广东省惠州市2024-2025学年高三上学期第二次调研考试数学试卷（Word版附解析）

这是一份广东省惠州市2024-2025学年高三上学期第二次调研考试数学试卷（Word版附解析），共16页。试卷主要包含了10，已知向量满足等内容，欢迎下载使用。
全卷满分150分，时间120分钟.
2024.10
注意事项：
1.答题前，考生务必将自己的姓名､准考证号､座位号､学校､班级等考生信息填写在答题卡上.
2.作答单项及多项选择题时，选出每个小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案信息点涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，写在本试卷上无效.
3.非选择题必须用黑色字迹签字笔作答，答案必须写在答题卡各题指定的位置上，写在本试卷上无效.
一､单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选对得5分，选错得0分.
1.已知集合，集合，则（ ）
A. B. C. D.
2.已知复数满足，则（ ）
A.3 B.2 C.1 D.
3.已知等差数列前9项的和为，则（ ）
A.100 B.99 C.98 D.97
4.在正方体中，棱的中点分别为，则直线与平面所成角的正弦值为（ ）
A. B. C. D.
5.已知向量满足：，则向量在向量上的投影向量为（ ）
A. B. C. D.
6.已知函数，则“”是“函数在上单调递增”的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
7.已知“水滴”的表面是一个由圆锥的侧面和部分球面（常称为“球冠”）所围成的几何体.如图所示，将“水滴”的轴截面看成由线段和优弧所围成的平面图形，其中点所在直线与水平面平行，和与圆弧相切.已知“水滴”的“竖直高度”与“水平宽度”（“水平宽度”指的是平行于水平面的直线截轴截面所得线段的长度的最大值）的比值为，则（ ）
A. B. C. D.
8.在统计某学校所有选择理科和文科的学生数据中，发现理科生多于文科生，女生多于男生，则关于本次学生样本的数据中，结论一定成立的是（ ）
A.理科男生多于文科女生 B.文科女生多于文科男生
C.理科女生多于文科男生 D.理科女生多于理科男生
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.某公司为保证产品生产质量，连续10天监测某种新产品生产线的次品件数，得到关于每天出现的次品的件数的一组样本数据：.则关于这组数据的结论正确的是（ ）
A.极差是4
B.众数小于平均数
C.方差是2
D.数据的第80百分位数为4.5
10.函数的部分图象如图所示，现将的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，则下列结论正确的是（ ）
A.
B.
C.函数是奇函数
D.
11.如图，心形曲线与轴交于两点，点是上的一个动点，则（ ）
A.点和均在上
B.的最大值和最小值之和为3
C.点的纵坐标的最大值为
D.
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.在的二项展开式中，各项的系数和为__________.
13.椭圆的左､右顶点分别是，左､右焦点分别是，若成等比数列，则此椭圆的离心率__________.
14.若关于的方程有实根，则的最小值为__________.
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明､证明过程或演算步骤.
15.（本题满分13分）
已知函数.
（1）求曲线在点处的切线方程；
（2）求函数在区间上的最小值.
16.（本题满分15分）
如图，四棱锥中，底面，.
（1）求证：平面；
（2）若，求平面与平面夹角的余弦值.
17.（本题满分15分）
已知双曲线及直线.
（1）若与有两个不同的交点，求实数的取值范围；
（2）若与交于两点，是坐标原点，且的面积为，求实数的值.
18.（本题满分17分）
记的内角的对边分别为，已知且均为整数.
（1）求的值；
（2）设的中点为，求的余弦值.
19.（本题满分17分）
若数列满足，则称数列为项数列，由所有项0数列组成集合.
（1）若是12项0数列，当且仅当时，，求数列的所有项的和；
（2）从集合中任意取出两个数列，记.
①求随机变量的分布列，并证明：；
②若用某软件产生项数列，记事件“第一次产生数字1”，“第二次产生数字1”，且.若，比较与的大小.
惠州市2025届高三第二次调研考试试题
高三数学参考答案与评分细则
一､单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分.
1.【解析】因为，所以.故选：B.
2.【解析】因为，即，所以，所以.
故选：D.
3.【解析】设等差数列的公差为，由已知得：，解得，
所以.故选：C.
4.【解析】连接，在正方体中，平面，棱的中点为，
则平面，而平面，故，
则即为直线与平面所成角，
设正方体棱长为2，则，
则，故.故选：B.
5.【解析】由，得，即，
由已知得，所以向量在向量上的投影向量为.
故选：A.
6.【解析】若函数在上单调递增，则，解得，
所以“”是“函数在上单调递增”的充分不必要条件.故选：A.
7.【解析】设优弧所在圆的圆心为，半径为，连接.易知“水滴”的“竖直高度”为，“水平宽度”为，由题意知，解得.因为与圆弧相切于点，
所以.在中，，又，
所以，由对称性知，，则，
所以.故选：D.
8.【解析】根据已知条件设理科女生有人，理科男生有人；文科女生有人，文科男生有人；根据题意可知：，
根据同向不等式可加的性质有：，即，所以理科女生多于文科男生，C正确.
