甘肃省武威第二中学2024−2025学年高一上学期开学检测 数学试题（含解析）

这是一份甘肃省武威第二中学2024−2025学年高一上学期开学检测 数学试题（含解析），共11页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本大题共8小题）
1．若，则的算术平方根是（ ）
A．B．C．D．
2．一组从小到大排列的数据的中位数和平均数相等，则的值为（ ）
A．B．C．D．
3．分数、和的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
4．设集合，则（ ）
A．B．
C．D．
5．若关于x的一元二次方程有一根为，则一元二次方程必有一根为（ ）
A．2021B．2022C．2023D．2024
6．关于的不等式组的解集是，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
7．将一副三角板按如图所示的位置摆放在直尺上，其中，，，则的度数为（ ）

A．B．C．D．
8．如图，点A在函数的图象上，点B在函数的图象上，且轴， 轴于点C，则四边形ABCO的面积为（ ）

A．1B．2C．3D．4
二、多选题（本大题共3小题）
9．对于实数，下列命题正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，，则
10．已知（），则下列选项中正确的有（ ）
A．B．
C．D．
11．如图，抛物线的对称轴是直线，且与轴、轴分别交于两点，其中点在点的右侧，直线经过、两点.下列选项正确的是（ ）

A．B．抛物线与轴的另一个交点在0与-1之间
C．D．
三、填空题（本大题共3小题）
12．若不等式的解集，则不等式的解集是
13．一个不透明的布袋中装有若干个红球和白球，其中白球的个数比红球的个数多3个，这些球除颜色外其余都相同．小明通过多次重复摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在，则布袋中的红球一共有 个．
14．已知，则分式 ．
四、解答题（本大题共5小题）
15．已知关于的方程．
(1)若该方程的一个根为1，求的值及该方程的另一根；
(2)求证：不论取任何实数，该方程都有两个不相等的实数根．
16．阅读材料：对于任何实数，我们规定符号的意义是．例如：．
(1)按照这个规定，请你计算的值；
(2)按照这个规定，请你计算：当时，的值.
17．如图，是的外接圆，是的直径，过作于点，延长至点，连接，使．

(1)求证：是的切线；
(2)若，求的长．
18．二次函数图象的顶点在原点，经过点；点在轴上，直线与轴交于点．

(1)求二次函数的解析式；
(2)点是抛物线上的点，过点作轴的垂线与直线交于点，求证：；
(3)当是等边三角形时，求点的坐标．
19．已知集合.
(1)若，求实数的取值范围；
(2)若，求实数的取值范围：
(3)若，求实数的取值范围.
参考答案
1．【答案】A
【分析】结合绝对值算术平方根非负的性质求，再求的算术平方根即可判断.
【详解】∵，
∴，，
∴，，
∴的算术平方根是：.
故选A．
2．【答案】D
【分析】直接利用中位数与平均数的计算方法求值即可.
【详解】由题意可得，，解得.
故选．
3．【答案】D
【分析】根据题意，利用作差法比较三个数的大小，即可得答案.
【详解】，则，
，则，
所以，.
故选D.
4．【答案】D
【分析】求出，再求出各个选项的不等式的解集并判断即可.
【详解】依题意，，
对于A，，A不是；
对于B，，B不是；
对于C，，C不是；
对于D，，D是.
故选D.
5．【答案】D
【分析】由题意可得代入，可得，再把各选项代入方程验证即可.
【详解】因为关于x的一元二次方程有一根为，
所以，
对于A，当时，不一定为零，所以A错误，
对于B，当时，不一定为零，所以B错误，
对于C，当时，不一定为零，所以C错误，
对于D，当时，，所以必为方程的一根.
故选D.
6．【答案】A
【分析】分别求出不等式解集，再根据公共部分为，得出的取值范围.
【详解】，
解不等式①：，
，，
解不等式②：，
，
不等式组的解集是，
，
解得：，
故选A．
7．【答案】C
【分析】根据平行的性质可得，求出即可得解.
【详解】如图所示，由题意，得，

所以.
故选C.
8．【答案】B
【分析】延长BA交y轴于点D，设，注意到四边形ABCO的面积，，，即可得答案.
【详解】延长BA交y轴于点D，设，因为点A在函数的图象上，点B在函数的图象上，
则，由题可得四边形为矩形，三角形为直角三角形，
则，，
则.
故选B.

