吉林省吉林市吉化第一高级中学校2024-2025学年高一上学期9月月考 数学试题（含解析）

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注意事项：
1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置.
2.请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
3.选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚.
4.考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交.
5.本卷主要考查内容：必修第一册第一章、第二章.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 命题“，”的否定是（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】B
【解析】
【分析】根据存在性命题否定一定是全称命题求解即可．
【详解】解：∵ 存在性命题的否定一定是全称命题，
∴ “，”的否定是
“，”．
故选：B．
2. 已知集合，集合，则图中阴影部分表示的集合为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】题中阴影部分表示的集合为，再根据交集，并集个补集的运算即可得解.
【详解】解：，
阴影部分表示的集合为或．
故选：D．
3. 给出下列结论:
①两个实数,之间,有且只有,,三种关系中的一种;②若,则;③若,;④已知,则.
其中正确结论个数为( )
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】根据不等式的性质逐项分析即可
【详解】两个实数a,b之间,有且只有三种关系中的一种,所以①正确
,则,即或,所以②错误
因为,所以,即,即,所以③正确
因为,所以,所以④正确.
即正确结论的个数为3
故选：C
4. 若且，则的值与的大小关系是（ ）
A. B. C. D. 不能确定
【答案】C
【解析】
【分析】借助作差法及配方法比大小即可得.
【详解】，
由且，故，即.
故选：C.
5. 已知集合，，，则（ ）
A. B. C. D. 或
【答案】C
【解析】
【分析】根据，可得，分情况讨论即可得解.
【详解】由，可得，
当时，，此时，不成立；
当时，，此时，成立；
当时，（舍）或m=0，此时，不成立，
综上所述，，
故选：C.
6. 若命题“，使得”是假命题，则实数的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】命题“，使得”是假命题，它的否定为真，等价问题求解即可
【详解】命题“，使得”是假命题，
等价于“，都有恒成立”是真命题，
所以
即，
故选：D．
7. 已知集合，集合，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先分析集合M、N，得到，再对选项逐个分析判断.
【详解】，
，
因为可以表示偶数，列举出为，而可以表示全部整数，所以.
对于A：，故A错误；
对于B，C：，故B正确、C错误；
对于D：，故D错误．
故选：B．
8. 一家金店使用一架两臂不等长的天平称黄金．一位顾客到店内购买黄金，店员先将的砝码放在天平左盘中，取出一些黄金放在天平右盘中，使天平平衡；再将的砝码放在天平右盘中，再取出一些黄金放在天平左盘中，使得天平平衡；最后将两次称得的黄金交给顾客．记顾客实际购得的黄金为xg，则与20的大小关系为（ ）
A. B.
C. D. 无法确定
【答案】B
【解析】
【分析】利用平衡条件得出的表达式，结合基本不等式可得答案.
【详解】设天平左臂长为，右臂长为，且，左盘放的黄金为克，右盘放的黄金为克，
，解得，
，当且仅当时，取到等号，
由于，所以.
故选：B
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 下列既是存在量词命题又是真命题的是（ ）
A. ，
B. 至少有个，使能同时被和整除
C. ，
D. 每个平行四边形都是中心对称图形
【答案】AB
【解析】
【分析】AB选项，可举出实例；
C选项，根据所有实数的平方非负，得到C为假命题；
D选项全称量词命题，不合要求.
【详解】中，当时，满足，所以A是真命题
B中，能同时被和整除，所以B是真命题
C中，因为所有实数的平方非负，即，所以C是假命题
D是全称量词命题，所以不符合题意.
故选：AB．
10. 对于给定的实数a，关于实数x的一元二次不等式的解集可能为（ ）
A. B.
C. D. 或
【答案】BC
【解析】
【分析】讨论两根大小解一元二次不等式.
【详解】当时，函数开口向下
若，不等式解集为
若，不等式的解集为
若，不等式的解集为
综上所述：B、C项都可能成立．
故选：BC
11. 已知，为正实数，且，，，则（ ）
A. 的最大值为4B. 的最小值为
C. 的最小值为2D. 的最小值为
【答案】BC
【解析】
【分析】对A：利用基本不等式判断；对B：利用基本不等式结合“1”的代换判断；对C：利用因式分解结合基本不等式判断；对D：利用基本不等式结合“1”的代换判断.
【详解】由，，，即有；
对A：，即，即，
当且仅当时，等号成立，故的最小值为4，故A错误；
对B：由，故，
则，
当且仅当，即，时，等号成立，故B正确；
对C：由，故，
则，
当且仅当时，等号成立，故C正确；
对D：，
当且仅当时，等号成立，故D错误.
故选：BC.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 集合真子集的个数是__________．
【答案】7
【解析】
【分析】．先根据题意写出集合的具体元素，再利将其真子集的个数给求出来即可.
【详解】因为，
则的元素个数为，故A有个真子集．
故答案为：.
13. 已知关于的方程有两个不相等的实数根，且两个根均大于0，则实数的取值范围为______.
【答案】或
【解析】
【分析】设方程的两个不相等的实数根为，由题得，解不等式即得解.
【详解】设方程的两个不相等的实数根为，
由题得或.
由题得.
综合得或.
故答案为：或
14. 若a,b∈R，ab>0，则的最小值为______．
【答案】4
【解析】
【分析】将式子进行拆分得，两次使用基本不等式，最后注意取等条件.
【详解】因为ab>0，
所以，
当且仅当，，即时，即或等号成立．
故答案为：4.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.
15. 已知全集,集合,集合为小于6的质数.
（1）求;
（2）求.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）分别求出集合A,B再求并集即可
（2）求出A的补集再与集合B求交集即可
【小问1详解】
由得或
所以
又,所以
【小问2详解】
,所以
所以
16. 若关于x的不等式的解集是
（1）求a的值；
（2）求不等式的解集．
【答案】（1）﹣2；（2）{x|﹣＜x＜1}．
【解析】
【详解】试题分析：（1）由题意可知，1，是方程ax2+3x﹣1=0的两根，通过韦达定理可求出a的值；（2）将（1）中的a代入不等式ax2﹣3x+a2+1＞0，解这个一元二次不等式即可；（注意二次项系数小于0要变形求解）
试题解析：
（1）依题意，可知方程ax2+3x﹣1=0的两个实数根为和1，
∴+1=﹣且×1=，解得a=﹣2，
∴a的值为﹣2；
（2）由（1）可知，不等式为﹣2x2﹣3x+5＞，即2x2+3x﹣5＜0，
∵方程2x2+3x﹣5=0的两根为x1=1，x2=﹣，
∴不等式ax2﹣3x+a2+1＞0的解集为{x|﹣＜x＜1}．
考点：1.一元二次方程中韦达定理应用；2.一元二次不等式求解集．
17. 已知集合A=x1≤x-1