其他选项没有足够证据论证.
故选：C.
二､多项选择题：本题共3小题，每小题满分6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.
9.【解析】数据从小到大排列为：.
对于A，该组数据的极差为，故A正确；
对于B，众数为3，平均数为，两者相等，故B错误；
对于C，方差为，故C错误；
对于D，，这组数据的第80百分位数为第8个数和第9个数的平均数4.5，故D正确.故选：AD.
10.【解析】由图像可知：；
又，故，又，所以，所以A项正确；
已知，由五点作图法可知：，解得：，所以B项正确；
故；则，设，
则，所以函数是偶函数，故C项错误；，所以D项正确；
故选：ABD.
11.【解析】A选项，经验算，点和的坐标满足曲线的方程：，所以点和均在上，故A项正确；
B选项，，因为曲线关于轴对称，当时，，设，
所以
，其中，
所以，所以的最大值和最小值之和为，故B项错误；
C选项，因为曲线关于轴对称，当时，，则，所以，因求点的纵坐标的最大值，故取，
又（当且仅当时等号成立），所以，故C项正确；
D选项，等价于点在椭圆内（包含椭圆），由B项可知，即满足：，即，整理得：
，即，其中其中，即恒成立，则故D项正确.
故选：ABD.
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.32 13. 14.
12.【解析】当时，二项式展开式各项的系数和为.故答案为：32.
13.【解析】由题意知，且三者成等比数列，则即，所以，所以.故答案为：.
14.【解析】设方程的实根为，则，
所以，即.
设点，则点在直线上.
设点到直线的距离为，则，
设，则，
求得在上单调递减，在上单调递增，所以，
则，又，由几何意义可知，所以.
检验：当时，，由，解得；
由，解得，所以则可以取到最小值.
故答案为：.
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15.（本小题满分13分，其中第一小问6分，第二小问7分.）
【解析】（1）因为：，所以切点坐标为：，
又，
所以，
即所求切线的斜率为.
所以切线方程为：，
化简得：，
所以曲线在点处的切线方程为.
（2）
由得；由得.
所以在上单调递减，在上单调递增.
所以函数在区间上的极小值为，也是最小值.
所以函数在区间上的最小值为.
16.（本小题满分15分，其中第一小问5分，第二小问10分.）
【解析】（1）证明：已知底面，且底面，
所以.
由，可得
又平面，
所以平面.
（2）取的中点.由，可得，
又因为，所以三角形是正三角形，
故.
在中，，所以.
可建立如图所示的空间直角坐标系，
求得，
由（1）可知，是平面的一个法向量，
设平面的一个法向量为，则，
即，
令，得，
设平面与平面的夹角为，
所以.
所以平面与平面夹角的余弦值为.
17.（本小题满分15分，其中第一小问7分，第二小问8分.）
【解析】（1）直线与双曲线有两个不同的交点，则方程组有两组不同的实数根，
整理得.
，
解得且，双曲线与直线有两个不同的交点时，的取值范围是.
（2）解法一：设交点，
由（1）知双曲线与直线联立的方程为.
由韦达定理得：，
则
又到直线的距离，
所以的面积，
解得或，
又因为且，所以或.
所以当或时，的面积为.
解法二：设交点，直线与轴交于点，
由（1）知双曲线与直线联立的方程为.
由韦达定理得：，
当在双曲线的一支上且时，；
当在双曲线的两支上且时，
综上，.
由已知得，故，即
所以，
解得或，
又因为且，所以或.
所以当或时，的面积为.
18.（本小题满分17分，其中第一小问10分，第二小问7分.）
【解析】（1）由，则.
由，则，故，
所以，
因为为整数，所以，
解法一：由，可得.因为，所以为锐角，
则，所以，
所以角均为锐角，所以均为正整数，
又，所以，
由，
解得，所以.
综上，.
经检验，当时，因为
所以，符合题意.
解法二：由，可得.
因为，所以，则，
所以.
由，则，
解得或（舍去），
故，
又为正整数，所以，
所以，
综上，.
（2）由（1）可知，，则，
在中，由正弦定理，
可得，
又的中点为，所以，
在中，由余弦定理得：
所以，
所以.
19.（本小题满分17分，其中第一小问4分，第二小问7分，第三小问6分.）
【解析】（1）因为是12项数列，当且仅当时，，
所以当和时，.
设数列的所有项的和为，
则.
所以数列的所有项的和为0.
（2）①证明：因为数列是从集合中任意取出的两个数列，
所以数列为项数列，
所以的可能取值为：.
因为集合中元素的个数共有个，
当时，则数列中有项取值不同，有项取值相同，
所以，
所以随机变量的分布列为：
因为，
所以
，
即.
②解：由条件得：，
所以，
化简得：，
所以，
则
即，
所以，即.题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
B
D
C
B
A
A
D
C
题号
9
10
11
全部正确选项
AD
ABD
ACD
1
2
3