9．【答案】BD
【分析】对于A，特殊值法，取判断；对于B，由结合不等式性质判断；对于C，作差法判断；对于D，由或时，根据的大小情况判断.
【详解】对于A：当时，不成立，故A错误；
对于B：由，有，则，故B正确；
对于C：由，则，故C错误；
对于D：若或，有，与题设矛盾，故，故D正确.
故选BD.
10．【答案】AC
【分析】根据给定条件，利用平方运算、开方运算及乘法公式计算判断作答.
【详解】由，得，整理得，A正确；
由于，则，B错误；
由，，得，则，C正确；
由，得，解得，D错误.
故选AC.
11．【答案】ACD
【分析】根据图象，因为直线经过点，点在点的右侧，所以当时，，可求出的范围，判断选项正确；根据二次函数的图象与的交点关于对称轴对称，可判断另一个交点的位置，从而可判断选项；根据对称轴为，可得结合图象时的图象关系，建立不等式，可得的范围，从而可判断选项;根据的取值范围及可判断选项
【详解】∵抛物线开口向下，∴，
∵，∴；
∵直线经过点，点在点的右侧，
∴，∴，故A正确；
∵抛物线的对称轴是直线，
且与轴交点在点的右侧，
∴与轴另一个交点在点的左侧，故B错误；
由图象可知，当时，，
∴，∴，∴，∴，故C正确；
∵，，，∴，故D正确.
故选ACD.
12．【答案】或
【分析】由不等式的解集可得为方程的两根，且，再根据韦达定理得到的关系，从而将不等式进行等价变形为，解不等式即可得答案.
【详解】因为不等式的解集，
所以且
所以，
解得：或.
故答案为：或.
【关键点拨】本题考查一元二次不等式的求解，考查韦达定理的运用，求解时要注意利用变量间的关系，转化所求的不等式，考查转化与化归思想的运用.
13．【答案】6
【分析】设布袋中红球有个，由频率的计算方法求解即可.
【详解】由题意知，摸到红球的概率为，
设布袋中红球有个，则，
化为整式方程为，
解得，
经检验，是所列分式方程的解.
故答案为：6．
14．【答案】/0.2
【分析】变形给定的等式，再代入计算即得.
【详解】由，得，
所以.
故答案为：/0.2.
15．【答案】(1)，；
(2)证明见解析.
【分析】（1）由方程根的意义求出的值，再解方程得另一根.
（2）求出一元二次方程根的判别式，再判断其恒正即可.
【详解】（1）由1是方程的根，得，解得，
此时方程为，即，解得或，
所以的值为，该方程的另一根为.
（2）由于，
所以不论取任何实数，该方程都有两个不相等的实数根.
16．【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）根据给定的定义直接计算即得.
（2）求出的值，再利用给定下定义计算即得.
【详解】（1）依题意，.
（2）由，得，解得，
所以.
17．【答案】(1)证明见解析.
(2)4.
【分析】（1）连接，利用垂直关系及等腰三角形性质、圆的切线定义推理得证.
（2）利用勾股定理及直角三角形性质、垂径定理求出的长.
【详解】（1）连接，则，即有，由，得，
于是，即，
所以是的切线.

（2）由，得，则，
由，得，
由垂径定理得.
18．【答案】(1)；
(2)证明见解析.
(3)和.
【分析】（1）根据给定条件，设出二次函数的解析式，再由点的坐标求出解析式.
（2）设出点的坐标，过点作轴于点，利用勾股定理求出即可得证.
（3）设出点的坐标，再借助等边三角形建立方程求解即得.
【详解】（1）由二次函数图象的顶点在原点，设二次函数的解析式为，
由点在函数图象上，得，
所以二次函数的解析式为.
（2）设点，而，过点作轴于点，则，
于是，
显然轴，由轴，得，则，
所以.

（3）由是等边三角形，得，则，
在中，，则，由（2）知，，
因此，解得，此时，
所以点的坐标为和.
19．【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）求出集合A,B,根据，可得，列出相应不等式组，求得答案;
（2）根据，可列出相应的不等式组，求得答案;
（3）根据，可列出相应的不等式组，求得答案;
【详解】（1）由题意知，
，
因为，所以 , ,
即实数的取值范围为；
（2）由（1）知，，
,
即实数的取值范围是；
（3）由题意知或，，
或，
或，即实数的取值范围是.
【方法总结】根据集合的运算结果求参数的值或取值范围的方法
(1)将集合中的运算关系转化为两个集合之间的关系,若集合中的元素能一一列举,则用观察法得到不同集合中元素之间的关系;若集合与不等式有关,则一般利用数轴解决,要注意端点值能否取到.
(2)将集合之间的关系转化为解方程(组)或不等式(组)问题求解.
(3)根据求解结果来确定参数的值或取值范围.