贵州省贵阳市乌当区某校2024-2025学年高二上学期10月月考数学试题

这是一份贵州省贵阳市乌当区某校2024-2025学年高二上学期10月月考数学试题，共8页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（每小题5分，共40分）
1．下列关于空间向量的说法中正确的是（ ）
A．单位向量都相等
B．若，则，的长度相等而方向相同或相反
C．若向量，满足，则
D．相等向量其方向必相同
2．已知为空间的一组基底，对下列向量也能作为空间的一组基底的是（ ）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
3．已知直线l的一个方向向量为，则直线l的倾斜角为（ ）
A．30° B．45° C．60° D．90°
4．如图，在四面体OABC中，，，，点M在OA上，且，N为BC的中点，则等于（ ）
A． B．
C． D．
5．如图，在正方体，M，N分别为DB，的中点，则直线和BN夹角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
6．若如图中的直线，，的斜率分别为，，，则（ ）
A． B． C． D．
7．以A（-2，-1），B（4，2），C（2，6），D（-3，1）为顶点的四边形是（ ）
A．平行四边形，但不是矩形 B．矩形
C．梯形，但不是直角梯形 D．直角梯形
8．已知直线l的斜率，则该直线的倾斜角α的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题（每小题6分，共18分，部分对3分）
9．下列命题为真命题的是（ ）
A．若空间向量，满足，则
B．在正方体中，必有
C．若空间向量，，满足，，则
D．任一向量与它的相反向量不相等
10．在下列四个命题中，错误的有（ ）
A．坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角
B．若一条直线的斜率为1，则此直线的倾斜角为90°
C．直线的倾斜角的取值范围是[0，π）
D．若一条直线的倾斜角为α，则此直线的斜率为tanα
11．如图，在平行六面体中，设，，，若M为与的交点，则下列等式正确的是（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题（每小题5分，共15分）
12．若点A（3，1）、B（-2，k）、C（8，11）在同一直线上，则实数k的值为________．
13．已知，，当时，实数k的值为________．
14．已知空间直角坐标系中的三点A（2，0，2）、B（0，0，1）、C（2，2），则点A到直线BC的距离为________．
四、解答题
15．（13分）
判断下列不同的直线与是否平行：
（1）的斜率为2，经过A（1，2），B（4，8）两点；
判断下列直线与是否垂直；
（2）的倾斜角为45°，经过P（-2，-1），Q（3，-6）两点．
16．（15分）如图所示，已知四棱锥的底面是边长为1的正方形，，，，E，F分别是AB，BC的中点．
（1）求点D到平面PEF的距离；
（2）求直线AC到平面PEF的距离．
17．（15分）如图，正方体的棱长为1，E，F，G分别为C′D′，A′D′，D′D的中点．
（1）求证：；
（2）求CE与AG所成角的余弦值．
18．（17分）
如图，在正方体中，E，F，G，H，K，L分别是AB，，，，，DA各棱的中点．
（1）求证：；
（2）求与平面EFGHKL所成角的余弦值．
19．（17分）
如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱，，E是PC的中点，作交PB于点F．
（1）求证：；
（2）求证：；
（3）求平面CPB与平面PBD的夹角的大小．
2024-2025学年度第一学期期10月月考
高二数学（参考答案）
参考答案：
12．-9 13．6 14． 15．（1）；（2）；
16．（1） （2）
【详解】（1）
∵，，∴．
又，，，
∴，
故建立如图所示的空间直角坐标系．
则D（0，0，0），P（0，0，1），A（1，0，0），C（0，1，0），，，
，，，
设为面PEF的法向量，，∴
令，则，∴，，∴，
设点D到平面PEF的距离为d，则．
（2）因为，，，
所以，所以直线AC到平面PEF的距离等于点A到平面PEF的距离，
设点A到平面PEF的距离为，，则．
17、（1）证明：设，，，则{i，j，k}构成空间的一个单位正交基底．所以
，
．
所以．
所以．
（2）解：因为
，
，
所以
．
所以CE与AG所成角的余弦值为．
18、（1）以为单位正交基底，得，，于是，同理．所以，．又因为，所以．
（2）和平面EFGHKL所成角的余弦值为．
19、解：以D为原点，DA，DC，DP所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设．
（1）证明：连接AC，交BD于点G，连接EG．
依题意得A（1，0，0），P（0，0，1），．
因为底面ABCD是正方形，所以点G是它的中心，故点G的坐标为，且，．
所以，即．
而，且，因此．
（2）证明：依题意得
B（1，1，0），．
又，故
．
所以．
由已知，且，
所以．
（3）解：已知，由（2）可知，故∠EFD是平面CPB与平面PBD的夹角．
设点F的坐标为（x，y，z），则．
因为，所以
，即，，．
由（2）可知，则
．
所以，点F的坐标为．
又点E的坐标为，所以
．
所以．
所以，即平面CPB与平面PBD的夹角大小为60°．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
答案
D
B
C
B
C
D
D
B
BC
BD
BD