【详解】
.
故选：A.
5．A
【分析】由不等式性质及特殊值法判断条件间的推出关系，结合充分必要性的定义即可确定答案.
【详解】由且，必有且；
当且时，如，不满足，故不一定有且．
所以“且”是“且”的充分不必要条件．
故选：A．
6．A
【分析】可采用排除法，根据奇偶性和特殊点的函数值的正负进行排除.
【详解】因为，所以的图象关于原点对称，故排除；
当时，，当时，，所以，排除B．
故选A.
【点睛】本题考查根据函数的奇偶性和特殊点的函数值的正负识别图像，属于基础题.
7．C
【分析】先判断出在上单调递增，利用零点存在定理直接判断.
【详解】因为函数在上单调递增，在上单调递增，
所以在上单调递增.
当时，，
，，
.
由零点存在定理可得：函数的零点所在的区间是.
故选：C
8．C
【分析】由指数、对数的运算性质求解即可
【详解】设过滤的次数为，原来水中杂质为1，
则，即，
所以，
所以，
所以，
因为，
所以的最小值为14，则至少要过滤14次．
故选：C.
9．BC
【分析】利用三角函数的诱导公式即可得解.
【详解】对于A，，故A项错误；
对于B，，故B正确；
对于C，，故C正确；
对于D，，故D错误.
故选：BC.
10．ACD
【分析】求出函数的对称轴，结合函数的单调性，得到不等式解出即可．
【详解】函数的对称轴为，
若函数在区间上单调，则或，解得或．
故选：ACD.
11．AD
【分析】根据，结合基本不等式可判断A；根据基本不等式可判断B；可判断C；根据可判断D.
【详解】对于A，因为，，
所以
，
当且仅当时等号成立，
所以的最小值为2，故A正确；
对于B，，当且仅当时等号成立，
所以的最大值为1，故B错误；
对于C，，当且仅当时等号成立，
所以，即的最大值为2，故C错误；
对于D，，当且仅当时等号成立，
所以的最小值为2，故D正确.
故选:AD.
12．ACD
【分析】根据分段函数的性质，以及二次函数零点与方程的根的关系，即可分析零点，进而判断正误.
【详解】解：由题可知，当时，有2个零点，故，解得，
当时，此时，而，易知，也有2个零点，故，A正确；
，B错误；
的4个零点满足：，则，是方程的两个根，
则有，且，，
于是得，C正确；
由C选项知，，
由，得：，
而函数在上单调递减，从而得，D正确.
故选：ACD.
13．
【分析】令，求得的值，再代入函数的解析式可求得定点的坐标.
【详解】令，可得，
.
因此，函数的图象过定点.
故答案为：.
14．1
【分析】根据扇形的面积公式，即可求出答案.
【详解】设扇形的圆心角（正角）弧度数为，则由题意得，得.
故答案为：1
15．
【分析】由函数解析式可知，函数为奇函数，有，计算即可.
【详解】，令，函数定义域为R，
∵，∴为奇函数，∴．
则，．
故答案为：-10
16．
【分析】转化化二次函数零点分布问题，数形结合得到不等式组，求出的取值范围.
【详解】令，
根据题意得，
由①得：，由②得：，由③得：，
求交集得：
故的取值范围为.
故答案为：
17．（1）5；（2）101
【分析】（1），两边同时平方，可求的值；
（2）利用对数式和指数式的运算规则化简求值.
【详解】（1），
则．
（2）.
18．(1)，
(2)
【分析】(1)将代入，根据交集、并集的定义求解即可；
(2)由题意可得集合是集合的真子集，又因为，列出不等式组，求解即可.
【详解】（1）解：当时，,
因为,
所以,
；
（2）解：因为是成立的充分不必要条件，
所以集合是集合的真子集，
因为，
所以恒成立，
所以集合，
所以解得，
故实数的取值范围为
19．(1)
(2)4
【分析】（1）待定系数法，设出函数解析式，代入表格中的数据计算即可；
（2）由函数解析式，根据函数性质，分段求最大值，得函数的最大值.
【详解】（1）当时，设，
由表格数据可得，
解得，即．
当时，，由表格数据可得，解得，
所以当时，．
综上，
（2）当时，，
所以当时，函数的最大值为4；
当时，单调递减，所以的最大值为．
因为，所以函数的最大值为4．
20．（1）；（2）或或
【分析】（1）已知条件由正余弦的齐次式，求出，再代入所求的正余弦的齐次式求值；
（2）利用余弦函数的定义，列方程求解.
【详解】（1）由，得，
所以．
（2）根据三角函数的定义可得．
若时，符合题意；
若时，则可化简得，解得或，
综上，或或．
21．(1)偶函数
(2)证明见解析
(3)答案见解析
【分析】（1）定义法证明函数的奇偶性；
（2）定义法证明函数的单调性；
（3）由的解析式可知，，由的奇偶性和单调性可知，函数在上的值域为，令，可得，利用二次函数的性质求值域.
【详解】（1）函数的定义域为，
由，可知函数为偶函数；
（2）证明：设，有
，
，
，
故函数在区间上单调递增；
（3）由，有，
由函数在区间上单调递增，，可知函数在区间上的值域为，
又由函数为偶函数，可知函数在上的值域为，
令，可得，有，
令，有，
①当时，，此时函数的值域为；
②当时，，此时函数的值域为，
由函数和函数的值域一样，故可得，
当时，函数的值域为；
当时，函数的值域为．
22．(1)，证明见解析
(2)在上单调递减，证明见解析
(3)
【分析】（1）令，即可求出；根据题意，当时，，所以，再结合即可得到，进而得证；
（2）利用单调性定义结合题意证明即可；
（3）由，结合题意可得，再借助函数单调性解不等式即可.
【详解】（1）令，则，又，所以.
证明：当时，，所以，
又，
所以，即.
（2）在上单调递减.
证明如下：设，则，
又，所以，所以，
又当时，，当时，，，
所以，即，
所以在上单调递减.
（3）因为，所以，
所以，即，
又在上单调递减，所以，
解得，所以不等式的解集为.